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    解密一次函數(shù)圖象分布

    2020-09-10 07:22:44崔秀玲左效平
    關(guān)鍵詞:交點(diǎn)象限常數(shù)

    崔秀玲 左效平

    一次函數(shù)是中考的重要考點(diǎn),題型頗多,其中包括一次函數(shù)圖象分布問題. 解這類問題的基本策略主要有兩種:性質(zhì)分類判斷法(如表1,按k和b的正負(fù)性分類判斷即可)和平移判斷法(如表2,b為正數(shù)時(shí)沿y軸向上平移;b為負(fù)數(shù)時(shí),沿y軸向下平移. 一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)相同即直線y = kx + b與y = kx是平行線;兩條直線的性質(zhì)是相同的) . 下面舉例對(duì)該類問題進(jìn)行剖析.

    表1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?表2

    一、根據(jù)圖象分布,確定待定字母的取值范圍

    例1(2019·山東·濰坊)若直線y = (2 - 2k)x + k - 3經(jīng)過第二、三、四象限,則k的取值范圍是 .

    解析:因?yàn)閥 = (2 - 2k)x + k - 3經(jīng)過第二、三、四象限,所以2 - 2k<0,k - 3<0,

    所以1

    二、根據(jù)圖象分布,分類確定k,b的條件

    例2(2019·湖北·荊門)如果函數(shù)y = kx + b(k,b是常數(shù))的圖象不經(jīng)過第二象限,那么k,b應(yīng)滿足的條件是( ).

    A. k ≥ 0且b ≤ 0 B. k>0且b ≤ 0 C. k ≥ 0且b<0 D. k>0且b<0

    解析:因?yàn)閥 = kx + b的圖象不經(jīng)過第二象限,y = kx + b不一定是一次函數(shù),所以分情形討論如下:

    當(dāng)k = 0時(shí),函數(shù)變?yōu)閥 = b,因?yàn)閳D象不過第二象限,所以b ≤ 0.

    當(dāng)k>0時(shí),函數(shù)是一次函數(shù),因?yàn)閳D象不經(jīng)過第二象限,所以圖象可以經(jīng)過一、三象限,此時(shí)b = 0;可以經(jīng)過一、三、四象限,此時(shí)b<0. 綜上所述,b ≤ 0.

    當(dāng)k<0時(shí),函數(shù)是一次函數(shù),且圖象一定經(jīng)過第二象限,與已知圖象不經(jīng)過第二象限矛盾,所以此種情形不可能.

    綜上所述,k ≥ 0且b ≤ 0. 故應(yīng)選A.

    三、根據(jù)圖象分布,判斷結(jié)論的正誤

    例3(2019·貴州·畢節(jié))已知一次函數(shù)y = kx + b(k,b為常數(shù),k ≠ 0)的圖象經(jīng)過一、三、四象限,則下列結(jié)論正確的是( ).

    A. kb>0 B. kb<0 C. k + b>0 D. k + b<0

    解析:因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y = kx + b(k,b為常數(shù),k ≠ 0)的圖象經(jīng)過一、三、四象限,所以k >0,b<0,所以kb<0. 故應(yīng)選B.

    四、根據(jù)k,b的正負(fù)性,綜合推理判斷

    例4(2019·山東·臨沂)下列關(guān)于一次函數(shù)y = kx + b(k<0,b>0)的說法,錯(cuò)誤的是( ).

    A. 圖象經(jīng)過第一、二、四象限 B. y隨x的增大而減小

    C. 圖象與y軸交于點(diǎn)(0,b) D. 當(dāng)x>-[bk]時(shí),y>0

    解析:因?yàn)閥 = kx + b中k<0,b>0,所以圖象經(jīng)過第一、二、四象限,所以A正確;因?yàn)閗<0,所以y隨x的增大而減小,所以B正確;當(dāng)x = 0時(shí),y = b,所以圖象與y軸的交點(diǎn)為(0,b),所以C正確;當(dāng)y = 0時(shí),x = -[bk],根據(jù)y隨x的增大而減小,所以當(dāng)x>-[ bk]時(shí),y<0,所以D不正確. 故應(yīng)選D.

    五、變換待定字母的位置,判斷函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象

    例5(2019·浙江·杭州)已知一次函數(shù)[y1] = ax + b和[y2] = bx + a(a ≠ b),函數(shù)[y1]和[y2]的圖象可能是( ).

    [O] [y][y1][y2][1][x] [y][y1][y2][1][x] [y][y1][y2][1][x] [y][y1][y2][1][x] [A][B][C][D][O][O]

    解析:在選項(xiàng)A中,由直線[y1] = ax + b可知a>0,b>0,所以直線[y2] = bx + a經(jīng)過一、二、三象限,所以A正確;在選項(xiàng)B中,由直線[y1] = ax + b可知a<0,b>0,所以直線[y2] = bx + a經(jīng)過一、四、三象限,所以B錯(cuò)誤;在選項(xiàng)C中,由直線[y1] = ax + b可知a<0,b>0,所以直線[y2] = bx + a經(jīng)過一、四、三象限,所以C錯(cuò)誤;在選項(xiàng)D中,由[y1] = ax + b可知a>0,b<0,所以直線[y2] = bx + a經(jīng)過一、二、四象限,所以D錯(cuò)誤. 故應(yīng)選A.

    六、根據(jù)圖象平移,綜合求解

    例6(2019·湖南·邵陽)一次函數(shù)[y1=k1x+b1]的圖象[l1]如下圖所示,將直線[l1]向下平移若干個(gè)單位長度后得直線[l2],[l2]的函數(shù)表達(dá)式為[y2=k2x+b2]. 下列說法中錯(cuò)誤的是( ).

    A. [k1] = [k2]? ? B. [b1]<[b2]

    C. [b1]>[b2] D. 當(dāng)x = 5時(shí),[y1]>[y2]

    解析:根據(jù)平移性質(zhì)“直線平行,k值相等”,得[k1] = [k2];根據(jù)圖象分布“位于y軸正半軸的b值較大”,可得[b1]>[b2];根據(jù)“橫坐標(biāo)相同時(shí),直線x = a與直線的交點(diǎn)位置靠上的,其函數(shù)值較大”,可知當(dāng)x = 5時(shí),[y1]>[y2] . 故應(yīng)選B.

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