猴子分桃問題

林革

美籍華裔物理學(xué)家李政道曾給中國(guó)科技大學(xué)少年班的同學(xué)出過下面這道趣味數(shù)學(xué)題：在一個(gè)荒島上，一堆桃子是五只猴子的公共財(cái)物. 有一天，5只猴子睡著了，后來有1只猴子醒來，將桃子平均分成5份，多出1個(gè)，它吃掉了這個(gè)桃子并帶走了自己的1份; 第2只猴子醒來，它不知道伙伴已取走一份，就將剩下的桃又平均分成5份，多出1個(gè)，它吃掉了這個(gè)桃子并帶走了自己的一份; 以后每只猴子醒來都照此辦理. 請(qǐng)問：原來最少有多少個(gè)桃子？剩下多少個(gè)桃子？

這是在西方極為流行的一道趣味數(shù)學(xué)名題，有關(guān)此題的各種變化版本很多，流傳甚廣. 當(dāng)然其解法也有許多，有些解答頗為耐人尋味. 下面就向大家介紹常見的三種解答方法.

解法1：不妨假設(shè)第1只、第2只、第3只、第4只、第5只猴子分的一份桃子數(shù)分別為a，b，c，d，e，根據(jù)題意畫出如下示意圖，不難看出上下行中虛線的關(guān)聯(lián)：

4a = 5b + 1， ①

4b = 5c + 1， ②

4c = 5d + 1， ③

4d = 5e + 1， ④

將①兩邊擴(kuò)大4倍得：

16a = 20b + 4. ⑤

將②兩邊擴(kuò)大5倍得：

20b = 25c + 5. ⑥

將⑥代入⑤得：

16a = 25c + 9. ⑦

對(duì)③④同樣處理可得：

16c = 25e + 9. ⑧

類似地，將⑦兩邊擴(kuò)大16倍得256a = 25 × 16c + 144. ⑨

將⑧兩邊擴(kuò)大25倍得25 × 16c = 625e + 225. ⑩

將⑩代入⑨得256a = 625e + 369.

則a =? =? =? =? - 1.

a是整數(shù)，則必為整數(shù)，而625和256互質(zhì)，所以e + 1肯定是256的倍數(shù). 既然要求這堆桃子的最少數(shù)，那么e + 1 = 256，則e = 256 - 1 = 255，即第5只猴子帶走的一份至少為255個(gè).

結(jié)合示意圖逆向倒推：第4只猴子帶走的一份d = （255 × 5 + 1） ÷ 4 = 319（個(gè)）;第3只猴子帶走的一份c = （319 × 5 + 1） ÷ 4 = 399（個(gè)）;第2只猴子帶走的一份b = （399 × 5 + 1） ÷ 4 = 499（個(gè)）;第1只猴子帶走的一份a = （499 × 5 + 1） ÷ 4 = 624（個(gè)）. 則這堆桃子原來最少有5a + 1 = 5 × 624 + 1 = 3121（個(gè)），剩下的桃子為4e = 4 × 255 = 1020（個(gè)）.

反思：這種“關(guān)聯(lián)貫穿”的解答策略就是牢牢抓住“前次剩下數(shù)為后次分配數(shù)”的關(guān)系，用字母代替數(shù)，由此及彼快速地構(gòu)建貫通橋梁，以題意的“最少”作為范圍限制，得出唯一可能，使問題迎刃而解.

解法2：把這堆桃子添加4個(gè)，加上原先多余被吃掉的1個(gè)桃子，則第1只猴子來分時(shí)，恰好能分為5份（每份比原來多一個(gè)），它走后，留下了4份，這4份比原來留下的4份多4個(gè)桃子; 同樣第2只猴子來分時(shí)，由于現(xiàn)在留下的比原來留下的多出了4個(gè)，所以又可以恰好分成5份（每份也比原來多一個(gè)），它走后，留下了4份，這4份比原來留下的4份多4個(gè)桃子;依此類推，每只猴子都可以把桃子分成5份. 這樣最后一只猴子分桃時(shí)，可設(shè)桃子為5k（k為整數(shù)）個(gè)，是第4只猴子分剩下的4份，這時(shí)1份為5k ÷ 4，則第4只猴子分桃時(shí)的桃子數(shù)為（5k ÷ 4） × 5 = 25k ÷ 4;顯然，25k ÷ 4也是第3只猴子分剩下的4份，這時(shí)1份為（25k ÷ 4）? ÷ 4 = 25k ÷ 16，則第3只猴子分桃時(shí)的桃子數(shù)為（25k ÷ 16） × 5 = 125k ÷ 16;第2只猴子分桃時(shí)的桃子數(shù)為（125k ÷ 16） ÷ 4 × 5 = 625k ÷ 64;第1只猴子分桃時(shí)的桃子數(shù)為（625k ÷ 64） ÷ 4 × 5 = 3125k ÷ 256. 因?yàn)樘易訑?shù)為整數(shù)，所以k肯定是256的倍數(shù). 又要求桃子數(shù)最少，只能是k = 256，則第1只猴子分桃時(shí)的桃子數(shù)為3125，減去當(dāng)初添加的4個(gè)桃子，可知這堆桃子至少有3125 × 1 - 4 = 3121（個(gè)）. 剩下的桃子為4k - 4 = 4 × 256 - 4 = 1020（個(gè)）.

反思：這種解答策略是“添加湊整”，就是把這堆桃子添加4個(gè)后，使每只猴子分配桃子時(shí)都恰好等分沒有多余，從而就繞開了令人頭疼的障礙，使原先復(fù)雜的問題得以簡(jiǎn)化.

解法3：為了避開使問題復(fù)雜化的多余情形，我們不妨大膽想象，假定這堆桃子可以均分5次，并且每次都可分成5等份，那么這堆桃子的個(gè)數(shù)至少應(yīng)該有5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 3125（個(gè)）. 這樣，第1只猴子取走一份5 × 5 × 5 × 5，還剩下（5 × 5 × 5 × 4） × 5，仍能均分成5份;第2只猴子再取走一份5 × 5 × 5 × 4，還剩下（5 × 5 × 4 × 4） × 5，也能均分成5份;第3只猴子再取走一份5 × 5 × 4 × 4，還剩下（5 × 4 × 4 × 4） × 5，還能均分成5份;第4只猴子再取走一份5 × 4 × 4 × 4，還剩下（4 × 4 × 4 × 4） × 5，仍能保證第5只猴子均分5份.

事實(shí)上，這堆桃子總數(shù)不能被5整除，而是必須減去1后才能被5整除，這堆桃子的個(gè)數(shù)就是3125 + 1 = 3126（個(gè)）. 而5次5等分之前都減去1個(gè)，合計(jì)減去5個(gè)，則這堆桃子至少有3126 - 5 = 3121（個(gè)）.

反思：這種解答策略是“假設(shè)調(diào)整”，就是假設(shè)每次都能5等分的理想情境，然后根據(jù)題意條件進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整. 這種解答策略具有“U型”思維的鮮明特征，以迂回達(dá)成高效，以另辟蹊徑達(dá)成目標(biāo)，不僅易于領(lǐng)會(huì)便于理解，而且能讓人從茅塞頓開的指引中恍然大悟擊節(jié)贊嘆.

（作者單位：揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)）