例談導(dǎo)數(shù)在一點的問題

畢迎鑫 楊應(yīng)明 陳華平

摘要：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念是高等數(shù)學(xué)課程中的核心概念。關(guān)于函數(shù)在某一點的求導(dǎo)問題是微積分教學(xué)的重點也是難點，也是全國碩士研究生入學(xué)考試中的重點內(nèi)容，為此對導(dǎo)數(shù)在一點的問題通過一些例子來進行探討。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);流數(shù)術(shù);導(dǎo)數(shù);極限

導(dǎo)數(shù)是極限的發(fā)展，導(dǎo)數(shù)思想正是利用函數(shù)在點處臨近的變化狀態(tài)去揭示和把握函數(shù)在點處的變化狀態(tài)，從而深刻揭示了函數(shù)的變化率本質(zhì)。導(dǎo)數(shù)概念是微積分學(xué)中重要而基本的定義，也是高等數(shù)學(xué)的核心概念之一，如果能夠牢固地理解和掌握導(dǎo)數(shù)的定義，會對以后微積分的學(xué)習(xí)打下扎實的基礎(chǔ)。

1.早期導(dǎo)數(shù)的概念---“流數(shù)術(shù)”[1]

大約在1629年，法國數(shù)學(xué)家費馬研究了作曲線的切線和求函數(shù)極值的方法，1637年左右，他寫一篇手稿《求最大值與最小值的方法》。在作切線時，他構(gòu)造了差分，發(fā)現(xiàn)的因子E就是我們現(xiàn)在所說的導(dǎo)數(shù)。

17世紀(jì)生產(chǎn)力的發(fā)展推動了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，在前人創(chuàng)造性研究的基礎(chǔ)上大數(shù)學(xué)家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開始系統(tǒng)地研究微積分。牛頓的微積分理論被稱為“流數(shù)術(shù)”他稱變量為流量稱變量的變化率為流數(shù)相當(dāng)于我們今天所說的導(dǎo)數(shù)。牛頓的有關(guān)“流數(shù)術(shù)”的實質(zhì)概括為：在于一個變量的函數(shù)而不在于多變量的方程;在于自變量的變化與函數(shù)的變化的比的構(gòu)成，而最終在于決定這個比當(dāng)變化量趨于零時的極限。

1750年達朗貝爾在為法國科學(xué)家院出版的《百科全書》第四版寫的“微分”條目中提出了關(guān)于導(dǎo)數(shù)的一種觀點，可以用現(xiàn)代符號簡單表示：。1823年，柯西在他的《無窮小分析概論》中定義導(dǎo)數(shù)：如果函數(shù)在變量x的兩個給定的界限之間保持連續(xù)，并且我們?yōu)檫@樣的變量指定一個包含在這兩個不同界限之間的值，那么是使變量得到一個無窮小增量。19世紀(jì)60年代以后，魏爾斯特拉斯創(chuàng)造了ε-δ語言，對微積分中出現(xiàn)的各種類型的極限重加表達，導(dǎo)數(shù)的定義也就獲得了今天常見的形式。

2.函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)概念[2]

設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處有增量時相應(yīng)地函數(shù)取得增量，如果之比當(dāng)→0 時極限存在，則稱函數(shù)在點處可導(dǎo)，并稱這個極限值為函數(shù) y=f（x）在點處的導(dǎo)數(shù)或微商，記為 ，即也可以記作.函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的增量與自變量增量之比的極限，也可以寫成或.它是在處的函數(shù)值，是一個常數(shù)，而不是變數(shù)。如果以上式中的極限不存在，則稱函數(shù)在點處不可導(dǎo)。

3.利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)三步走

第一步，求函數(shù)的增量;

第二步，求平均變化率;

第三步，取極限得導(dǎo)數(shù)

例1.求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)

解：求函數(shù)的增量：;

求平均變化率：

取極限得導(dǎo)數(shù)：

4.函數(shù)在點處可導(dǎo)的條件[3]

理解函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)定義的關(guān)鍵是它包含兩層含義即可導(dǎo)條件和導(dǎo)數(shù)概念，即存在是函數(shù)y=f（x）在處可導(dǎo)的條件。函數(shù)在點處的可導(dǎo)應(yīng)滿足三個條件：（1）在點處及其附近有意義;（2）左極及右極限都存在;（3）.因此可以說函數(shù)在處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。

5.導(dǎo)數(shù)在一點常見的幾種問題

函數(shù)在某一點可導(dǎo)是在某一點連續(xù)的充分的條件;函數(shù)在某一點連續(xù)是函數(shù)在某一點可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件，也就是函數(shù)某一點連續(xù)不能推出它在該點可導(dǎo)，但函數(shù)某一點不連續(xù)可推出它在該點一定不可導(dǎo)。對于分段函數(shù)在分段點的導(dǎo)數(shù)，必須要用函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)定義來求以及函數(shù)在某一點可導(dǎo)與在該點處的曲線切線的關(guān)系。

5.1函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)與的關(guān)系

當(dāng)存在時，一定存在;反之，當(dāng)不存在時，卻不一定不存在。

如例2對于函數(shù)，有顯然不存在，但是由導(dǎo)數(shù)的定義可知：

=

存在。因此，當(dāng)不存在時，不一定不存在，即可能有。

5.2函數(shù)在點處可導(dǎo)，是否在點的某一鄰域內(nèi)每一點可導(dǎo)函數(shù)在點處可導(dǎo)是個局部概念，但在點的鄰域內(nèi)不一定處處可導(dǎo)。

如例4，由導(dǎo)數(shù)定義可知，而函數(shù)在任意都不連續(xù)，從而不可導(dǎo)。由此可知，一個函數(shù)可能僅僅在一點可導(dǎo)。

又如例5如果為偶函數(shù)，且存在，證明：

分析：由偶函數(shù)定義知：，該式是關(guān)于的恒等式，恒等式兩邊可以關(guān)于求導(dǎo)：這個式中不能令代入推出，而是因為已知條件中僅僅知道在點可導(dǎo)，但在的某個小鄰域內(nèi)函數(shù)是否可導(dǎo)并不知道，所以不能用對恒等式求導(dǎo)的方法來證明，而只能用導(dǎo)數(shù)的定義來證明。

證明：由導(dǎo)數(shù)的定義可知：，

=

因為在點可導(dǎo)，有

故即有

5.4討論分段函數(shù)在分斷點處的可導(dǎo)性，要用導(dǎo)數(shù)定義

根據(jù)函數(shù)在點處導(dǎo)數(shù)存在的充要條件是來判斷。

判斷分段函數(shù)在分段點處導(dǎo)數(shù)是否存在，一般步驟如下：

（1）考察是否存在;是否存在。

（2）當(dāng)且僅當(dāng)存在并且相等時在處可導(dǎo)，否則在處不可導(dǎo)。

例6（2019，考研題）已知函數(shù)求

解：當(dāng)時，=

當(dāng)時，

由于，則不存在。

5.5用定義來求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)

如果已知的函數(shù)是個多項式或是一個比較復(fù)雜的函數(shù)來求它在某一點的導(dǎo)數(shù)式，可以使用導(dǎo)數(shù)的定義求，簡化運算的步驟。

如例7（2012，考研題）設(shè)函數(shù)

其中為正整數(shù)，求

分析：本題中是關(guān)于的次多項式函數(shù)，可以展開后用導(dǎo)數(shù)公式求出導(dǎo)函數(shù)，再代入，但非常麻煩，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)得定義可以簡潔地求出結(jié)果。

解：注意到，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義有

=

=

例8

分析：用導(dǎo)數(shù)公式求出導(dǎo)函數(shù)，再代入，計算量有點大，但用導(dǎo)數(shù)的定義來求就比較簡單。

解：設(shè)，

則，

且

=

所以

5.6用函數(shù)在點處可導(dǎo)，來求與在點導(dǎo)數(shù)的定義有關(guān)的極限

如果一個函數(shù)在一點可導(dǎo)，那么這個函數(shù)在這一點的極限值就存在，利用這個結(jié)論來求函數(shù)在某點的極限，這是求極限的另一種方法。

例9（2011，考研題）已知在處可導(dǎo)，且=0，求

分析：由在處可導(dǎo)且=0，可知

解：把所求的極限先拆項再用導(dǎo)數(shù)定義來求

在處可導(dǎo)且=0，可知

所以

例10已知求[6]

解：由，可知

所以=

=

5.7與在點導(dǎo)數(shù)定義有關(guān)的極限存在，函數(shù)在點處是否可導(dǎo)函數(shù)在某一點的極限存在，不一定在這一點可導(dǎo)。

如例11（2007，考研題）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且

（1）若存在，則是否存在？

（2）若存在，則是否存在？

解：由函數(shù)在處連續(xù)，且可知=0

（1）=

雖然存在，但不能保證一定存在，故不一定存在。如，雖然=存在，但是不存在。

（2）==而存在，所以存在。

5.8用函數(shù)在點處可導(dǎo)，來求參數(shù)

例12[6]已知分段函數(shù)在處可導(dǎo)，求a，b的值。

分析：根據(jù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，可知函數(shù)在一點可導(dǎo)則必連續(xù)。由導(dǎo)數(shù)的定義和連續(xù)的定義可以求得參數(shù)a，b的值。

解：函數(shù)在處可導(dǎo)則必連續(xù)，而在處的左、右極限分別為

，

所以根據(jù)函數(shù)連續(xù)性的定義，應(yīng)有

再由在處可導(dǎo)可知，它在該點的左、右極限存在且相等，而

，

，由于

所以，即的值分別為0，

5.9利用導(dǎo)數(shù)在某點處的幾何意義，來求曲線在該點處的切線方程和法線方程

例13[7]求三次曲線在點（1，2）處的切線方程和法線方程。

分析：已知一點求直線方程，根據(jù)直線的點斜式方程，需要知道直線的斜率。由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求得切線的斜率。

解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，切線的斜率為函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)值，即

，即曲線在點（1，2）處的切線斜率為3.由直線的點斜式方程，得到切線方程為，即;

又曲線在點（1，2）處的法線斜率為，所以，法線方程為

，即

綜上所述：高等數(shù)學(xué)中函數(shù)導(dǎo)數(shù)的由來可是很深遠的，它有兩大背景，一是幾何背景，二是物理背景。幾何背景是過曲線上一點作該點的切線，要作該點的切線就必須要確定該點處的斜率，怎樣才能把該點的斜率清楚的描述出來呢？就用到了極限，進而得到該點的斜率，引申為函數(shù)導(dǎo)數(shù)。物理背景就是研究物理運動的速度，研究方法與切線斜率是一樣的。在自然科學(xué)和工程技術(shù)中，還有許多問題的解決，如電流、角速度、線密度等等，都歸結(jié)為求函數(shù)的增量與自變量增量之比的極限，如果拋開這些量的具體意義，抓住它們在數(shù)量關(guān)系上的實質(zhì)，就可以引出導(dǎo)數(shù)的概念，并要理解并牢固的掌握導(dǎo)數(shù)的定義，明確導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的變化率，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，并能靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義的變形，盡管增量的形式是多種多樣的，但不論選擇哪種形式，必須選擇相對應(yīng)的形式。掌握函數(shù)在某一點可導(dǎo)必連續(xù)，且函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件，還有它的逆否命題，為以后學(xué)習(xí)微分中值定理、泰勒公式、定積分中值定理、還有級數(shù)打下堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻：

[1]莫里斯.克萊因著，張里京、張錦炎、江澤涵譯.《古今數(shù)學(xué)思想》第四卷.上?？茖W(xué)技術(shù)出版社.2002.

[2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編.“十二五”普通高等教育本科國家級規(guī)劃教材：高等數(shù)學(xué)（上冊）（第七版）.高等教育出版社.2017：73.

[3]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編.“十二五”普通高等教育本科國家級規(guī)劃教材：高等數(shù)學(xué)（上冊）（第七版）.高等教育出版社.2017：80.

[4]張卓奎，王金金主編.普通高等教育“十三五”規(guī)劃教材：高等數(shù)學(xué)（上冊）（第3版）.北京郵電大學(xué)出版社.2017：98.

[5]張卓奎，王金金主編.普通高等教育“十三五”規(guī)劃教材：高等數(shù)學(xué)（上冊）（第3版）.北京郵電大學(xué)出版社.2017：70.

[6]張卓奎，王金金主編.普通高等教育“十三五”規(guī)劃教材：高等數(shù)學(xué)（上冊）（第3版）.北京郵電大學(xué)出版社.2017：69-70.

[7]張卓奎，王金金主編.普通高等教育“十三五”規(guī)劃教材：高等數(shù)學(xué)（上冊）（第3版）.北京郵電大學(xué)出版社.2017：67.

基金項目：貴州省數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)卓越教師人才培養(yǎng)計劃（編號：GZSZY10977201401）;貴州省高等學(xué)校教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)改革項目（編號：GZSJG10977201603）;六盤水師范學(xué)院第六批重點學(xué)科項目（LPSSYZDPYXK201709）。

作者簡介：畢迎鑫（1968-），女，山東曲阜人，數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院副教授，主要從事高等數(shù)學(xué)方面的研究。