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    基于直角坐標(biāo)系的木板最優(yōu)切割方案研究

    2020-09-10 07:22:44李澤坤何騰侯夢雪
    信息技術(shù)時代·下旬刊 2020年5期
    關(guān)鍵詞:毛坯木板板材

    李澤坤 何騰 侯夢雪

    本文主要研究針對不同產(chǎn)品的需求,給出最優(yōu)木板切割方案,使其在滿足不同需求的情況下木板利用率最高或家具廠獲利最大。主要使用C++與MATLAB編程,對所建模型進(jìn)行求解,最終給出木板切割方案圖以及最優(yōu)切割方案。本文以板材左下角為原點,建立二維直角坐標(biāo)系,在該坐標(biāo)系中,每一個矩形產(chǎn)品可通過左上角和右下角坐標(biāo)確定其切割位置,在此基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型。通過兩種尋優(yōu)切割規(guī)則,使目標(biāo)利用率盡可能大,求解該模型得出三種利用率最高的切割方案。

    木材利用率;切割方案;切割模型

    1.引言

    隨著徐州市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展,居民生活水平不斷提高,住房需求也日益增長,家居也在人們生活中扮演重要角色。徐州某家居廠新購進(jìn)一批長3000mm,寬1500mm的,可做為四種產(chǎn)品原材料的木材。在四種產(chǎn)品各項指標(biāo)已確定的條件下,能否合理利用木材,給出最優(yōu)切割方案直接影響了木材利用率與家具廠利潤收益。

    2.模型建立與求解

    設(shè)所用板材尺寸為,由題意知,所需毛坯共m種(k=2),第i種毛坯個數(shù)為n,長度為l,寬度為w。針對一塊板材,所能切割的毛坯總量為:(1)

    基本目標(biāo)為:所切割毛坯數(shù)盡可能多,以提高板材利用率。

    基本約束條件為:根據(jù)實際情況,所切割各毛坯間不會有相互重疊的區(qū)域,且切的毛坯不會有除板材之外的部分。

    切割規(guī)則:每個毛坯可被橫向切割或縱向切割。

    切割方式:從板材左下角開始,切至板材右上角以結(jié)束板材切割。板材左下角坐標(biāo)為(0,0)。由于毛坯在板材上的位置可由毛坯左上角坐標(biāo)與右下角坐標(biāo)完全確定。設(shè)(x,y), (x,y)為第i

    塊矩形毛坯左上角與右下角坐標(biāo)(其中(),對于本問求解

    一塊板材中P1,P3的最佳切割數(shù)量,使得板材利用率最高,相應(yīng)的最優(yōu)切割方案即確定每塊矩形毛坯在板材左上角(x,y),右下角(x,y)坐標(biāo)。

    毛坯可采取橫切,豎切兩種切割方式,繼而毛坯兩坐標(biāo)間存在下述關(guān)系:

    (2)(3)

    其中公式(2)為橫排,公式(3)為豎排。

    因此,本文對于每塊毛坯的切割,共有三個自變量,分別為x,y和決定毛坯橫切或豎切的量s,s=0表示橫切、s=1表示豎

    切。故(x,y),(x,y)有以下關(guān)系:(4)

    設(shè)R,R為任意兩個矩形毛坯,他們的左上角與右下角坐標(biāo)分別為:(x,y),(x,y); (x,y),(x,y)。為滿足切割時毛坯不可能重疊的條件,則它們必然至少滿足公式(5)所示的四種情況之一并且將公式(4)與(5)聯(lián)立得到(6)。

    (5)(6)

    同樣,對于任意一個矩形毛坯Ra,其切割不能超出板材之外,則毛坯Ra的坐標(biāo)應(yīng)滿足

    (7)

    即可得出切割后的最高利用率目標(biāo)函數(shù):

    (8),其中zi=0或1。

    綜上所述,得到優(yōu)化后的切割模型為:(9)

    (10)

    其中u(x)為跳躍函數(shù):(11)

    從以上建立的數(shù)學(xué)模型來看,該優(yōu)化問題混合且不可微,其中x, y是連續(xù)的,而s,z是離散的,且u(x)不可微。對此類優(yōu)化問題,目前在理論上還沒有有效的求最優(yōu)解的算法,但針對本文的實際問題,滿足上述條件情況下可進(jìn)行近似計算。

    在切割過程中為保證盡量可能多的毛坯被切割,故在切割前應(yīng)優(yōu)先判斷是否存在一個毛坯的長l>W`。若存在,則需在可切割毛

    坯中選取一種可使剩余廢料最少的切割方式。計算公式如下:(12),且滿足:,而對于所有情況,則按照下面方案選擇毛坯及切割方式;先

    針對給定的i求出以下四中方式中的非負(fù)最小值:

    (13),其中

    進(jìn)而重復(fù)以上兩步驟可得最優(yōu)的三種切割方案如下圖:

    方案一 ????????????方案二 ???????????方案三

    3.結(jié)論

    方案編號

    P1的數(shù)量

    P3的數(shù)量

    參考文獻(xiàn)

    [1]劉倩.“一刀切”約束下的矩形件優(yōu)化排樣算法比較與整合研究[D].天津: 河北工業(yè)大學(xué),2012.

    [2]劉淑偉,郭順生,郭鈞,等.基于改進(jìn)遺傳算法的矩形件下料優(yōu)化方法研究[J].機(jī)械制造,2015,53(12):76-79.

    [3]吳忻生,吳超成,劉海明.基于改進(jìn)遺傳算法的矩形件排樣優(yōu)化算法[J].制造業(yè)自動化,2013,35(19):55-58,155.

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