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    一類帶位勢與散射阻尼半線性波動方程解的破裂

    2020-09-10 08:06:50范雄梅
    中北大學學報(自然科學版) 2020年5期
    關鍵詞:上界位勢跨度

    范雄梅, 明 森, 韓 偉

    (中北大學 理學院, 山西 太原 030051)

    0 引言及主要結論

    本文研究外區(qū)域上帶位勢與散射阻尼的半線性波動方程初邊值問題

    (1)

    式中: Ωc=RnB1(0), Ω=B1(0)為Rn中的單位球;μ>0,β>1;ε>0為任意給定的充分小的正數(shù); 位勢0≤V(x)≤C(1+|x|2+δ)-1,C>0,δ>0均為常數(shù);μ(1+t)-βut為散射阻尼.

    關于帶阻尼的線性波動方程的Cauchy 問題

    (2)

    近來, 帶阻尼的非線性波動方程的Cauchy問題受到廣泛關注[3-9]. 目前的主要研究結果集中在β∈(-∞,1]. 當β=1,μ=2時, Fujita 指數(shù)與Strauss 指數(shù)密切相關. 文獻[6]研究了次臨界指數(shù)具散射阻尼的半線性波動方程, 利用試探函數(shù)方法和迭代方法得到解會破裂及其生命跨度的上界估計, 但沒有涉及位勢項和外區(qū)域. 而對于問題(1), 目前還沒有相關結果.

    本文考慮當空間維數(shù)n與非線性項指數(shù)p滿足一定條件時, 問題(1)的解總會在有限時間內(nèi)破裂, 進而得到其生命跨度的上界估計. 本文主要結果如下:

    定理1設n≥1, 1R>2.f(x),g(x)不恒等于0. 記r(p,n)=2+(n+1)p-(n-1)p2. 設問題(1)的解滿足suppu?{(x,t)∈Ωc×[0,T)‖x|≤t+R}, 則問題(1)的解u將在有限時間內(nèi)破裂, 且有如下生命跨度T(ε)的上界估計

    (3)

    式中:C是與ε無關的正常數(shù), 0<ε<ε0,ε0=ε0(f,g,p,μ,R).

    (4)

    (5)

    下面給出證明定理1~3時需要用到的引理.

    引理1[3,10-12]引入兩個試探函數(shù)φ0(x),φ1(x)∈C2(Ωc),n≥1, 則有

    式中:C0,C1為正常數(shù); 位勢0≤V(x)≤C(1+|x|2+δ)-1,C>0,δ>0, 均為常數(shù). 當V=0時, 記r=|x|, 則有

    注3本文將文獻[6]中所研究的次臨界指數(shù)帶散射阻尼的半線性波動方程小初值問題推廣到外區(qū)域上帶位勢的情形, 其中位勢0≤V(x)≤C(1+|x|2+δ)-1,C>0,δ>0均為常數(shù). 若問題(1)中V(x)=0, 當n≥4時可取φ0(x)∈(0,1), 而n≤3時則給出具體徑向試探函數(shù)φ0(|x|), 見引理1.

    注4利用波動方程的有限傳播速度性質(zhì)知當時間t有限時,r亦有界. 故n=1, 2時,φ0(x)有界.

    現(xiàn)記ψ1(x,t)=e-tφ1(x), 其中φ1(x)如引理1中所述.

    引理2[3]設p>1,φ0(x),φ1(x)滿足引理1中的條件,n≥1. 則?t≥0,

    式中:C為正常數(shù).

    1 定理1的證明

    首先, 給出問題(1)弱解的定義.

    定義1設u是問題(1)在[0,T)的能量解, 并且

    u∈C([0,T),H1(Ωc))∩C1([0,T),L2(Ωc))∩

    滿足

    (6)

    現(xiàn)引入如下函數(shù)

    其中,u是問題(1)在[0,T)上的解.

    記ψ1(x,t)=e-tφ1(x), 其中φ1(x)如引理1中所述. 引入指數(shù)乘子.

    m(t)=exp(μ(1-β)-1(1+t)1-β)).

    若β>1, 則有

    1≥m(t)≥m(0),t≥0.

    (7)

    下面建立F0(t)的估計. 利用引理1可得

    在式(6)中令

    φ(x,s)=φ0(x),

    (x,s)∈Ωc×[0,t], |x|≤s+R,

    得到

    (8)

    下面建立F1(t)的下界估計.

    運用Holder不等式及引理2, 則有

    (9)

    其中,C1>0. 令

    φ(x,t)=ψ1(x,t)=e-tφ1(x),

    則有φt=-φ,φtt=Δφ. 對式(6)求導, 在方程兩邊同時乘以m(t), 并在[0,t]上積分, 則有

    利用引理1得到

    (10)

    運用Holder不等式, 得到

    (11)

    式中:C2>0. 結合式(8)和式(11), 可得

    (12)

    式中:C3=C2m(0)>0. 利用式(8)~式(10), 并在[0,t]上積分得到

    (13)

    下面利用迭代方法建立問題(1)解的生命跨度T(ε)的上界估計.

    首先, 對于t≥0,j∈N*, 假設

    F0(t)>Dj(R+t)-ajtbj,

    (14)

    式中:Dj,aj,bj將在下文中給出其定義, 而且

    (15)

    將(14)代入式(12)中, 得到

    現(xiàn)定義序列{Dj}, {aj}, {bj}. 由于

    bj+1=pbj+2,

    (16)

    于是,F(xiàn)0(t)>Dj+1(R+t)-aj+1tbj+1.

    利用式(15)和式(16)得到

    于是

    (17)

    由t≥1, 可得

    其中

    則有J(t)≥1. 在式(17)中令j→∞, 則有F0(t)→∞. 從而得到生命跨度的上界估計

    其中,C7是不依賴于ε的正常數(shù).

    2 定理2與定理3的證明

    2.1 定理2的證明

    F0(t)≥C9ε(R+t),

    從而得到定理2中生命跨度的上界估計.

    2.2 定理3的證明

    結合定理1和定理2的證明過程, 當n=1時, 可知

    類似地, 可得

    從而可得到定理3中生命跨度的上界估計.

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