參數(shù)優(yōu)化VMD在爆破振動(dòng)信號分析中的應(yīng)用

楊宗林， 熊繼軍,2

(1. 中北大學(xué) 儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 山西 太原 030051；2. 中北大學(xué) 電子測試技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 山西 太原 030051)

近年來， 國內(nèi)外學(xué)者研究爆破振動(dòng)形成的原理以及傳播特性， 主要集中在爆破振動(dòng)形成原因、 現(xiàn)場爆炸實(shí)驗(yàn)、 信號監(jiān)測和不同介質(zhì)傳播規(guī)律等方面. 由于爆破振動(dòng)激發(fā)與爆破振動(dòng)信號瞬時(shí)性、 隨機(jī)性以及傳播介質(zhì)的復(fù)雜性等眾多因素的影響， 目前的研究中尚未有嚴(yán)格的理論來解釋爆破振動(dòng)信號的傳播規(guī)律， 而在爆破振動(dòng)信號分析及分析方法上面解釋其傳播規(guī)律具有重大的意義. 爆破振動(dòng)信號也屬于非線性、 非平穩(wěn)信號， 而EMD具有較好的自適應(yīng)性且擺脫了Fourier理論的約束， 在處理非線性非平穩(wěn)信號方面， EMD具有優(yōu)秀的時(shí)頻分析能力[1]， 因此， 在非線性非平穩(wěn)信號分析上應(yīng)用越來越廣泛.

雖然EMD在處理非線性非平穩(wěn)信號方面具有優(yōu)異的性能， 但也存在端點(diǎn)效應(yīng)與模態(tài)混疊的問題以及沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)支撐等不足[2]. 目前， 采用VMD[3-4]替代EMD把非遞歸、 變分模態(tài)分解的形式作為新的分解信號的方式， 克服了模態(tài)混疊以及沒有嚴(yán)格數(shù)學(xué)表達(dá)式的缺陷. 然而， 變分模態(tài)分解也存在缺陷， 如： 參數(shù)模態(tài)分解個(gè)數(shù)K與懲罰因子α需要經(jīng)驗(yàn)預(yù)設(shè)， 而模態(tài)分解個(gè)數(shù)K設(shè)置不正確會直接導(dǎo)致分解結(jié)果錯(cuò)誤， 懲罰因子α需要經(jīng)驗(yàn)預(yù)設(shè)， 太高會引起模態(tài)混疊， 太低則結(jié)果不準(zhǔn)確[5].

綜上所述， 本文提出一種基于幅值譜的混合遺傳-粒子群算法[6-8]對模態(tài)分解個(gè)數(shù)K與懲罰因子α進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化， 并應(yīng)用到爆破振動(dòng)信號分析中. 首先， 應(yīng)用混合遺傳-粒子群算法適應(yīng)度函數(shù)選取出模態(tài)分解個(gè)數(shù)K與懲罰因子α以求解幅值譜熵[9-10]； 然后， 將最優(yōu)的參數(shù)組合[K,α]作為VMD預(yù)設(shè)參數(shù);最后， 利用相關(guān)性系數(shù)[11]檢驗(yàn)對應(yīng)模態(tài)分解個(gè)數(shù)K的正確性.

1 變分模態(tài)分解

變分模態(tài)分解[12]本質(zhì)是若干個(gè)維濾波器構(gòu)成的一種全新自適應(yīng)、 完全非遞歸的模態(tài)變分與信號處理算法， 在處理非平穩(wěn)、 非線性信號上具有良好的性能. 首先， 構(gòu)造出變分問題模型， 將原始信號f分解成K個(gè)具有中心頻率的有限帶寬的模態(tài)分量， 并且使得各模態(tài)分量估計(jì)帶寬總和最小， 把原信號等于所有模態(tài)分量疊加總和作為約束條件， 因此， 相應(yīng)約束變分表達(dá)式[12]為

(1)

(2)

式中：K為模態(tài)分解個(gè)數(shù)； {uk}為分解后第k個(gè)模態(tài)分量； {ωk}為分解后第k個(gè)中心頻率；δ(t)為Dirichlet函數(shù)； *是卷積運(yùn)算.

為了求解式(1)和式(2)， 此處引入懲罰因子α與Lagrange乘法算子λ， 構(gòu)造增廣Lagrange函數(shù)， 約束變分問題則被轉(zhuǎn)變成非約束變分問題[12]， 因此

L({uk},{ωk},λ)=

(3)

對式(3)中的Lagrange函數(shù)進(jìn)行Fourier變換， 找出對應(yīng)極值解， 則能推出對應(yīng)的模態(tài)分量uk與中心頻率ωk， 因此

(4)

(5)

(6)

式中：τ為噪聲容忍度， 即雙重上升的時(shí)間步長， 如不是以重建為目的的分解， 通?？稍O(shè)為零. 選取交替方向懲罰算子ADMM求解約束變分模型的最小值， 則觀測信號被分解成了K個(gè)模態(tài)分量. 分解過程的算法步驟[12]如下：

3) 應(yīng)用式(6)更新λn+1；

2 VMD參數(shù)優(yōu)化

2.1 VMD參數(shù)分析

考慮到VMD尚無成熟的理論來計(jì)算模態(tài)分解個(gè)數(shù)K與懲罰因子α， 因此只能憑借經(jīng)驗(yàn)預(yù)設(shè)模態(tài)分解個(gè)數(shù)K與懲罰因子α， 預(yù)設(shè)不準(zhǔn)確會導(dǎo)致模態(tài)分解對信號評價(jià)的失誤.

由于振動(dòng)信號特征分布的稀疏程度可以通過幅值譜熵?cái)?shù)值變化來反映. 而VMD分解的模態(tài)分量uk的信噪比與有效特征所表現(xiàn)的規(guī)律性沖擊響應(yīng)成正比， 因此該模態(tài)分量uk的稀疏特性隨著信噪比的遞減而減弱， 遞增而增強(qiáng)， 相應(yīng)的幅值譜熵隨信噪比遞增而遞減， 遞減而遞增. 因此， 本文通過對VMD分解后的模態(tài)分量uk進(jìn)行Fourier變換得到幅值譜， 結(jié)合幅值譜公式[13]與信息熵[14]公式推導(dǎo)出

(7)

式中：Hk為VMD分解模態(tài)分量uk的幅值譜熵；Lk為VMD分解第k個(gè)模態(tài)分量uk做Fourier變換后所得幅值譜；N為模態(tài)分量uk的信號長度. 考慮到VMD需要憑借經(jīng)驗(yàn)預(yù)設(shè)模態(tài)分解個(gè)數(shù)K與懲罰因子α， 隨機(jī)選取參數(shù)組合[K,α]并進(jìn)行VMD模態(tài)分解， 代入式(7)， 將K個(gè)幅值譜熵最小值minHk作為該參數(shù)組合[K,α]的局部極小值， 顯然， 與局部極小值對應(yīng)的模態(tài)分量uk是該參數(shù)組合[K,α]包含沖擊振動(dòng)特征信息最多的模態(tài)分量， 即最佳分量. 因此， 對參數(shù)組合[K,α]的最優(yōu)參數(shù)估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為求解幅值譜熵局部極小值的最小值的優(yōu)化問題.

盡管變分模態(tài)分解解決了經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的模態(tài)混疊與沒有嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)的缺陷， 但變分模態(tài)分解仍然存在端點(diǎn)效應(yīng)的問題. 因此， 本文引入傳統(tǒng)的波形鏡像延拓的方法， 以減少端點(diǎn)效應(yīng)帶來的影響.

2.2 基于幅值譜的混合GA-PSO算法波形鏡像延拓VMD參數(shù)優(yōu)化

遺傳算法(Genetic Algorithm,GA)與粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization， PSO)都是經(jīng)典的智能優(yōu)化算法， 利用GA算法的全局搜索能力強(qiáng)以及收斂性好和PSO算法收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)， 將兩者串聯(lián)混合能夠克服GA算法收斂速度慢和PSO算法容易陷入局部收斂的缺陷， 實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢互補(bǔ)克服了兩者的局限性. 過度分解或過度懲罰也會使熵最小， 因此， 本文通過引入混合GA-PSO算法[15]分別對模態(tài)分解個(gè)數(shù)K與懲罰因子α交叉優(yōu)化， 利用VMD求解幅值譜熵局部極小值的最小值進(jìn)而求出最佳的模態(tài)分解相應(yīng)的參數(shù)組合[K,α]， 步驟如下：

1) 將幅值譜熵的局部極小值minHk作為適應(yīng)度函數(shù)， minHk越小則模態(tài)分量蘊(yùn)含的特征信息越多， 因此目標(biāo)函數(shù)為min(minHk)；

2) 利用隨機(jī)數(shù)初始化PSO粒子位置、 粒子速度與GA種群， 確定GA與PSO的所有參數(shù)；

3) 對觀測信號進(jìn)行波形鏡像延拓;

4) 根據(jù)式(7)計(jì)算適應(yīng)度值;

5) 當(dāng)m代GA進(jìn)化后， 把GA種群的個(gè)體作為PSO的初始粒子；

6) 當(dāng)n代PSO進(jìn)化后， 再把PSO個(gè)體的局部最優(yōu)解賦給GA個(gè)體；

7) 計(jì)算完預(yù)設(shè)最大迭代次數(shù)后， 對信號進(jìn)行波形鏡像延拓， 預(yù)設(shè)合理的二次懲罰因子， 在懲罰因子的基礎(chǔ)上對模態(tài)分解個(gè)數(shù)進(jìn)行搜索優(yōu)化， 返回幅值譜熵局部極小值的最小值作為判定標(biāo)準(zhǔn)， 找出最佳的模態(tài)分解個(gè)數(shù)K；

8) 在最佳模態(tài)分解個(gè)數(shù)K基礎(chǔ)上， 以同樣的方式搜索優(yōu)化懲罰因子α， 最終得到相應(yīng)的最優(yōu)參數(shù)組合[K,α].

至此， 對利用最優(yōu)參數(shù)組合[K,α]作為VMD預(yù)設(shè)模態(tài)分量個(gè)數(shù)與二次懲罰因子進(jìn)行變分模態(tài)分解， 具有了一定的理論依據(jù)， 避免了模態(tài)混疊和計(jì)算的盲目性.

3 仿真信號分析

為了驗(yàn)證算法的有效性， 通過構(gòu)造解析函數(shù)式(8)并嵌入方差為0.5的高斯白噪聲時(shí)域信號進(jìn)行模態(tài)分解對比， 信號如圖 1 所示.

x(t)=6t2+cos(4πt+10πt2)+

(8)

圖 1 仿真信號Fig.1 Simulation signal

圖 2 EMD分解結(jié)果

圖 3 VMD分解結(jié)果

圖 4 EMD和VMD去噪Fig.4 EMD and VMD denoising

圖 2 和圖 3 分別為EMD和VMD分解結(jié)果. 由圖 2 可以看出， EMD分解結(jié)果模態(tài)混疊嚴(yán)重， IMF1為高頻高斯白噪聲， 除去IMF1重構(gòu)信號的結(jié)果如圖 4 所示. 圖 3 顯示VMD對各分量的分解還原度很高， 解決了模態(tài)混疊， 并且抗噪能力很強(qiáng)， 同樣IMF1為高斯白噪聲， 其濾波效果如圖 4 所示. 從仿真結(jié)果可以看出， 本文提出的優(yōu)化參數(shù)的VMD模態(tài)分解效果好， 抗噪能力強(qiáng)， 還原精度高， 交叉優(yōu)化的方法能準(zhǔn)確地得出模態(tài)分解個(gè)數(shù)以及懲罰因子， 抑制了虛假分量.

4 爆破振動(dòng)信號分析

爆破振動(dòng)信號也屬于非線性非平穩(wěn)信號， 傳統(tǒng)Fourier分析及其推廣方法對處理此類信號存在精度不足等問題， 而基于模態(tài)分解的時(shí)頻分析方法在處理此類信號時(shí)表現(xiàn)優(yōu)異， 而傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解存在端點(diǎn)效應(yīng)、 模態(tài)混疊、 虛假分量以及無嚴(yán)格理論證明等問題， 本文所提出的基于幅值譜的GA-PSO交替優(yōu)化以及采用鏡像延拓處理邊界的變分模態(tài)分解， 抑制了模態(tài)分解帶來的模態(tài)混疊、 端點(diǎn)效應(yīng)及過度分解無意義的虛假分量的問題， 并且克服了傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解無嚴(yán)格理論證明的缺陷. 為了驗(yàn)證本文提出的方法的優(yōu)越性， 以某型TNT在鋼箱梁上起爆的爆破沖擊振動(dòng)試驗(yàn)的沖擊振動(dòng)信號為例來分析(采樣頻率為200 kHz， 如圖 5)， 步驟如下：

圖 5 典型爆破振動(dòng)信號Fig.5 Typical blasting vibration signal

1) 利用隨機(jī)數(shù)初始化PSO粒子位、 粒子速度與GA種群， 確定GA與PSO的所有參數(shù)；

2) 對沖擊振動(dòng)信號進(jìn)行鏡像波形延拓；

3) 采用隨機(jī)初始化參數(shù)進(jìn)行初次VMD分解， 計(jì)算IMF分量的幅值譜熵， 得出局部最小值；

4) 利用GA-PSO尋優(yōu)求出局部最小值中的最小值， 進(jìn)而得出相應(yīng)的模態(tài)分解個(gè)數(shù)及懲罰因子， 確定正確模態(tài)分解個(gè)數(shù)后， 固定模態(tài)分解個(gè)數(shù)， 對懲罰因子再次進(jìn)行步驟3)的操作， 找出最優(yōu)懲罰因子；

5) 利用相關(guān)系數(shù)法驗(yàn)證是否存在過分解的問題.

圖 6 原信號EMD分解結(jié)果及其模態(tài)分量頻譜Fig.6 EMD decomposition result of original signal and its modal component spectrum

由圖 6 可以看出， 模態(tài)分量IMF1的頻率最高， 然而所占的能量最小， 是測試環(huán)境下的高頻噪聲, IMF2～I(xiàn)MF6模態(tài)混疊嚴(yán)重， 求取各分量與原信號的相關(guān)系數(shù)為 0.120， 0.6， 0.525， 0.459， 0.316， 0.148， 0.067， 0.034， 0.063. 對比相關(guān)系數(shù)和頻譜圖可以看出， IMF7～I(xiàn)MF9為虛假分量. 使用基于幅值譜熵的混合GA-PSO算法改進(jìn)的VMD得出最優(yōu)參數(shù)組合為[1 543,5]， 圖 7 為VMD分解結(jié)果， 由圖能夠清晰地看出信號內(nèi)包含的頻率成分， 求取各分量與原信號的相關(guān)系數(shù)為0.107 1， 0.456 9， 0.552 6， 0.555 2， 0.649 8， 均在同一數(shù)量級下， 沒有出現(xiàn)虛假分離. 對比EMD的分解結(jié)果， 本文所提出的改進(jìn)的VMD方法， 很好地解決了端點(diǎn)效應(yīng)、 模態(tài)混疊以及虛假分量的問題， 并且具有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)， 從而驗(yàn)證了本文提出算法的有效性， 并且在復(fù)雜的環(huán)境下， 算法優(yōu)化的參數(shù)仍然保持穩(wěn)定性.

圖 7 原信號改進(jìn)VMD分解結(jié)果及其模態(tài)分量頻譜Fig.7 Improved VMD decomposition result of original signal and its modal component spectrum

5 結(jié) 論

本文通過變分原理使各模態(tài)與中心頻率不斷更新調(diào)整， 使VMD相對于EMD具有更好的自適應(yīng)性， 也是爆破振動(dòng)信號進(jìn)行模態(tài)分解的有效方法， 解決了EMD模態(tài)混疊及沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)支持的缺陷， 分析效果更明顯、 有效. 本文對VMD存在經(jīng)驗(yàn)性預(yù)設(shè)模態(tài)分解個(gè)數(shù)與懲罰因子的缺陷， 提出了一種基于幅值譜熵的混合GA-PSO算法對參數(shù)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)， 從幅值譜熵的數(shù)值反映振動(dòng)信號特征分布的稀疏程度角度進(jìn)行了最優(yōu)參數(shù)估計(jì)， 并且針對組合優(yōu)化的方式提出了模態(tài)分解個(gè)數(shù)與懲罰因子交叉優(yōu)化的方法， 改善了搜索優(yōu)化過度分解或過度懲罰的問題， 并且相對以往憑借經(jīng)驗(yàn)估計(jì)參數(shù)的方法具備了科學(xué)性， 同時(shí)有效解決了模態(tài)混疊以及繁瑣的人工經(jīng)驗(yàn)嘗試的不足. 在復(fù)雜爆破振動(dòng)信號應(yīng)用上， 有效抑制了模態(tài)混疊的問題.

爆破振動(dòng)波波形包含重要的爆破參數(shù)信息， 而爆破振動(dòng)波在傳播過程中的時(shí)頻特性和爆源條件、 傳播介質(zhì)、 地形等因素密切相關(guān)， 因此使用參數(shù)準(zhǔn)確的VMD方法處理爆破振動(dòng)信號能夠有效提取精確的IMF分量的時(shí)頻特征， 實(shí)現(xiàn)爆破振動(dòng)信號的精確分析處理， 這對研究爆破振動(dòng)波的作用機(jī)理、 傳播規(guī)律、 振動(dòng)控制等具有重要意義.