由“點(diǎn)”入手 解題不愁

陶建石

函數(shù)圖像是通過(guò)描點(diǎn)連線所得，由此我們看到“點(diǎn)”是構(gòu)成函數(shù)圖像的要素。為此在函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題中，往往由“點(diǎn)”入手，通過(guò)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)去解決問(wèn)題。

例1（2017·江蘇蘇州）如圖1，在△ABC中，AC=BC，AB⊥x軸，垂足為A。反k比例函數(shù)y=x（x>0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D。已知AB=4，BC=52，連接OC，若BD=BC，求OC的長(zhǎng)。

【分析】點(diǎn)C、D在同一條雙曲線上是非常重要的條件。設(shè)C（xc，yc）、D（xd，yd），則xcyc=xdyd=k是隱含的方程。C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)是相關(guān)的，假設(shè)其中一點(diǎn)，則可表示出另一點(diǎn)。這一方程在反比例函數(shù)中經(jīng)常用到。

例2如圖2，點(diǎn)M在反比例函數(shù)y=x（x>0）的圖像上，延長(zhǎng)OM至點(diǎn)B，使得M是OB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作AB⊥x軸于A，與雙曲線交于點(diǎn)E，連接OE。若S△BOE=3，求k。

【分析】S△BOE與點(diǎn)B、E的坐標(biāo)有關(guān)，比例系數(shù)k與E點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，假設(shè)雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)是解答本題的一個(gè)突破口。

解：設(shè)M（a，b），則ab=k。由M是OB中點(diǎn)得B（2a，2b），所以xE=2a，由M、E在雙

我們?cè)诮鉀Q函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要善于尋找條件和問(wèn)題之間的聯(lián)系，再把圖像的性質(zhì)和代數(shù)方法結(jié)合起來(lái)分析。反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)和線段的長(zhǎng)度、圖形的面積都是相關(guān)的，可以相互轉(zhuǎn)換。

例3如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，一條直線與反比例函數(shù)y=x（x>0）的圖像交于兩點(diǎn)A、B，與x軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)。分別過(guò)兩點(diǎn)A、B作x軸的平行線，與反比例函數(shù)y=x（x>0）的圖像交于兩點(diǎn)D、E，連接DE，求四邊形ABED的面積。

【分析】四邊形ABED的面積與四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)，注意到本題的隱含條件yc=0，

上述幾個(gè)問(wèn)題，無(wú)論是求線段長(zhǎng)、系數(shù)，還是求面積，都涉及點(diǎn)的坐標(biāo)，而雙曲線上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘縱坐標(biāo)的積是定值，當(dāng)然這也是一個(gè)隱含的相等關(guān)系。在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)一章時(shí)，能靈活設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，也就有了解決問(wèn)題的策略。

（作者單位：江蘇省常熟市外國(guó)語(yǔ)初級(jí)中學(xué)）