將難的內(nèi)容教得簡單在簡單的基礎(chǔ)上學(xué)得有深度

梁大軍

摘 要：本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容包括一個概念、三個等價(jià)關(guān)系、一個定理.在了解方程的根和函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系的基礎(chǔ)上，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想討論函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，是本節(jié)課的難點(diǎn)所在，通過問題串的形式，將難點(diǎn)分解成一個個“小問題”，將函數(shù)的“圖象特征”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)表示”，概括出定理.

關(guān)鍵詞：方程的根;函數(shù)零點(diǎn);數(shù)形結(jié)合;教學(xué)反思

2019年10月，“南京市協(xié)同發(fā)展共同體”東片區(qū)舉辦了一次教學(xué)研討活動，活動由南京市棲霞中學(xué)承辦，作為青年教師，我有幸參加了此次活動，并在本班上了這節(jié)課——蘇教版必修1第三章3.4.1“函數(shù)的零點(diǎn)”，通過這次活動，筆者記錄了一些粗淺認(rèn)識，反思了過程，與大家分享和交流.

一、基于認(rèn)知，建立動力的生成點(diǎn)

章建躍博士提出，上好一堂課，數(shù)學(xué)教師必須要理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，特別是，“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法”的理解水平?jīng)Q定了理解數(shù)學(xué)的高度，同時也決定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果.

教材首先是在學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)基礎(chǔ)上，了解方程的根和函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，揭示了數(shù)與形、方程與函數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系.然后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想討論函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，這也是本節(jié)課的難點(diǎn)所在，其目的也是通過函數(shù)的零點(diǎn)來研究方程的根，進(jìn)一步突出函數(shù)思想的應(yīng)用價(jià)值，也為用二分法求方程的近似解做好思想上和方法上的準(zhǔn)備.

二、巧設(shè)問題，激活學(xué)生的思維

美國心理學(xué)家布魯納指出：“教學(xué)過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動，思維永遠(yuǎn)是從問題開始的?！痹诮鉀Q數(shù)學(xué)問題的過程中，會形成和發(fā)展數(shù)學(xué)知識、思想、方法和觀念，問題可謂是“數(shù)學(xué)的心臟”.有了問題，才能喚醒學(xué)生的好奇心和求知欲，才能激活學(xué)生的思維，學(xué)生的探究活動才有載體.

筆者將書上例二的題目稍作修改，將“判斷函數(shù)f（x）=x2-2x-1在區(qū)間（2，3）上是否存在零點(diǎn).”中的區(qū)間去掉，改為“判斷函數(shù)f（x）=x2-2x-1是否存在零點(diǎn).”從方程的角度學(xué)生可以求出根的大小，

問題1：方程的根在什么區(qū)間內(nèi)？（限定k到k+1的整數(shù)區(qū)間內(nèi)）讓學(xué)生自己生成區(qū)間，

問題2：從宏觀上看二次函數(shù)的圖象（先不給單位刻度，學(xué)生回答看不出后再給出單位刻度），給學(xué)生圖象上的直觀感受，然后研究大根所在的區(qū)間（2，3），并將圖象放大，

問題3：你能講區(qū)間（2，3）縮小嗎？讓學(xué)生直觀感受只要在零點(diǎn)兩側(cè)各取一個點(diǎn)，就能使零點(diǎn)落在區(qū)間內(nèi)，

問題4：從圖象上看，（2，3）這一段圖象穿過x軸，如何用代數(shù)形式來描述呢？這個問題實(shí)際上就揭示了函數(shù)零點(diǎn)具有“形”和“數(shù)”兩方面的含義，有學(xué)生回答f（2）>0，f（3）<0，接著通過零點(diǎn)的數(shù)和形兩個方面的含義引導(dǎo)學(xué)生說出零點(diǎn)是y=0時x的值，所以得出x是分界點(diǎn)，y=0是分界線（函數(shù)值正負(fù)的分界線），由此再得到區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值異號，即再由（2，3）的區(qū)間推廣到（a，b），由特殊到一般，得到f（a）f（b）<0，即零點(diǎn)存在性定理的條件，在探究的過程中讓學(xué)生充分體會了數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用

通過分組討論、合作探究，通過問題串將本節(jié)的難點(diǎn)“零點(diǎn)存在性定理”分拆成一個個能夠解決的“小問題”，從而將函數(shù)的“圖象特征”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)表示”，歸納概括出零點(diǎn)存在性定理.

函數(shù)的零點(diǎn)具有“形”和“數(shù)”兩方面的含義，這就要求我們要從“形”和“數(shù)”兩個不同的角度來加以認(rèn)識和思考，而本節(jié)課就是要引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程，方程的根實(shí)則就是函數(shù)視野下的零點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷從函數(shù)圖象特征到代數(shù)表示即從“形”和“數(shù)”的認(rèn)識過程.

三、適時追問，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

理性精神是數(shù)學(xué)文化的核心，從紛繁雜亂到理出頭緒，從直觀感覺到說出道理，都是數(shù)學(xué)理性精神的體現(xiàn).

學(xué)生回答問題4說，f（2）到f（3），從負(fù)到正，并且函數(shù)是單調(diào)的，所以穿過x軸，這時我追問：“單調(diào)說明穿過幾次？”，“如果不單調(diào)可以穿過幾次？”這樣的追問可以讓學(xué)生從圖中直觀感受從單調(diào)的穿過一次到不單調(diào)的可以穿過n次，這樣至少有一個零點(diǎn)，也就是存在零點(diǎn)，存在這個詞從這里讓學(xué)生得出會更加自然和順暢，也會為后面的辨析題提供幫助.

幾何直觀是理性認(rèn)識的基礎(chǔ)，教學(xué)時應(yīng)充分利用好函數(shù)圖象，抓住課堂上學(xué)生的表述進(jìn)行合理有效的追問，引導(dǎo)學(xué)生對待簡單問題進(jìn)行深度思考，強(qiáng)化問題的導(dǎo)向價(jià)值，努力體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生用函數(shù)的思想去思考和解決問題.

四、情境總結(jié)，加深記憶理解

本節(jié)課的課堂教學(xué)體現(xiàn)了以問題為主線、探究為核心、培養(yǎng)能力為目的的教學(xué)理念，教學(xué)中注重對學(xué)生的啟發(fā)和引導(dǎo)，注重師生互動，努力體現(xiàn)學(xué)生在課堂探究活動中的主體地位.

在課堂小結(jié)中，先由學(xué)生口頭總結(jié)，再由教師歸納總結(jié)，通過一首打油詩：“函數(shù)零點(diǎn)方程根，形數(shù)本是同根生，是否存在端點(diǎn)判，函數(shù)連續(xù)要記清?！弊寣W(xué)生對本堂課的學(xué)習(xí)內(nèi)容印象更深刻.

參考文獻(xiàn)

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