怎樣使學(xué)生初步形成建模思想

【學(xué)科難點(diǎn)解讀】

方程、不等式和函數(shù)都是人們刻畫客觀世界的重要數(shù)學(xué)模型。結(jié)合一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組與一次函數(shù)之間的關(guān)系，構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想，是此學(xué)段的難點(diǎn)所在。

用建模的思想看一元一次方程，使學(xué)生不僅能加深對(duì)方程的理解，提高認(rèn)識(shí)問(wèn)題的水平，還能借用數(shù)形結(jié)合的思想分析和解釋“一維”空間中出現(xiàn)的比較復(fù)雜的變化過(guò)程。如何構(gòu)建對(duì)應(yīng)的圖形闡釋數(shù)量關(guān)系是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，也是數(shù)形結(jié)合思想形成的重要階段。這一類問(wèn)題基本上要經(jīng)歷以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：⑴建立研究問(wèn)題的平臺(tái)（如恰當(dāng)?shù)膸缀螆D形、平面直角坐標(biāo)系等）;⑵確立數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系;⑶結(jié)合圖形的特點(diǎn)尋求相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系;⑷探索解決問(wèn)題的合理途徑。通過(guò)多角度、多途徑解決同一類數(shù)學(xué)問(wèn)題，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)建模的靈活性。

案例：動(dòng)態(tài)演繹、靜態(tài)結(jié)合──在一元一次方程應(yīng)用的行程問(wèn)題中利用數(shù)形結(jié)合的思想建構(gòu)數(shù)學(xué)模型闡釋數(shù)量關(guān)系

【教學(xué)設(shè)計(jì)及說(shuō)明】

在列代數(shù)式和解一元一次方程的基礎(chǔ)上，本節(jié)課的內(nèi)容是以行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題、相遇問(wèn)題為依托，體現(xiàn)一題多解、多題歸一，形成知識(shí)的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，不僅使學(xué)生明白知識(shí)本身的內(nèi)涵，也要清楚知識(shí)的外延。繼絕對(duì)值后又一次體會(huì)數(shù)軸上點(diǎn)與數(shù)的對(duì)應(yīng)及其位置間的關(guān)系，為平面直角坐標(biāo)系及函數(shù)的學(xué)習(xí)做以鋪設(shè);將算術(shù)、方程和函數(shù)三者統(tǒng)一起來(lái)，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)生成的必然性。

教學(xué)活動(dòng)以“畫線段圖”為主線，以實(shí)現(xiàn)將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀明了;通過(guò)用“點(diǎn)與點(diǎn)的位置關(guān)系”展現(xiàn)行程問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，初步形成數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)簡(jiǎn)單的表達(dá)能力，使數(shù)學(xué)知識(shí)簡(jiǎn)單化。由學(xué)生在直線（或線段）上設(shè)計(jì)“線段圖”，展現(xiàn)行程問(wèn)題中路程間的數(shù)量關(guān)系;在數(shù)軸上設(shè)計(jì)“線段圖”，展現(xiàn)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，實(shí)現(xiàn)把抽象的思維變成一種直觀的判斷，實(shí)現(xiàn)從實(shí)際問(wèn)題抽象到數(shù)學(xué)模型的課堂設(shè)計(jì)。本節(jié)課借助變式教學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行不同角度、不同背景的變式，以凸顯問(wèn)題的本質(zhì)特征，揭示不同知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系，使一題多用，多題重組，常給人以新鮮感，以點(diǎn)帶面促使其產(chǎn)生主動(dòng)參與的動(dòng)力，使學(xué)生由學(xué)會(huì)，變?yōu)闀?huì)學(xué)、樂(lè)學(xué)。

【微課實(shí)錄】

師：直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，是否可以利用直線上“點(diǎn)與點(diǎn)的位置關(guān)系”形象的展現(xiàn)行程問(wèn)題中路程間的數(shù)量關(guān)系呢？我們不妨通過(guò)下面的問(wèn)題作一個(gè)探究性的嘗試，這是一個(gè)回聲定位問(wèn)題。

問(wèn)題一：

例1.汽車以72千米/小時(shí)的速度在公路上行駛，開向寂靜的山谷，駕駛員按一下喇叭，4s后聽到回聲，已知空氣中聲音的傳播速度以340米/秒。求這時(shí)汽車離山谷多遠(yuǎn)？

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)題意。畫出線段圖，并尋求數(shù)量關(guān)系。哪位同學(xué)能板演？

生：學(xué)生的示意圖：設(shè)聽到回聲時(shí)汽車到山谷的距離是x米

師：總結(jié)：通過(guò)剛才的探究，我們發(fā)現(xiàn)根據(jù)線段的大小比較能夠清晰地呈現(xiàn)路程之間的數(shù)量關(guān)系，也就是可以把抽象的思維變?yōu)橐环N直觀的判斷。

師：同時(shí)我們也關(guān)注到：在速度一定時(shí)，隨時(shí)間的變化，有的點(diǎn)相對(duì)于定點(diǎn)的位置發(fā)生了變化，也就是這個(gè)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離隨時(shí)間的變化而變化，這就是所謂的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，接下來(lái)我們研究一個(gè)純數(shù)學(xué)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。

問(wèn)題二：

例2.如圖，線段AB的長(zhǎng)為24cm，M、N兩點(diǎn)分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M由點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，速度為1cm/s，點(diǎn)N在點(diǎn)M與點(diǎn)B之間做循環(huán)往返運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s.

（1）求M、N兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)的時(shí)間.

（2）求當(dāng)M、N兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)與A點(diǎn)的距離.

師：通過(guò)讀題，請(qǐng)分析M、N究竟做了怎樣的運(yùn)動(dòng)？

生：點(diǎn)M、N先做相向而行，共同完成全程24cm，實(shí)現(xiàn)了第一次相遇。然后點(diǎn)M繼續(xù)前行，因?yàn)辄c(diǎn)N比點(diǎn)M的速度快，此時(shí)點(diǎn)N返回至點(diǎn)B的途中他們不會(huì)相遇，直至點(diǎn)N調(diào)頭才再次和點(diǎn)M相遇。

師：現(xiàn)在你了解N點(diǎn)嗎？那么你能演繹N點(diǎn)嗎？哪位同學(xué)能演繹M點(diǎn)呢？

（學(xué)生演繹腳本：先關(guān)注兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)地點(diǎn)、方向和速度。M同學(xué)從A走向B的同時(shí)，N同學(xué)也從B走向A，在此過(guò)程中第一次遇到了M同學(xué)，相遇后立即調(diào)頭返回到B的過(guò)程中N的速度大于M的速度，所以N先到B處后，再調(diào)頭迎向M同學(xué)直至第二次相遇）

請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)他們的演繹，在練習(xí)本上畫線段圖，請(qǐng)借助線段間的大小比較，尋求數(shù)量關(guān)系。（學(xué)生的示意圖）

師：總結(jié)：利用數(shù)形結(jié)合的思想，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，可以培養(yǎng)我們簡(jiǎn)單的表達(dá)能力，使數(shù)學(xué)知識(shí)簡(jiǎn)單化。

師：我們知道對(duì)于數(shù)軸，任給一個(gè)數(shù)，可以確定一個(gè)點(diǎn)的位置，反之，一個(gè)位置確定的點(diǎn)，不僅能描述它與其他點(diǎn)之間的距離，還能刻畫一個(gè)數(shù)的大小。讓我們借助一維數(shù)軸，解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。

問(wèn)題三：

例3.如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上一點(diǎn)，且AB=10.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t>0）秒.

動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若P、Q、R三動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P遇到點(diǎn)R時(shí)，立即返回向點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)，遇到點(diǎn)Q后則停止運(yùn)動(dòng).那么點(diǎn)P從開始運(yùn)動(dòng)到停止運(yùn)動(dòng)，行駛的路程是多少個(gè)單位長(zhǎng)度？

師：此題信息較多，誰(shuí)能概括一下它的已知條件。

生：一個(gè)定長(zhǎng)，三個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

師：三個(gè)動(dòng)點(diǎn)是怎么運(yùn)動(dòng)的？

生：P、Q同時(shí)同地出發(fā)，P、R同時(shí)異地出發(fā)，P追上R后再調(diào)頭和Q相遇。

師：現(xiàn)在哪些同學(xué)了解了P、Q、R三點(diǎn)？請(qǐng)三位同學(xué)真實(shí)的再現(xiàn)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)。

（學(xué)生演繹腳本：場(chǎng)景一──整體展示三個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)節(jié)奏;場(chǎng)景二──片段演繹P、Q和P、R，清晰的呈現(xiàn)追及、相遇的情境）

師：通過(guò)如此演繹，主次分明，其中內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系輕松可以得出。

生：（學(xué)生板演示意圖，并講解其中線段間的數(shù)量關(guān)系。）

師：總結(jié)：本節(jié)課由靜態(tài)圖形到動(dòng)態(tài)圖形，由常量到變量，在思維上有了質(zhì)的飛躍，為將來(lái)的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)了條件。

【教學(xué)亮點(diǎn)評(píng)析】

變化是數(shù)學(xué)的主要特征，無(wú)論是式的變形，還是圖形的變換，都要在變化過(guò)程中探究其中的變化規(guī)律，判斷相關(guān)數(shù)量的生成或改變的原因是衡量圖形變化規(guī)律的一個(gè)重要指標(biāo)。

本節(jié)課為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)思維發(fā)散的空間和知識(shí)遷移的途徑，把數(shù)形結(jié)合的思想巧妙地滲透在探索解決問(wèn)題方法的過(guò)程之中，同時(shí)在數(shù)學(xué)方法的生成、提練的每一個(gè)環(huán)節(jié)中呈現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的魅力。教學(xué)目標(biāo)是明確的，教學(xué)內(nèi)容是彈性的，學(xué)生的思考方向是可選擇的。充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，展現(xiàn)他們的想象力，對(duì)于動(dòng)態(tài)與靜態(tài)的對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系有了初步的認(rèn)識(shí)，為最終形成空間觀念和函數(shù)思想作了很好的鋪墊。

作者簡(jiǎn)介：謝園春（1977-4-22）女，漢族，吉林長(zhǎng)春人，碩士學(xué)歷，吉林大學(xué)附屬中學(xué)，教師，數(shù)學(xué)專業(yè)