如何上好數(shù)學(xué)中函數(shù)圖象及性質(zhì)課

張亮

摘要：函數(shù)圖象及性質(zhì)教學(xué)在數(shù)學(xué)中處于核心地位。函數(shù)圖象及性質(zhì)的形成過程是一個觀察、歸納、概括、抽象的過程。對函數(shù)圖象及性質(zhì)的了解應(yīng)是多維度、多因素的，因此，函數(shù)圖象及性質(zhì)學(xué)習(xí)過程應(yīng)是一個探究的過程。函數(shù)圖象及性質(zhì)教學(xué)中，不僅要重視函數(shù)圖象及性質(zhì)的生成過程,重視對函數(shù)圖象及性質(zhì)的內(nèi)涵和外延的認(rèn)識，也要重視將函數(shù)圖象及性質(zhì)向相關(guān)知識領(lǐng)域遷移，促進(jìn)學(xué)習(xí)者能力的提高。

關(guān)鍵詞：函數(shù)圖象；函數(shù)性質(zhì)；對數(shù)函數(shù)

1 ?教學(xué)分析

“對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”是人教A版《數(shù)學(xué)1》(必修)第二章“基本初等函數(shù)（I）”第二節(jié)課。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心，而對數(shù)函數(shù)是高中階段所研究的重要的基本初等函數(shù)之一。本節(jié)內(nèi)容是在已經(jīng)學(xué)過指數(shù)函效、對數(shù)的基礎(chǔ)上引入的，因此既是上述知識的拓展和延伸，也是對函數(shù)這一重要數(shù)學(xué)思想的進(jìn)一步認(rèn)識與理解。

本節(jié)課是一節(jié)函數(shù)圖象與性質(zhì)課。在形成函數(shù)圖象與性質(zhì)的過程中，應(yīng)充分考慮到學(xué)生的認(rèn)知水平，把學(xué)生已有的知識作為新知識的生長點(diǎn)。在探究對數(shù)函數(shù)的圖象時，可借助幾何畫板演示圖形動畫，歸納出對數(shù)函數(shù)的圖象。通過類比學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的過程，學(xué)生自然能夠獲得學(xué)習(xí)新知識數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的研究方向。在對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，重要的是讓學(xué)生體驗(yàn)生成圖象的過程，并獲得學(xué)習(xí)新函數(shù)圖象與性質(zhì)的“基本套路”，即認(rèn)識數(shù)學(xué)新對象的基本方法。

2 ?教學(xué)過程

2.1 ?感受新知

材料1：考古學(xué)家如何估算尸體出土的年代

考古學(xué)家是通過提取尸體的殘留物碳14的殘留量P，利用 估算尸體出土的年代，不難發(fā)現(xiàn)：對每一個碳14的含量的取值，通過這個對應(yīng)關(guān)系，生物死亡年數(shù)t都有唯一的值與之對應(yīng)，從而t是P的函數(shù).

材料2：細(xì)胞分離過程示意圖

某種細(xì)胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個 ……，如果要求這種細(xì)胞經(jīng)過多少次分裂，大約可以得到細(xì)胞1萬個，10萬個 ……，不難發(fā)現(xiàn)：分裂次數(shù)y就是要得到的細(xì)胞個數(shù)x的函數(shù),即

設(shè)計意圖：新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)“考慮到多數(shù)高中生的認(rèn)知特點(diǎn)，為了有助于他們對函數(shù)概念本質(zhì)的理解，不妨從學(xué)生自己的生活經(jīng)歷和實(shí)際問題入手”。因此，新課引入不是按照舊教材從反函數(shù)出發(fā)，而是選擇從兩個材料引出對數(shù)函數(shù)的概念，讓學(xué)生熟悉它的知識背景，初步感受對數(shù)函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的又一重要數(shù)學(xué)模型。這樣處理，會使對數(shù)函數(shù)顯得不抽象，學(xué)生更容易接受，降低了新課教學(xué)的起點(diǎn)。

2.2 ?探究新知

探究1.對數(shù)函數(shù)的定義

問題1：你能歸納材料1、材料2中兩個函數(shù)的共同特征嗎？

教師：引導(dǎo)學(xué)生歸納材料1-2中兩個函數(shù)的特征：含有對數(shù)符號，底數(shù)是常數(shù)，真數(shù)是變量，從而抽象出對數(shù)函數(shù)的一般形式，然后給出對數(shù)函數(shù)的定義：

一般地，我們把函數(shù) 叫做對數(shù)函數(shù)（logarithmic function），其中 是自變量，函數(shù)的定義域是 .

探究2．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

問題2：類比指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究方法，怎樣研究對數(shù)函數(shù) 的圖象與性質(zhì)呢？

教師設(shè)置活動：請按以下步驟共同探究對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

步驟一：（1）用描點(diǎn)法畫出對數(shù)函數(shù)： ， 的圖象（如圖1）

（2）用描點(diǎn)法畫出對數(shù)函數(shù)： ， 的圖象（如圖2）

步驟二：觀察對數(shù)函數(shù) 、 與 、 的圖象特征 ，看看它們有那些異同點(diǎn)。

步驟三：教師利用幾何畫板計算機(jī)，選取底數(shù) ?，且 的若干個不同的值，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)對數(shù)函數(shù)的圖象，如圖3。觀察圖象，它們有哪些共同特征？進(jìn)而猜想對數(shù)函數(shù) ?，且 的圖象與性質(zhì)。

步驟四：在學(xué)生自主探究、合作交流的的基礎(chǔ)上歸納出能體現(xiàn)對數(shù)函數(shù)的代表性圖象，從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、過定點(diǎn)等方面制作表格記錄對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

設(shè)計意圖：舊教材是通過對稱變換直接從指數(shù)函數(shù)的圖象得到對數(shù)函數(shù)圖象的，這樣處理學(xué)生雖然會接受這個事實(shí)，但對圖象的感覺是膚淺的；這樣處理也存在著函數(shù)教學(xué)忽視圖象、性質(zhì)的認(rèn)知過程而注重應(yīng)用的“功利”思想，因此，本節(jié)課的設(shè)計注重引導(dǎo)學(xué)生用特殊到一般的方法探究對數(shù)函數(shù)圖象的形成過程，加深感性認(rèn)識。同時，幫助學(xué)生確定探究問題及探究的方向和步驟，確保探究的有效性，這個環(huán)節(jié)，還要借助計算機(jī)輔助教學(xué)作用，增強(qiáng)學(xué)生的直觀感受。

2.3 ?應(yīng)用新知

應(yīng)用1：求下列函數(shù)的定義域：

（1） ；(2) ?．

應(yīng)用2： 比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。?/p>

（1） ， ? （2） ，

（3） ?, ?（ ，且 ）.

設(shè)計意圖：這個環(huán)節(jié)不作為本節(jié)課的重頭戲，設(shè)置探究問題只是從另一層面上提升學(xué)生對性質(zhì)的理解和應(yīng)用。應(yīng)用1是考察對數(shù)函數(shù)的定義域問題，注意對數(shù)中真數(shù)大于0的性質(zhì)即可。應(yīng)用2是比較大小，始終要緊扣對數(shù)函數(shù)模型，滲透函數(shù)的觀點(diǎn)（數(shù)形結(jié)合）解決問題的思想方法。舊教材在圖象與性質(zhì)之后，通常練習(xí)類似比較大小等技巧性過大的問題，而新教材引出應(yīng)用2，還是強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)建?！钡乃枷?，并且關(guān)注學(xué)科間的聯(lián)系，這種精神應(yīng)予以領(lǐng)會。當(dāng)然要預(yù)計到，實(shí)際教學(xué)中學(xué)生理解這道應(yīng)用題的題意時會遇到一些困難，教師要注意引導(dǎo)。

2.4 ?梳理總結(jié)

問題3：請同學(xué)們想一想，本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了那些數(shù)學(xué)知識？用到了什么思想方法?用到了那些解題策略？你還有哪些困惑？（教師給出思維導(dǎo)圖，如圖4）

學(xué)生：分小組討論，完成思維導(dǎo)圖，并展示分享小組討論成果。

教師：給出利用思維導(dǎo)圖總結(jié)的結(jié)果展示。

設(shè)計意圖：由學(xué)生通過思維導(dǎo)圖梳理小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，教師加以提煉補(bǔ)充，并歸納學(xué)習(xí)函數(shù)圖象及性質(zhì)課的“基本套路”。同時通過思維導(dǎo)圖進(jìn)行課堂梳理與小結(jié)，能夠使學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)知識進(jìn)行系統(tǒng)性把握，效果良好。教師利用思維導(dǎo)圖設(shè)計課堂教學(xué)，以開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維和發(fā)散思維為本，結(jié)合學(xué)生特點(diǎn)靈活掌握數(shù)學(xué)知識，是實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)“高效”的有效途徑。

3 ?教學(xué)反思

本節(jié)課是“對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（第一課時）”，“對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”是人教A版數(shù)學(xué)必修1的內(nèi)容，有人說“課堂教學(xué)是學(xué)術(shù)研究的實(shí)踐活動，既像科學(xué)家進(jìn)入科學(xué)實(shí)驗(yàn)室，又像藝術(shù)家登上藝術(shù)表演的舞臺，教學(xué)是一種創(chuàng)造的藝術(shù)，一種遺憾的藝術(shù)?！被仡欉@節(jié)課的設(shè)計，以下幾點(diǎn)在實(shí)際教學(xué)過程中可以借鑒：

（1）運(yùn)用幾何畫板畫出函數(shù)圖像，讓學(xué)生更直觀的觀察出對數(shù)函數(shù)的圖像。對突破本節(jié)課的重、難點(diǎn)起了很大的幫助。

（2）在引入新課時，教科書設(shè)計的情境對我們的學(xué)生來說，有點(diǎn)陌生和難，根據(jù)我校學(xué)生的實(shí)際情況我重新設(shè)計了教學(xué)情境，由于問題具有開放性，有簡單易行，學(xué)生表現(xiàn)得都很積極。課堂開始讓學(xué)生動起來了，一開始的問題不能太難，否則容易使學(xué)生陷入困境，從而失去進(jìn)一步學(xué)習(xí)的興趣。所以這樣引入新課就自然了許多，學(xué)生接受起來也容易些。一堂成功的數(shù)學(xué)課，往往給人以自然、和諧、舒服的享受。所以設(shè)計恰當(dāng)?shù)那榫骋胄抡n是很重要的。

（3）通過選取不同的底數(shù)a的對數(shù)函數(shù)圖象，讓學(xué)生類比研究指數(shù)函數(shù)圖象及其性質(zhì)動手實(shí)際操作來畫對數(shù)函數(shù)的圖象，從而來探究對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)。這個環(huán)節(jié)讓學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)，自主探究。還能讓學(xué)生自己建構(gòu)知識體系，沒有傳授也沒有灌輸。分類的思想學(xué)生在小學(xué)和初中就已經(jīng)接觸了很多，應(yīng)該不陌生，但是要將其變成自己的學(xué)習(xí)方法、甚至能靈活運(yùn)用，卻不太容易。舊知要經(jīng)常溫習(xí)，已有的思想方法也要經(jīng)?；仡櫋２煌瑪?shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系和類比，有助于學(xué)生了解與中學(xué)數(shù)學(xué)知識有關(guān)的擴(kuò)展知識及內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想，促使學(xué)生認(rèn)真思考其中的一些問題，加深對其理解。