例談同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧

劉立強(qiáng)

摘?要：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式有兩個(gè)，一個(gè)是平方關(guān)系sin2α+cos2α=1（α∈R），另一個(gè)是商數(shù)關(guān)系tanα=sinαcosα（α≠kπ+π2，k∈Z），即同一個(gè)角的正弦、余弦的平方和等于1，同一個(gè)角的正切等于正弦與余弦的比.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，它的精髓在“同角”上. 在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式時(shí)，若能運(yùn)用一些技巧，則可以使求解過程化難為易.

關(guān)鍵詞：例談;同角三角函數(shù);基本關(guān)系式;應(yīng)用技巧

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2020）22-0061-02

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式有兩個(gè)，一個(gè)是平方關(guān)系sin2α+cos2α=1（α∈R），另一個(gè)是商數(shù)關(guān)系tanα=sinαcosα（α≠kπ+π2，k∈Z）.在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式時(shí)，若能運(yùn)用一些技巧，則可以使求解過程化難為易.下面舉例說明，供參考.

一、弦切互化

例1?已知tanα=-43，求2cosα+3sinα3cosα+sinα的值.

分析1?根據(jù)問題的特征，可將被求值式用含tanα的式子表示出來，代入即可.

解法1（弦化切）?分子分母同除以cosα，

原式=2+3tanα3+tanα=2+3×（-43）3+（-43）=-65.

分析2?化切“tanα=-43”為弦有“3sinα=-4cosα”，從而有意想不到的效果出現(xiàn).

解法2（切化弦）?由tanα=sinαcosα=-43，有3sinα=-4cosα.

原式=3（2cosα+3sinα）9cosα+3sinα

=3（2cosα-4cosα）9cosα-4cosα

=3×（-2cosα）5cosα=-65.

點(diǎn)評(píng)?本題的兩種解法，都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法，解法1是把被求值式的分子和分母同除以cosα，即利用商數(shù)關(guān)系，把只含正弦、余弦的分式齊次式轉(zhuǎn)化為只含有正切的式子，把正切的值代入即可，即弦化切法.解法2是利用tanα=-43，即sinαcosα=-43變形得3sinα=-4cosα，體現(xiàn)整體代換的數(shù)學(xué)思想，從而達(dá)到求值的目的，即切化弦法.

二、“1”的代換

例2?化簡(jiǎn)1-cos6α-sin6α1-cos4α-sin4α.

分析?把被求值式分子上的1用（sin2α+cos2α）3代換，分母上的1用（sin2α+cos2α）2代換，然后分別展開、合并化簡(jiǎn)，最后把sin2α+cos2α用1代換，從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.

解?原式

=（sin2α+cos2α）3-cos6α-sin6α（sin2α+cos2α）2-cos4α-sin4α

=3sin2αcos2α（sin2α+cos2α）2sin2αcos2α

=32.

點(diǎn)評(píng)?求解本題分別逆用、正用了公式sin2α+cos2α=1，即1的代換，根據(jù)被求值式的結(jié)構(gòu)特征，靈活地進(jìn)行整體化運(yùn)算，使繁瑣的計(jì)算和推理達(dá)到簡(jiǎn)化.

三、和積轉(zhuǎn)化

例3?已知-π2<x<0，sinx+cosx=15，求sinx-cosx的值.

分析?由-π2<x<0可得sinx<0，cosx>0，因此判斷出sinx-cosx的符號(hào)，故只需求（sinx-cosx）2即可.

解?因?yàn)閟inx+cosx=15，

所以（sinx+cosx）2=（15）2，

即1+2sinxcosx=125，

所以2sinxcosx=-2425.

因?yàn)椋╯inx-cosx）2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+2425=4925①，

又-π2<x<0，知sinx<0，cosx>0，

所以sinx-cosx<0②.

由①②可知sinx-cosx=-75.

點(diǎn)評(píng)?利用（sinα±cosα）2=1±2sinαcosα的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化;對(duì)于sinα+cosα，sinαcosα，sinα-cosα這三個(gè)式子，已知其中的一個(gè)式子的值，可求其余兩個(gè)式子的值.本題也可以由sinx+cosx=15和sin2α+cos2α=1聯(lián)立方程組求解.

也可以記sinx-cosx=t，將該式平方與已知式平方后相加，直接解出t的值.

參考文獻(xiàn)：

[1]張文康.三種常見的三角函數(shù)題型及其解法[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版下旬），2019（09）：49.

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