《現(xiàn)代控制理論》中狀態(tài)能控性問題教學模式探索

王曉玲 周映江 劉波

摘 要： 系統(tǒng)的狀態(tài)能控性是現(xiàn)代控制理論教學中的重點，怎樣深入地、直觀地教授狀態(tài)能控性這一知識點，是自動控制原理與現(xiàn)代控制理論課程中的難點。本文通過引入多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)能控性的應(yīng)用實例來促進學生對系統(tǒng)可控性概念的理解，進而提高教學質(zhì)量，提高學生學習的興趣和應(yīng)用能力。

關(guān)鍵詞：現(xiàn)代控制理論 狀態(tài)能控性 教學探討

1 現(xiàn)代控制理論中狀態(tài)能控性的教學現(xiàn)狀

《現(xiàn)代控制理論》是高等工科學校自動化、電氣工程、測控技術(shù)以及智能電網(wǎng)等專業(yè)的一門專業(yè)課，涉及本科生、碩士生、博士生。該課程以線性代數(shù)與高等數(shù)學等知識為理論基礎(chǔ)，以自動控制原理為專業(yè)基礎(chǔ)，具有較強的理論性和專業(yè)性，其教學工作包括理論講授和仿真實驗。能控性（controllability）由匈牙利裔美籍數(shù)學家卡爾曼（R.E.Kalman） 于20 世紀60 年代首次提出[1]，是現(xiàn)代控制理論中的一個重要的基本問題，在許多研究領(lǐng)域中起到關(guān)鍵性的作用，成為現(xiàn)代控制理論中的重要概念，是該門課程中的一個重要教學內(nèi)容。為了與文獻[2] 中的結(jié)構(gòu)能控性的概念區(qū)分開來，這里我們所說的能控性都是指狀態(tài)能控性（statecontrollability）。

對于一個連續(xù)時間的線性時不變系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為[3，4]：x（t）=Ax（t）+Bu（t），t ∈ J （1）其中，x（t） 為n 維狀態(tài)，u（t） 為P維輸入，J 為時間定義區(qū)間，A 和B 分別為n×n 和n×p 的矩陣。對系統(tǒng)（1）和指定初始時刻t 0 ∈ J，如果存在一個時刻t 1 ∈ J，t 1>t 0，以及一個無約束容許控制u（t），t ∈[t 0，t 1]，使得系統(tǒng)狀態(tài)由x（t 0）=x 0 轉(zhuǎn)移到x（t 1）=0，那么我們稱一個非零狀態(tài)x 0 在時刻t 0 為能控的[3-5]。

在現(xiàn)有的教學過程中，我們對這個概念的講授主要是單純地從概念入手，無法給學生一個直觀的、形象的展示。并且，在現(xiàn)有的教學大綱中，由于實驗課課時限制，并沒有為系統(tǒng)的能控性這一知識點開設(shè)相應(yīng)的實驗課，缺乏實際應(yīng)用。實驗課（例如虛擬仿真）是高等院校教學工作中重要的實踐環(huán)節(jié)，更是工科院校培養(yǎng)應(yīng)用型工程技術(shù)人才的重要環(huán)節(jié)。沒有虛擬仿真實驗，我們不僅無法為學生提供直觀影像，而且也不利于發(fā)揮學生學習的主觀能動性。

2 多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)能控性

多智能體系統(tǒng)是本世紀的一個熱門概念，興起于計算機科學、傳感技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)等新的科學技術(shù)的發(fā)展。該系統(tǒng)實際上是由多個具有傳感、計算、通信和執(zhí)行能力的智能體組成的，卻能實現(xiàn)“1+1 > 2”的性能效果。

多智能體系統(tǒng)的研究主要是通過引入拉普拉斯矩陣L 來描述智能體之間的信息交互關(guān)系而進行的。很顯然，拉普拉斯矩陣 的維數(shù)等于智能體的個數(shù)。多智能體系統(tǒng)能控性的概念是Tanner 于2004 年在文獻[6] 中提出。

Tanner 在該文中從經(jīng)典的領(lǐng)航者——跟隨者的角度給出了多智能體系統(tǒng)能控性的定義。

在文獻[6] 中的多智能體系統(tǒng)的能控性研究中，考慮一個包含N 個智能體的系統(tǒng)，其中領(lǐng)航者和跟隨者的個數(shù)分別為m 和N-m。定義一個N 維的變量x（t），則有x（t）=Lx（t） （2）根據(jù)領(lǐng)航者和跟隨者的信息更新特點，拉普拉斯矩陣L 可寫成如下分塊形式L=Lf lfllfl Ll（3）其中，Lf 和Ll 分別跟隨者和領(lǐng)航者的編號，lfl 表示從領(lǐng)航者都跟隨者的信息流向。

其中，u 是作用于領(lǐng)航者的外界輸入。多智能體系統(tǒng)的能控性反映的是領(lǐng)航者對跟隨者的控制能力，也就是系統(tǒng)的能控性問題，即（5）在有限時間內(nèi)通過領(lǐng)航者的作用能否控制跟隨者到達任意給定位置，其本質(zhì)是將系統(tǒng)編隊控制問題在特定的通信拓撲下轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的狀態(tài)能控性問題[7]。為了更好地與狀態(tài)能控性的概念相契合，我們這里是介紹每一個智能體的狀態(tài)為l 維的情況。如下圖1 就是一個很直觀的多智能體系統(tǒng)能控性的例子。

3 系統(tǒng)能控性的概念到實際

我們在（5）只考慮了N-M 個狀態(tài)都為維的跟隨者的狀態(tài)能控性問題，該問題可以看作是一個N-M 維的單個體系統(tǒng)的能控性問題，其中x 1 相當于控制輸入。我們將通過對（5）的能控性仿真，來引導(dǎo)學生對狀態(tài)能控性概念的理解。

在狀態(tài)能控性的教學中，我們不再拘泥于概念知識和理論推導(dǎo)，秉承“理論 實踐”的教學理念，以理論聯(lián)系實際為教學導(dǎo)向，引入當下時興的多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)能控性的例子和仿真實驗，啟發(fā)學生對狀態(tài)能控性概念的學習和理解。在實驗進行過程中，我們采取小組實驗的形式，即三至五位學生為一個小組進行實驗，以MATLAB 編程來實現(xiàn)多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)能控性，以此來促進學生對概念的理解，從而提高學習分析問題、解決問題的能力，提供學生團隊合作的能力。圖2刻畫了一個包含六個智能體的多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。在該實驗中，不失一般性，我們以正三角形為任意的最終位置。

更進一步地，我們可以將MATLAB 編程實現(xiàn)的狀態(tài)可控性程序應(yīng)用到實驗室所具有的無人機（如圖3）上，實現(xiàn)無人機的編隊控制。這樣的實際應(yīng)用可以為學生提供直觀的演示，促進學生對能控性概念的深入理解。

4 結(jié)語

在《現(xiàn)代控制理論》課程中能控性概念的教學中引入多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)能控性，結(jié)合多智能體系統(tǒng)狀態(tài)能控性的仿真實驗結(jié)果來促進學生對狀態(tài)能控性的理解，并將多智能體系統(tǒng)的能控性的MATLAB 程序應(yīng)用到無人機中，實現(xiàn)狀態(tài)能控性的實際應(yīng)用，以此來改變原來的對狀態(tài)能控性的純概念性講解，實現(xiàn)“理論 實踐”的良好結(jié)合，提高學生的應(yīng)用動手能力。這種應(yīng)用型實驗的引入，可以加深學生對能控性概念的理解，也更容易調(diào)動學生的聽課積極性，從而提高課堂聽課效率，改善教學效果。

參考文獻：

[1]R.E.Kalman，Y.C.Ho，Controllability oflinear dynamical systems，Contributions toDifferential Equations，1963，1（2）：189-213.

[2]Yang-Yu Liu， Jean-Jacques Slotine，Albert-L szl Barab si，Controllability ofcomplex networks，Nature，473：167-173，2011.

[3] 胡壽松. 自動控制原理（第六版）[M]. 北京：科學出版社，2013.

[4]鄭大鐘. 線性系統(tǒng)理論（ 第20版）[M].北京：清華大學出版社，2002 年

[5] 王杰， 陳陳. Modern Control TheoryLecture（英文版）[M]. 北京：中國水利水電出版社，2011.

[6]H. G. Tanner，On the controllabilit yof nearest neighbor interconnections，Proceedings of the 43nd IEEE Conference onDecision and Control，Paradise Island，theBahamas：Springer Press，2004，3：2467--2472.

[7] 關(guān)永強，紀志堅，張霖，王龍. 控制理論于應(yīng)用[J]，32（4）：1-11，2015.

[8] 胡衛(wèi)娜. 多智能體系統(tǒng)的能控性及其應(yīng)用，碩士論文，2012.