二次根式中的“雙非負性”

顧世兵

在二次根式a中，存在兩個非負的性質(zhì)。一是被開方式a≥0，這是因為負數(shù)沒有平方根的緣故。它是所有二次根式有意義的先決條件，具有很強的隱蔽性。我們在解題時，稍不留神就會掉入陷阱里。二是二次根式的值a≥0，這是因為a表示a的算術(shù)平方根的緣故。它是所有關(guān)于二次根式的等式成立必須要尊重的事實，是檢驗運算結(jié)果是否合理的重要依據(jù)。這兩條非負性質(zhì)在“二次根式”這一章中既是重點又是難點，具有非常重要的地位，理解它是我們學(xué)好這一章節(jié)內(nèi)容的前提。

下面讓我們一起走進二次根式的雙非負世界。

一、直接用雙非負性解決問題

1.利用a中的a≥0解決問題。

例1已知x、y滿足x-3+5y+2=0，求x-y的值。

【解析】通過觀察等式的結(jié)構(gòu)我們可以發(fā)現(xiàn)：等式左邊是兩個二次根式的和，右邊剛好為0。我們知道，互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和等于0，但根據(jù)a≥0可知x-3≥0，5y+2≥0，在它們都不為負的情況下，只有x-3=0且y+2=0時原等式才成立，則x-3=0，y+2=0，所以x=3，y=-2，則x-y=3-（-2）=5。

2.利用a中的a≥0解決問題。

例2已知x、y滿足x-3+53-x=y+2，求x+y的值。

【解析】觀察式子的結(jié)構(gòu)，左邊仍是兩個二次根式的和，但右邊是y+2，不為0，故例1的思路不再適用。我們經(jīng)過進一步細細觀察后發(fā)現(xiàn)：等式左邊的兩個根式的被開方式x-3和3-x剛好互為相反數(shù)。根據(jù)a中a≥0可得x-3≥0且3-x≥0，可知只有x=3（兩個不等式聯(lián)列成的不等式組的解集）時，這兩個不等式才同時成立。把x=3代入x-3+53-x=y+2便可得y=-2，所以x+y=3+（-2）=1。

【點評】例1和例2都是通過一個等式解出包含兩個未知數(shù)的特殊方程。它們的形式存在相似之處。我們首先要通過觀察等式的特征辨別出題目的類型，然后根據(jù)題型選擇具體的解法。

二、二次根式的雙非負性對與它相等的代數(shù)式的約束

所有與二次根式相等的代數(shù)式都必須要保持與這個二次根式符號的一致性，如公式“a2=|a|”和“（a）2=a（a≥0）”。為什么前一個公式的結(jié)果中的a有絕對值，而后一個卻沒有呢？這是由二次根式的雙非負性決定的。在公式“a2=|a|”中，由被開方式a2≥0得a取一切實數(shù)，但二次根式a2卻是非負的，故無法保證a與a2符號的一致性，因此a2不能與a相等，只能是a2=|a|;而在公式（a）2=a中，被開方式a非負，（a）2也非負，它們保持著符號的一致

【解析】觀察等式兩邊的特點，顯然等式的右邊是利用公式a2=|a|化簡出的，因等式的左邊“-（x-2）2”表示（x-2）2的負的平方根，故-（x-2）2≤0，根據(jù)等式兩邊符號的一致性可知：等式的右邊也必須滿足2-x≤0，所以x≥2。

【解析】從四個選項來看，它們的差別只在符號上，因此我們只要用二次根式的雙非負性篩選各選項即可。先看被開方式是否非負：由-a3≥0得a≤0，因此選項C、D的被開方式a不符合非負的條件，它們都無意義，應(yīng)舍去;再看二次根式是否非負：由-a3≥0知化簡的結(jié)果應(yīng)為非負，結(jié)合a≤0便可得選項A為負，與原式的符號不一致，也應(yīng)舍去，因此只有選項B符合題意。

【點評】利用二次根式的雙非負性分析問題，有助于我們提高解題的準確率，有助于我們對二次根式的進一步理解。三、利用雙非負性反思計算結(jié)果的合理性二次根式的雙非負性較為隱蔽，我們在解有關(guān)二次根式的問題時，要養(yǎng)成用這兩條非負性檢驗答案合理性的習(xí)慣。

例5已知2x+5=x+1，則x=。

【解析】這是一道含有根式的方程，解它的障礙在于根號的存在，如何去掉根號是我們首先要考慮的問題。利用“開方”與“平方”是互為逆運算的關(guān)系，我們可以通過“平方法”去根號。把等式兩邊平方得（2x+5）2=（x+1）2，所以2x+5=x2+2x+1，解得x=-2或x=2。那么這兩個計算結(jié)果是否都合理呢？我們可以利用二次根式的雙非負性檢驗一下，當(dāng)x=-2時，雖然被開方式2x+5≥0，有意義，但是等號的右邊x+1=-1<0，而等式左邊2x+5≥0，兩邊的符號不一致，故x=-2不能使等式成立;當(dāng)x=2時，等式兩邊符號一致，且計算結(jié)果都等于3，故x=2能使等式成立。綜上，x=2。

可以說，有二次根式存在的地方，都有雙非負性的存在，這一性質(zhì)是我們解決問題、理解等式、反思結(jié)果的重要依據(jù)，掌握并利用好它，我們定會學(xué)好這一章的內(nèi)容。

（作者單位：江蘇省句容市行香中學(xué)）