高等數(shù)學(xué)課程中的案例教學(xué)探討

摘要：案例教學(xué)是以問題為導(dǎo)向激發(fā)學(xué)生的教學(xué)模式，需要把案例教學(xué)引入到高等數(shù)學(xué)教學(xué)中。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);案例教學(xué)

高等數(shù)學(xué)作為理工經(jīng)管類等學(xué)科的一門基礎(chǔ)課，不僅是學(xué)習(xí)后續(xù)課程的基礎(chǔ)工具，還是培養(yǎng)大學(xué)生理性思維的重要載體，在培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、邏輯推理能力和空間想象力以及分析和解決問題能力等方面上，具有其它任何課程難以替代的優(yōu)勢。

最近幾年隨著MOOC課程和微課快速發(fā)展，教學(xué)方法和教學(xué)內(nèi)容思想、方法、手段變化較快，我們學(xué)校也緊跟時代潮流，也在緊張地進(jìn)行著變革，但數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容變化不大，教學(xué)方法還是主要以課堂傳授理論知識為主。這與當(dāng)前總體教育形勢還不匹配，與大多數(shù)學(xué)生的實(shí)際需求也不匹配。通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)：學(xué)生還是普遍反映高等數(shù)學(xué)很難學(xué)，很枯燥，與現(xiàn)實(shí)生活脫節(jié)嚴(yán)重，不知道學(xué)高數(shù)有何用途。在類似的背景條件下，各高校都在積極應(yīng)對，進(jìn)行著有針對性的教學(xué)研究和改革。

聯(lián)合國科教文組織曾進(jìn)行過一次廣泛的調(diào)研，對課堂講授、案例教學(xué)、視頻教學(xué)、角色模擬、研討會、自學(xué)等多種形式的教學(xué)方法進(jìn)行效果對比發(fā)現(xiàn)：在學(xué)生分析問題和解決問題能力提高及觀念培養(yǎng)上，案例教學(xué)的效果最好; 在傳授知識和學(xué)生所得知識的留存度上，案例教學(xué)次好[1]。因此我們嘗試在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入案例教學(xué)。由于案例教學(xué)需要比課堂講授多得多的時間，但是我們學(xué)校的高等數(shù)學(xué)課時少，平時都比較緊張地趕進(jìn)度，怎樣為案例教學(xué)爭取時間呢。經(jīng)討論決定以降低理論難度，強(qiáng)化具體應(yīng)用的教學(xué)觀念為指導(dǎo)思想，針對我校學(xué)生的實(shí)際需要，刪減高等數(shù)學(xué)教學(xué)中一些定理證明、公式推導(dǎo)過程為案例教學(xué)提供課堂時間保證，同時增加高等數(shù)學(xué)教學(xué)中一些重要概念的產(chǎn)生背景介紹和一些基本方法的應(yīng)用實(shí)例講解，體現(xiàn)案例教學(xué)過程。大家搜集與高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容相呼應(yīng)的教學(xué)案例，并將這些案例形成傳播數(shù)學(xué)思想與方法的普及性文章。再把這些案例設(shè)計(jì)好應(yīng)用到課堂上去。

高等數(shù)學(xué)教學(xué)必須有利于提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、創(chuàng)造精神和能力已經(jīng)成為一種共識。國內(nèi)處在改革先進(jìn)行列的院校有同濟(jì)大學(xué)、北京航天航空大學(xué)等211院校，他們的《高等數(shù)學(xué)》已經(jīng)被評為國家級精品課程。其中以“弱化理論、強(qiáng)調(diào)應(yīng)用”為導(dǎo)向來教育和學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)也是改革方向之一，將高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入案例教學(xué)已經(jīng)被驗(yàn)證是行之有效的方法。復(fù)旦大學(xué)、北京理工大學(xué)、天津大學(xué)等院校已經(jīng)有比較成功的經(jīng)驗(yàn)。高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心正在資助多所高校進(jìn)行案例教學(xué)研究項(xiàng)目。

按照高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)過程，將可以將數(shù)學(xué)案例分為概念導(dǎo)入、理論闡述和實(shí)際應(yīng)用三種類型[2]。接下來，我們隊(duì)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的概念引入中實(shí)施案例教學(xué)進(jìn)行詳細(xì)講解。

案例1怎樣描述變速直線運(yùn)動s=s（t）在某一時刻的瞬時速度？

學(xué)生看到問題首先會疑惑：什么是瞬時速度？因此這是應(yīng)該將速度概念進(jìn)行擴(kuò)展。學(xué)生以前接觸過的速度實(shí)質(zhì)上是從起始時刻到終止時刻這一時間段內(nèi)的平均速度。瞬時速度標(biāo)明時間段任意小，實(shí)際就是終止時刻無限接近于起始時刻。因此瞬時速度是平均速度的在終止時刻趨于起始時刻時平均速度的極限。因?yàn)樵跁r間段（終止時刻與起始時刻之差即時間變化量）內(nèi)走過的位移是終止時刻的位移函數(shù)值與起始時刻位移函數(shù)值之差（也就是位移變化量），因此平均速度是位移的變化量與時間的變化量的比值。考慮到當(dāng)終止時刻趨于起始時刻時，時間的變化量趨于零，因此瞬時速度可以表達(dá)為時間的變化量趨于零時位移函數(shù)是s（t）的變化量與自變量t的變化量之比的極限。

案例2怎樣描述曲線y=f（x）在曲線上一點(diǎn)P處的切線的斜率？

學(xué)生首先會對切線概念有些模糊，從而無從下手。這時要告訴學(xué)生切線是割線PQ（Q是曲線上不同于P的動點(diǎn)）當(dāng)Q無限接近于P的極限位置。從而可以將切線問題轉(zhuǎn)化為割線求極限的問題：當(dāng)Q趨于P時，切線的斜率等于當(dāng)Q趨于P時割線PQ的斜率。PQ的斜率等于這兩點(diǎn)在直角坐標(biāo)系下的縱坐標(biāo)之差與橫坐標(biāo)之差的比值。而點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)減去點(diǎn)P的縱坐標(biāo)正好是因變量y的變化量，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)減去點(diǎn)P的橫坐標(biāo)正好是自變量x的變化量，因此PQ的斜率等于因變量y的變化量與自變量x的變化量的比值。考慮到當(dāng)Q趨于P時，自變量x的變化量趨于零，因此切線的斜率等于當(dāng)自變量的變化量趨于零時因變量y的變化量與自變量x的變化量之比的極限。

以上兩個問題的共同之處首先要將以前熟悉的速度和割線概念分別擴(kuò)展到瞬時速度和切線，而最后的表達(dá)式共性是它們都是變化量之比的極限。再引入導(dǎo)數(shù)的定義就自然而然了。

而且，上面兩個案例正好分別是微積分的兩位創(chuàng)始人牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分的角度，牛頓基于物理問題，而萊布尼茲基于幾何問題。類似的還有定積分概念的引入中也可以基于物理問題和幾何問題。牛頓和萊布尼茲分別獨(dú)立創(chuàng)立了微積分，有異曲同工之妙。

以上只是高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)概念引入中的案例，還有更多概念引入、理論闡述和實(shí)際應(yīng)用方面的案例需要我們挖掘和設(shè)計(jì)到高等數(shù)學(xué)教學(xué)中。

總之，通過高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入案例教學(xué)的教學(xué)模式，可以使學(xué)生了解利用數(shù)學(xué)理論和方法去分析和解決問題的全過程，提高他們分析問題和解決問題的能力;提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識與能力，也能讓學(xué)生具備在以后的工作中能經(jīng)常性地想到用數(shù)學(xué)去解決問題的能力。為了這些共同的目標(biāo)，我們要共同努力！

參考文獻(xiàn)：

[1]孫軍業(yè).案例教學(xué)[M].天津：天津教育出版，2013，3.

[2]董慶華. 紡織服裝教育[J].高等數(shù)學(xué)課程的案例教學(xué)實(shí)踐，2013，2：73-76.

北京服裝學(xué)院教學(xué)改革立項(xiàng)項(xiàng)目JG1820。

作者簡介：戴桂冬（1978-），女，副教授。