實(shí)際問題中的方程與不等式模型

李智勇

建立模型是學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)應(yīng)用”的最佳方式之一，它能夠讓同學(xué)們深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。隨著中考對(duì)“理論聯(lián)系實(shí)際”能力考查的注重，這就要求我們能夠從實(shí)際問題中抽象出蘊(yùn)含的方程與不等式，找出等量關(guān)系和不等關(guān)系，建立方程（組）模型和不等式（組）模型，從而把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問題。

例1某商店購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，甲的進(jìn)貨單價(jià)比乙的進(jìn)貨單價(jià)高20元，已知20個(gè)甲商品的進(jìn)貨總價(jià)與25個(gè)乙商品的進(jìn)貨總價(jià)相同。

（1）求甲、乙商品的進(jìn)貨單價(jià);

（2）若甲、乙兩種商品共進(jìn)貨100件，要求兩種商品的進(jìn)貨總價(jià)不高于9000元，同時(shí)甲商品按進(jìn)價(jià)提高10%后的價(jià)格銷售，乙商品按進(jìn)價(jià)提高25%后的價(jià)格銷售，兩種商品全部售完后的銷售總額不低于10480元，問有哪幾種進(jìn)貨方案？

（3）在條件（2）下，并且不再考慮其他因素，若甲、乙兩種商品全部售完，哪種方案利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

【分析】（1）設(shè)甲商品的進(jìn)貨單價(jià)是x元，乙商品的進(jìn)貨單價(jià)是y元，根據(jù)“甲的進(jìn)貨單價(jià)比乙的進(jìn)貨單價(jià)高20元，已知20個(gè)甲商品的進(jìn)貨總價(jià)與25個(gè)乙商品的進(jìn)貨總價(jià)相同”即可列方程組求解;

（2）設(shè)甲進(jìn)貨x件，乙進(jìn)貨（100-x）件，根據(jù)“兩種商品的進(jìn)貨總價(jià)不高于9000元”“兩種商品全部售完后的銷售總額不低于10480元”即可列不等式組求解;

（3）根據(jù)每個(gè)商品的利潤(rùn)列出總利潤(rùn)的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求解。

解：（1）設(shè)甲商品的進(jìn)貨單價(jià)是x元，乙商品的進(jìn)貨單價(jià)是y元。

根據(jù)題意，得ìíx-y=20，?20x=25y。

解得{x=100，y=80。

答：甲商品的進(jìn)貨單價(jià)是100元，乙商品的進(jìn)貨單價(jià)是80元。

（2）設(shè)甲商品進(jìn)貨x件，乙商品進(jìn)貨（100-x）件。

根據(jù)題意，得

ìí100x+80（100-x）≤9000，

?100x（1+10%）+80（100-x）（1+25%）≥10480。解得48≤x≤50。

∵x是正整數(shù)，則x的值是48或49或50。所以有3種進(jìn)貨方案：甲商品進(jìn)貨48件，乙商品進(jìn)貨52件;甲商品進(jìn)貨49件，乙商品進(jìn)貨51件;甲商品進(jìn)貨50件，乙商品進(jìn)貨50件。

（3）銷售的利潤(rùn)w=100×10%x+80（100-x）×25%，即w=2000-10x，

∵-10<0，∴w隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x取得最小值48時(shí)，w取得最大值，是2000-10×48=1520（元）。

此時(shí)，乙商品進(jìn)貨量是100-48=52（件）。

答：當(dāng)甲商品進(jìn)貨48件，乙商品進(jìn)貨52件時(shí)，利潤(rùn)最大，是1520元。

【點(diǎn)評(píng)】本題是實(shí)際生活中的“市場(chǎng)營(yíng)銷”問題，考查了二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用，以及一次函數(shù)的性質(zhì)。正確求得甲商品進(jìn)貨數(shù)量的范圍是關(guān)鍵。

例2“綠水青山就是金山銀山”。為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，A、B兩村準(zhǔn)備各自清理所屬區(qū)域養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱，每村參加清理人數(shù)及總開支如下表：

（1）若兩村清理同類漁具的人均支出費(fèi)用一樣，求清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱的人均支出費(fèi)用各是多少元;

（2）在人均支出費(fèi)用不變的情況下，為節(jié)約開支，兩村準(zhǔn)備抽調(diào)40人共同清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱，要使總支出不超過102000元，且清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱人數(shù)少于清理捕魚網(wǎng)箱人數(shù)，則有哪幾種分配清理人員的方案？

【分析】（1）設(shè)清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱的人均費(fèi)用為x元，清理捕魚網(wǎng)箱的人均費(fèi)用為y元，根據(jù)A、B兩村莊總支出列出關(guān)于x、y的方程組，解之即可;

（2）設(shè)m人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，則（40-m）人清理捕魚網(wǎng)箱，根據(jù)“總支出不超過102000元，且清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱人數(shù)少于清理捕魚網(wǎng)箱人數(shù)”列不等式組求解即可。

解：（1）設(shè)清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱的人均費(fèi)用為x元，清理捕魚網(wǎng)箱的人均費(fèi)用為y元。

答：清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱的人均費(fèi)用為2000元，清理捕魚網(wǎng)箱的人均費(fèi)用為3000元。

（2）設(shè)m人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，則（40-m）人清理捕魚網(wǎng)箱。

根據(jù)題意，得

∵m為整數(shù)，∴m=18或m=19。所以有2種分配清理人員方案：18人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，22人清理捕魚網(wǎng)箱;19人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，21人清理捕魚網(wǎng)箱。

【點(diǎn)評(píng)】本題是實(shí)際問題中的“方案安排”問題，主要考查二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用。解題的關(guān)鍵是找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系或不等關(guān)系，并據(jù)此列出方程或不等式。

例3建設(shè)中的大外環(huán)路是我市的一項(xiàng)重點(diǎn)民生工程。某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量為120萬(wàn)立方，原計(jì)劃由公司的甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)從公路的兩端同時(shí)相向施工150天完成。由于特殊情況需要，公司抽調(diào)甲隊(duì)外援施工，由乙隊(duì)先單獨(dú)施工40天后甲隊(duì)返回，兩隊(duì)又共同施工了110天，這時(shí)甲、乙兩隊(duì)共完成土方量103.2萬(wàn)立方。

（1）問甲、乙兩隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量分別為多少萬(wàn)立方？

（2）在抽調(diào)甲隊(duì)外援施工的情況下，為了保證150天完成任務(wù)，公司為乙隊(duì)新購(gòu)進(jìn)了一批機(jī)械來(lái)提高效率，那么乙隊(duì)平均每天的施工土方量至少要比原來(lái)提高多少萬(wàn)立方才能保證按時(shí)完成任務(wù)？

【分析】（1）設(shè)甲隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量為x萬(wàn)立方，乙隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量為y萬(wàn)立方，根據(jù)甲、乙兩隊(duì)合作150天完成土方量120萬(wàn)立方，甲隊(duì)施工110天，乙隊(duì)施工150天完成土方量103.2萬(wàn)立方，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可;

（2）設(shè)乙隊(duì)平均每天的施工土方量比原來(lái)提高a萬(wàn)立方才能保證按時(shí)完成任務(wù)，根據(jù)完成工作的總量=甲隊(duì)完成的土方量+乙隊(duì)完成的土方量，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可。

解：（1）設(shè)甲隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量為x萬(wàn)立方，乙隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量為y萬(wàn)立方。

根據(jù)題意，得

答：甲隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土

方量為0.42萬(wàn)立方，乙隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量為0.38萬(wàn)立方。

（2）設(shè)乙隊(duì)平均每天的施工土方量比原來(lái)提高a萬(wàn)立方才能保證按時(shí)完成任務(wù)。

根據(jù)題意，得110×0.42+（40+110）×（0.38+a）≥120。解得a≥0.112。答：乙隊(duì)平均每天的施工土方量至少要比原來(lái)提高0.112萬(wàn)立方才能保證按時(shí)完成任務(wù)。

【點(diǎn)評(píng)】本題是實(shí)際問題中的“科學(xué)決策”問題，考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用。解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組;（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出關(guān)于a的一元一次不等式。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué)）