巧構(gòu)三角形，妙解橢圓雙曲線

摘 要：研究近幾年全國卷試題發(fā)現(xiàn)，涉及橢圓、雙曲線的選擇題和填空題均可以通過構(gòu)造三角形解決此類問題。試題在考查橢圓、雙曲線定義及其簡單性質(zhì)的同時，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：巧構(gòu);三角形;橢圓;雙曲線

一、巧用焦點三角形，以定義為基礎(chǔ)結(jié)合三角形的正余弦定理建立等量關(guān)系式

例1：【2019年全國I卷10】已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為（ ）

A. B.

C. D.

【思路探求】由已知可設(shè)，則，得，在中求得，在中，由余弦定理得，可得，從而可求解。

例2：【2018年全國III卷11】設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點，O是坐標(biāo)原點.過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若則C的離心率為（ ）

A. B.2 C. D.

【思路探求】由雙曲線性質(zhì)得到|PF2|=b，|PO|=a，在中，

在中，

二、巧構(gòu)直角三角形，借助銳角三角函數(shù)的定義建立等量關(guān)系式。

例3：【2018年全國II卷12】已知F1，F(xiàn)2是橢圓的左，右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則C的離心率為（ ）

A. B. C. D.

【思路探求1】由題意知|PF2|=|F1F2|=2c，過點P作PD⊥F1F2于點D，構(gòu)建，由得a，c關(guān)系，即得離心率。

【思路探求2】由直線AP斜率為得，，

在△PAF2再利用正弦定理可得a，c關(guān)系，即得離心率。

三、巧構(gòu)相似三角形，建立比例關(guān)系式。

例4：【2016年全國III卷11】已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C：的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點.P為C上一點，且PF⊥x軸.過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為（ ）

A. B. C. D.

【思路探求】設(shè)直線l的斜率為k，在Rt△AOE中tan∠EAB=|k|，則，由得，可得a，c關(guān)系，即得離心率。

通過構(gòu)造三角形將橢圓雙曲線問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題，注重了橢圓雙曲線定義、性質(zhì)和平面幾何圖形的聯(lián)系，解題事半功倍。

作者簡介：王瑞生（1970——），男，廣東惠州，漢族，中學(xué)高級教師，本科，高中數(shù)學(xué)教學(xué)與教研