基于H∞無跡卡爾曼濾波的退役鋰離子電池SOC 估計

謝寶江，婁偉明，羅揚帆，王華昕，李 珂

（1.國網(wǎng)浙江省電力有限公司臺州供電公司，浙江 臺州 318000；2.上海電力大學，上海 200090）

0 引言

鋰離子電池由于其較高的比能量、較長的循環(huán)壽命和相對較低的制造成本被廣泛應用于各種電動汽車[1-3]。當車用動力電池的容量衰減到初始容量的70%左右時，就不滿足電動汽車續(xù)航里程和安全性能的要求而退役。退役后的電池應用到對電池性能要求不高的儲能系統(tǒng)、UPS 等領域仍然有可觀的價值[4]。由于退役電池在功率密度、能量密度和容量等方面存在著一定程度的老化現(xiàn)象，因此必須建立準確的電池管理系統(tǒng)來估計電池工作狀態(tài)[5-6]。電池SOC（荷電狀態(tài)）表征了電池剩余能量的變化，是能量管理和預測電池運行狀態(tài)的重要依據(jù)。因此，準確估計電池的SOC 對退役電池的梯次利用和提高電池的管理技術(shù)具有重要意義[7]。

常見的SOC 估算方法包括安時積分法、開路電壓法、神經(jīng)網(wǎng)絡智能算法、擴展卡爾曼濾波算法[8-9]。其中安時積分法原理簡單，工程應用較多，但必須提供準確的SOC 初值。開路電壓法需要靜置足夠長的時間，使電池達到穩(wěn)定狀態(tài)，這顯然不適于動態(tài)條件。神經(jīng)網(wǎng)絡智能算法需要大量實驗數(shù)據(jù)集來訓練神經(jīng)網(wǎng)絡模型，其實際估算效果不佳。基于電池狀態(tài)空間方程的卡爾曼濾波方法具有很強的適用性和通用性，克服了需要電池SOC 初值以及大量的實驗數(shù)據(jù)點進行訓練的問題。同時，其濾波技術(shù)可以顯著降低采樣噪聲的影響。擴展卡爾曼濾波算法忽略了泰勒展開式的高階項，而鋰離子電池的強非線性特性會不可避免地帶來較大估計誤差，進而致使濾波器發(fā)散。近年來，UKF（無跡卡爾曼濾波）算法在電池SOC 估計領域比較活躍，但在實際應用中，存在以下問題：它可以在一定程度上降低噪聲的影響，但異常的測量噪聲仍然對濾波效果有較大的影響；由于外部因素的影響，在一個或多個采樣周期內(nèi)超出正常范圍的采樣數(shù)據(jù)將使SOC 估計算法產(chǎn)生誤差，并且收斂速度降低。為了解決這個問題，文獻[10]將系統(tǒng)狀態(tài)噪聲和觀測噪聲進行對稱采樣處理，將兩者同時引入到Sigma 點采集中減小了噪聲對估算精度的影響，但對模型精度要求較高。文獻[11]將系統(tǒng)狀態(tài)以其方差的平方根形式傳播，降低了常規(guī)Sigma 點卡爾曼濾波器算法的復雜性，提高了對狀態(tài)估計誤差的抑制能力，不過未考慮到觀測模型和狀態(tài)方程會跟隨系統(tǒng)不斷變化。文獻[12]將粒子濾波算法引入到UKF中，并通過UKF 算法計算每個粒子的估計值和協(xié)方差，解決了系統(tǒng)采樣噪聲干擾問題，但該算法固有粒子匱乏且計算量較大，在應用中實時響應性能較差。文獻[13]用奇異值分解代替標準UKF的Cholesky 分解，避免了協(xié)方差矩陣非正定時濾波算法計算終止，從而抑制了系統(tǒng)采樣過程中的非線性誤差，當系統(tǒng)狀態(tài)噪聲和量測噪聲二者所帶來影響較大時，上述濾波算法的估計精度難以得到保證。

文章針對以上鋰電池在狀態(tài)估計中存在的一些問題，H∞控制具有強魯棒性的特點，因此被廣泛應用于模型動態(tài)不確定和強非線性的系統(tǒng)，文章提出將H∞控制和UKF 算法相結(jié)合，以提高對退役電池SOC 的估算性能。該方法利用H∞理論提高對異常值和非高斯噪聲的魯棒性。通過不斷更新修正協(xié)方差矩陣保證了矩陣的半正定性，提高了濾波器的適應能力，解決傳統(tǒng)UKF 不能跟隨真實估計狀態(tài)不斷修正噪聲方差造成估計不準甚至發(fā)散，以及數(shù)據(jù)驅(qū)動方法的不確定性問題，實現(xiàn)退役電池SOC 準確估算。

1 鋰離子電池模型

1.1 鋰離子等效電路模型

常用的電池模型包括電化學模型、神經(jīng)網(wǎng)絡模型和集總參數(shù)等效電路模型。在3 種模型中，等效電路模型因其結(jié)構(gòu)簡單、易于參數(shù)識別，而且能更好地反映電池動靜態(tài)特性而被廣泛使用。集總參數(shù)等效電路模型包括：Rint 模型、一階RC 模型、高階RC 模型、PNGV 模型等。本文選擇一階RC 等效電路來建立退役電池的狀態(tài)空間模型。模型的電路結(jié)構(gòu)如圖1 所示，R0是退役電池的歐姆電阻（電阻R0，chg表示放電歐姆電阻，電阻R0，dischg表示充電歐姆電阻）；Rs和Cs分別表示電池極化電阻和極化電容；It表示電池的端電流；Uocv表示電池的開路電壓，與電池SOC 存在函數(shù)關系；Uout表示電池的輸出電壓。

圖1 退役電池等效電路拓撲結(jié)構(gòu)

根據(jù)電路原理，一階RC 等效電路可表示為：

式中：SOCt代表t 時刻的SOC；η 為庫倫效率，與放電速度、溫度等有關；QN為電池的額定容量。

SOC 的狀態(tài)方程可以描述為離散時間形式：

根據(jù)退役電池的RC 等效電路模型，選取電池核電狀態(tài)SOC 和極化電壓Us作為系統(tǒng)狀態(tài)變量。電池的狀態(tài)空間方程為：

式中：T 為采樣時間；k 為離散時間變量。

1.2 參數(shù)辨識

常見的參數(shù)辨識算法包括最小二乘法[14]、預報誤差法、極大似然估計法等。最小二乘法是一種數(shù)據(jù)優(yōu)化工具，以殘差平方和最小為準則實現(xiàn)函數(shù)的最佳匹配。其被廣泛應用于各種數(shù)值分析場景中。對于諸如退役電池這種強非線性系統(tǒng)，可以采用最小二乘法來識別模型參數(shù)。HPPC 是測試電池充放電特性的一種測試環(huán)境，同時也作為電池參數(shù)識別的數(shù)據(jù)來源。

當電池有電流加載時，由于歐姆內(nèi)阻的作用使得電池電壓下降。當電池電流卸載后，極化電容放電，使電池電壓緩慢抬升。將對電池進行充放電測試的過程分為10 個階段。利用MATLAB軟件對實驗數(shù)據(jù)進行處理，通過最小二乘法識別SOC 各個階段的電池模型參數(shù)。圖2 為電池在SOC 值為90%并靜置到穩(wěn)定狀態(tài)時，對電池進行脈沖放電10 s 和靜置40 s 過程的電壓響應過程。

電池的歐姆內(nèi)阻可由電池電流加載瞬間電壓的變化計算得到。若U1=3.973 V，U2=3.843 V，I=1.2 A，則得到Rs=0.108 Ω。其中：U1表示電池電量為90%并且在穩(wěn)定狀態(tài)時的端電壓；U2表示脈沖放電電流加載瞬間電池的端電壓；而電流I 是0.2 C 的持續(xù)恒定電流。

在電池的極化電容放電期間，其電壓輸出方程為：

圖2 SOC 為0.9 時電流激勵和對應的電壓響應曲線

將式（6）中的Uocv，ItRs，τs看作待定系數(shù)，對方程進行系數(shù)替換可得：

式（8）—（10）為電池模型參數(shù)識別的計算公式，然后通過非線性最小二乘法擬合每個SOC階段的電池參數(shù)。

模型中電阻電容等參數(shù)受到電池電量變化的影響。式（11）—（13）為建立的SOC 和模型參數(shù)的函數(shù)關系。

使用MATLAB 的cftool 工具箱擬合式（11）—（13）的系數(shù)。擬合曲線如圖3 所示，函數(shù)表達式系數(shù)如表1—3 所示。

圖3 參數(shù)辨識曲線

表1 歐姆內(nèi)阻R0 與SOC 的函數(shù)關系

表2 極化內(nèi)阻Rs 與SOC 的函數(shù)關系

表3 極化電容Cs 與SOC 的函數(shù)關系

1.3 模型驗證

退役動力電池的等效電路模型驗證采用DST（動態(tài)壓力測試）工況，DST 工況是基于實車運行數(shù)據(jù)的特定電流電池工作測試方案，可以檢驗電池的動靜態(tài)性能，其過程曲線如圖4 所示。

文中所搭建的退役電池模型仿真結(jié)果與電池實測值的對比如圖5 所示。由圖5 可知，仿真模型能夠很好反映電池的即時響應和滯后響應，符合實際電池具有的動靜態(tài)特性。

圖4 DST 工況過程

圖5 電池模型輸出電壓與實際電壓比較

電池仿真模型輸出電壓的誤差曲線如圖6 所示。由圖6 可知，仿真模型輸出端電壓和電池實際端電壓的絕對誤差保持在0.2 V 以內(nèi)。說明文中搭建的一階RC 等效電路模型及模型參數(shù)識別的結(jié)果滿足實際需求，這為后續(xù)標準UKF 算法的改進提供了有力支持。

圖6 模型輸出電壓誤差

2 HUKF 算法估計退役電池SOC

按照標準UKF 算法的原理，根據(jù)當前時刻狀態(tài)和上一時刻的預測值，再結(jié)合電池狀態(tài)方程式（4）和觀測方程式（5），得到當前時刻的狀態(tài)估計值。退役鋰離子電池的離散狀態(tài)空間方程可以描述為：

式中：xk，yk分別表示系統(tǒng)k 時刻的狀態(tài)向量和觀測向量；f 和h 分別為系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)和觀測函數(shù)；wk表示過程噪聲，由模型參數(shù)誤差造成，協(xié)方差為Qk；vk表示由系統(tǒng)傳感器采樣不準確引起的測量噪聲，協(xié)方差為Rk。

UKF 算法主要由4 部分構(gòu)成：系統(tǒng)變量初始化、Sigma 點采集、時間更新和測量更新。UKF 算法利用無跡變換來處理非線性函數(shù)的預測均值和誤差協(xié)方差，而不是擴展卡爾曼濾波算法的近似等效，同時也不必要對雅可比矩陣進行求導計算，因此提高了估算精度和計算速度。

2.1 標準UKF 算法

2.1.1 初始化

設初始狀態(tài)變量為x0，狀態(tài)變量的均值為，初始協(xié)方差為P0。則有：

2.1.2 Sigma 點采集

計算Sigma 點采樣點x（i）和相應的權(quán)值ω：

式中：m 為均值權(quán)重；c 為協(xié)方差權(quán)重；參數(shù)λ=α2（n+ki）-n 是用來減小總預測誤差的縮放比例系數(shù)；一般情況下α 取值較小，為0≤α≤1 用來控制平均值處Sigma 點權(quán)重；β=2，用來控制狀態(tài)估計的誤差，提高估算精度。

2.1.3 時間更新

2.1.4 量測更新

非線性變換Sigma 點為：

2.2 HUKF 算法

在工程應用中，UKF 算法容易受到異常采樣、初始值不確定以及Cholesky 無法分解非半正定矩陣等因素的影響，導致系統(tǒng)發(fā)散。為了克服UKF 算法在計算協(xié)方差時遇到的病態(tài)矩陣，將H∞理論[15]運用到UKF 中，來描述系統(tǒng)不確定性的影響。該濾波器對于具有有界能量的所有可能干擾實現(xiàn)最小估計誤差[16]。所設計濾波器滿足如下條件：

式中：x0和P0|0分別是初始狀態(tài)向量及其協(xié)方差矩陣；γ 是限制不確定性的正標量參數(shù)。

當且僅當所有時刻K 的估計誤差協(xié)方差矩陣Pk|k滿足式（30）時，存在式（29）中所示的H∞濾波器為：

式中：max{·}為求最大值函數(shù)；eig{·}為求矩陣特征值函數(shù)。

由以上可知，HUKF 與標準UKF 的原理和結(jié)構(gòu)相似。HUKF 通過引入調(diào)整因子γ 來更新修正UKF 中計算協(xié)方差時遇到的病態(tài)矩陣，從而確保了估計誤差協(xié)方差矩陣的非負定性。調(diào)整因子γ用來平衡H∞魯棒控制和最小均方誤差的性能。當γ 趨于無窮大時，HUKF 近似等效與標準UKF。這也說明標準UKF 的H∞范數(shù)可能非常大，導致對模型參數(shù)不確定性的穩(wěn)定性差。HUKF 實現(xiàn)所有可能干擾的最小估計誤差。受不確定性影響的H∞濾波器的有界誤差性能可以按照文獻[17]中所示的算法證明。

2.3 HUKF 算法流程

將電池狀態(tài)方程式（4）以及觀測方程式（5）代入上述標準UKF 算法公式中，可以得到電池SOC、極化電壓Us等參數(shù)的實時預測值。算法具體步驟如下：

圖7 HUKF 算法流程

3 實驗與仿真分析

3.1 實驗平臺

為了驗證本文所提出的HUKF 算法的高效性和準確性，搭建如圖8 所示的鋰電池測試平臺。該試驗測試平臺可以編程控制負載電流大小，包括恒流、恒壓、恒功率以及自定義電流工況放電?？膳c鋰電池組在線狀態(tài)測試設備聯(lián)合工作，極大方便了實驗數(shù)據(jù)獲取和實驗曲線的分析。與PC機對接后，可以動態(tài)顯示電池工作狀態(tài)的監(jiān)測曲線，并可以分析和處理數(shù)據(jù)。該測試平臺也帶有掉電保護功能和過流、過壓報警并自動停止放電。本文以從某電動公交退役的天能鋰電池作為測試對象，電池型號為ITR22P22S132，其額定電壓為3.7 V，額定容量為2.2 Ah。

圖8 電池測試系統(tǒng)

3.2 算法驗證

以美國制定的UDDS（城市道路循環(huán)）工況為試驗條件在上述實驗平臺下對電池做充放電實驗。電池測試的環(huán)境溫度設定為23 ℃，電池SOC初值設定為0.7。采樣周期為1 s，電池SOC 的理論參考值通過安時積分法獲取。HUKF 和UKF 算法的SOC 估算對比曲線如圖9 所示。由圖9 可知，在設定SOC 錯誤初值（為0.5）的情況下，文中提出的HUKF 算法比UKF 算法收斂速度要快。HUKF 算法在100 s 左右能收斂到穩(wěn)定階段，而UKF 算法需要70 s 左右。這是因為UKF 權(quán)重和采樣點的分布導致協(xié)方差在幾次更新后失去正定性，導致過濾結(jié)果無效。當濾波效果最佳時，增益矩陣保持穩(wěn)定。隨著系統(tǒng)模型的變化，增益矩陣很難快速跟上穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的需要，這就會阻止系統(tǒng)快速收斂。HUKF 算法通過不斷更新修正協(xié)方差矩陣保證了矩陣的半正定性，這使得濾波算法得以繼續(xù)進行。在算法開始階段SOC 設定值與實際值存在較大誤差時能夠快速靠近真實狀態(tài)，因而具有更快的跟蹤速度[18-21]。

圖10 是HUKF 和UKF 算法的估計誤差比較曲線。由圖10 可知，HUKF 算法的跟蹤性能明顯優(yōu)于UKF 算法。一方面，HUKF 算法估計的絕對誤差維持在0.05 以內(nèi)，而UKF 算法的絕對誤差大于0.05；另一方面，UKF 算法對于非高斯噪聲和系統(tǒng)異常值的魯棒性較差，在收斂階段曲線波動較大，不能有效預測電池SOC 變化趨勢，而HUKF 算法對惡劣環(huán)境的適應能力較強。

圖9 UDDS 工況下HUKF 與UKF 算法SOC 估計的對比曲線

圖10 UUDS 工況下SOC 估計誤差對比曲線

綜上所述，文中提出的HUKF 算法在收斂速度、估算精度和魯棒性上都比UKF 有一定提高，驗證了改進算法的先進性。

4 結(jié)語

UKF 算法作為經(jīng)典的濾波算法，被廣泛應用在目標跟蹤和飛行控制等領域。H∞控制理論是解決魯棒性問題的有效工具。文中將2 種理論相結(jié)合，應用在退役動力電池的SOC 估計中，克服了系統(tǒng)采樣異常值和非高斯噪聲的影響，保證了濾波算法得以繼續(xù)進行，提高了估計算法在系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生突變時的穩(wěn)定性。實驗結(jié)果表明，在電流工況變化劇烈情況下，HUKF 算法仍能保持比UKF 高的濾波精度和魯棒性，同時也有一定的工程應用價值。