矩陣特征值性質及其在考研數(shù)學解題中的應用

陳華 何佳怡 袁致成 吳奔潮 彭浩天

[摘 要]線性代數(shù)是理工科大學數(shù)學教育中的重要組成部分，這門學科對很多備戰(zhàn)考研的學子來說，最深刻的感覺就是抽象、概念多、定理多、性質多、關系多。學生如果對基礎概念與解題方法掌握不熟練，拿到題就容易不知所措。通常情況下，線性代數(shù)的考題的跨度比較大。一個題目，表面上看，只是考某一章節(jié)的知識點，而處理時可能會涉及多個章節(jié)里面的知識點，這給考生復習帶來了困難和阻力。但同時線性代數(shù)的題型和解題方法比較固定，有規(guī)律可循。

[關鍵詞]線性代數(shù);考研數(shù)學;特征值;矩陣

[基金項目]2018年度江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃課題“理工類院校高等數(shù)學研究性教學與學生人文素質培養(yǎng)的有機融合與實踐”（c-b/2018/01/06）;2018年度江蘇省高校數(shù)學教研會課題“新工科大學生人文素質培養(yǎng)在數(shù)學類基礎課程建設中的有機融合與實踐”（JSSXJY201803）;2019年度中央高校基本科研業(yè)務費專項資金資助“數(shù)學類基礎課研究性教學探討與實踐”（2019B52314）

[作者簡介]陳 華（1978—），男，江蘇揚中人，博士，河海大學理學院教授，碩士生導師，主要從事非線性控制、受限控制、輪式移動機器人運動控制、分數(shù)階動力學系統(tǒng)控制研究。

[中圖分類號] G642[文獻標識碼] A[文章編號] 1674-9324（2020）33-0324-02[收稿日期] 2020-03-09

一、引言

矩陣特征值是線性代數(shù)的重點內容之一，也是考研的熱點，考生在復習這塊內容時應認真仔細。首先，要理解特征值、特征向量的概念，掌握求矩陣特征值、特征向量的方法;其次，要理解矩陣相似的概念，掌握相關性質，弄明白矩陣能進行相似對角化的條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法;最后，要熟悉應用實對稱矩陣特征值、特征向量的特殊性質，掌握用正交矩陣將實對稱矩陣化為對角矩陣的方法。

矩陣的特征值與特征向量，每年考大題時，都會涉及這章內容，且重點考查三個方面：一是特征值與特征向量的定義、性質及求法;二是矩陣的相似對角化問題;三是實對稱矩陣的性質及正交相似對角化的問題。

下面通過對歷年真題的研究分析，對真題考點進行總結，對考研復習是大有裨益的。

二、方陣的特征值與特征向量基本概念

定義1 設A是n階矩陣，若存在數(shù)λ和n維非零列向量x，使得關系式

Ax=λx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

成立。那么，數(shù)λ可稱為矩陣A的特征值，非零向量x稱為矩陣A的對應于特征值λ的特征向量。

顯然，（1）式可等價為

（A-λE）x=0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

即

上式是以λ為未知數(shù)的一元n次方程，稱為矩陣A的特征矩陣。其左端式子|A-λE|是λ的n次多項式，記作f（λ），稱為矩陣A的特征多項式。顯然，A的特征值就是特征方程的解。特征方程在復數(shù)范圍內恒有解，其個數(shù)為方程的次數(shù)（重根按重數(shù)計算），因此，n階矩陣A在復數(shù)范圍內有n個特征值[1]（P120）。

定義2 設A和B為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P使得

P-1AP=B

則稱矩陣A和B相似，記作A～B。如果A能與對角矩陣相似，則稱A可對角化。

定理1 如果α1，α2，…，αt都是矩陣A的對應于特征值λ的特征向量，那么當k1α1+k2α2+…+ktαt非零時，k1α1+k2α2+…+ktαt仍是矩陣A對應于特征值λ的特征向量[2]（P126）。

定理2 設n階矩陣A=（aij）的特征值為λ1，λ2，…， λn不難證明：

（i）λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+ann;

（ii）λ1λ2…λn=|A|

由（ii）可知A是可逆矩陣的充分必要條件是它的n個特征值全不為零。

設λ=λi為矩陣A的一個特征值，則由方程

（A-λiE）x=0

可求得非零解x=pi，那么pi便是A的對應于特征值λi的特征向量（若λi為實數(shù)，則pi可取實向量;若λi為復數(shù)，則pi可取復向量）。[1]（P120）

定理3 如果λ1，λ2，…，λm是矩陣A的互不相同的特征值，α1，α2，…，αm分別是與之對應的特征向量，則α1，α2，…，αm線性無關[2]（P135）。

定理4 如果A是n階矩陣，λi是A的m重特征值，則對應于λi的線性無關的特征向量的個數(shù)不超過m個[3]。

定理5 n階方陣A可對角化的充分必要條件是A有n個線性無關特征向量[4]（P264）。

推論：若λ是n階矩陣A的特征值，非零向量α為矩陣A對應于特征值λ的特征向量，則是K1A+K2E，Am，A-1，A*，f（A）的特征值;非零向量α是K1A+K2E，Am，A-1，A*，f（A）的對應于特征值的特征向量，如下表所示。

A K1A+K2E Am A-1 A* f（A）

λ k1λ+k2 λm f（λ）

α α α α α α

三、歷年考研題中特征值與特征向量的應用

例1（2018數(shù)學一）：設2階矩陣A有兩個不同的特征值，α1，α2是A的線性無關的特征向量，且滿足A2（α1+α2）=α1+α2，則|A|=? ? ? ? ? ? 。

答案：-1。

解析：設Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2，則A2（α1+α2）=A2α1+ A2α2=λ12α1+λ22α2=α1+α2。由于α1，α2線性無關，故λ12=1，λ22=1，從而可得A的兩個不同的特征值為1，-1，故|A|=λ1λ2=-1。

例2（2015數(shù)學二）：設3階矩陣A的特征值為2，-2，1，B=A2-A+E，其中E為3階單位矩陣，則行列式|B|=? ? ? ? ? ? 。

答案：21。

解析：由題設可知的特征值為4，4，1，所以矩陣B的特征值為3，7，1。

|B|=3×7×1=21。

四、結論

矩陣的特征值和特征向量相關知識在近幾年來的線性代數(shù)考研中應用廣泛，除了求解的基本問題，還涉及矩陣相似、相似對角化，以及用正交矩陣將實對稱矩陣化為對角矩陣等。本文對線性代數(shù)中的重要知識點特征值和特征向量進行了詳細的歸納總結，并通過歷年考研題進行分析，靈活應用相關的定理和推論，達到了簡化步驟、快速解決較復雜問題的效果。學生學習并熟練掌握矩陣特征值的性質，對考研數(shù)學解題起到不可忽視的作用。

參考文獻

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[3]向以華.矩陣的特征值與特征向量的研究[J].重慶三峽學院學報，2009，25（3）：135-138.

[4]楊莉.即學即用 線性代數(shù)十五講[M].北京：中國時代經濟出版社，2009：264.

Matrix Eigenvalue Properties and Its Application in the Mathematical Problem Solving

of Postgraduate Entrance Examination

CHEN Huaa， HE Jia-yib， YUAN Zhi-chengc， WU Ben-chaoc， PENG Hao-tianc

（a. College of Science， b. College of Internet of Things Engineering， c. College of Mechanical and Electrical Engineering， Hohai University， Changzhou， Jiangsu 213022， China）

Abstract： Linear algebra is an important part of mathematics education in science and engineering universities. For many students preparing for the postgraduate entrance examination， the most profound feeling of this subject is that it is very abstract， and has many concepts and theorems， many properties， and many relationships. If students are not proficient in basic concepts and problem-solving methods， they are easily at a loss. Under normal circumstances， the span of linear algebra exam questions is relatively large. On the surface， a question is only about the knowledge points of a certain chapter， but actually it involves the knowledge points of many chapters， which brings difficulties to the preparation of students. But at the same time， the problem types and problem-solving methods of linear algebra are relatively fixed， and there are rules to follow.

Key words： linear algebra; mathematics of postgraduate entrance examination; eigenvalue; matrix