“對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找基友，對(duì)指凹凸求”證明導(dǎo)數(shù)不等式

張騰飛

摘要：“對(duì)數(shù)單身狗”：如果一個(gè)待證明的不等式中只含有對(duì)數(shù)lnx這么一個(gè)超越函數(shù)，那么要把它轉(zhuǎn)化為lnx-f（x）>0（或者小于0）的形式，也即對(duì)數(shù)lnx的系數(shù)只能是1，故稱(chēng)為單身狗。

“指數(shù)找基友”：如果一個(gè)待證明的不等式中只含有對(duì)數(shù)ex這么一個(gè)超越函數(shù)，那么要把它轉(zhuǎn)化為 的形式，也即對(duì)數(shù)ex必需和某個(gè)函數(shù)相乘或相除，不等式右邊變?yōu)橐粋€(gè)常數(shù)，故稱(chēng)為找基友;

“對(duì)指凹凸求”：如果一個(gè)待證明的不等式中既含有對(duì)數(shù)lnx，又含有ex兩個(gè)超越函數(shù)，那么要把它們各自放到不等式的兩邊，使得一邊是凹函數(shù)，另外一邊是凸函數(shù)，這樣就只要證明凹函數(shù)的最小值大于或等于凸函數(shù)的最大值。若果指數(shù)對(duì)數(shù)分離后兩邊的凹凸性相同，那么首先要意識(shí)到左右兩邊的函數(shù)極值點(diǎn)可能是相同的，這樣一來(lái)，凹凸反轉(zhuǎn)失效，兩邊相減后直接求導(dǎo)即可。

1、已知函數(shù) ，若曲線 與曲線 的一個(gè)公共點(diǎn)是 ，且在點(diǎn) 處的切線互相垂直.

結(jié)束語(yǔ)：

對(duì)于“對(duì)數(shù)單身狗形式”：把它轉(zhuǎn)化為lnx-f（x）>0（或者小于0）的形式，對(duì)于“指數(shù)找基友”形式把它轉(zhuǎn)化為f（x）e2>1或則 （或者小于1）的形式對(duì)于“對(duì)指凹凸求”：那么要把它們各自放到不等式的兩邊，使得一邊是凹函數(shù)，另外一邊是凸函數(shù)，這樣就只要證明凹函數(shù)的最小值大于或等于凸函數(shù)的最大值。轉(zhuǎn)化以后大大簡(jiǎn)化步驟，使難題簡(jiǎn)單化，有利于學(xué)生對(duì)于此類(lèi)題目的快速掌握。

指導(dǎo)老師：唐振偉。