近場(chǎng)非圓信號(hào)參數(shù)快速估計(jì)算法

宋嘉奇 陶海紅

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710071)

1 引言

根據(jù)天線手冊(cè)[1]，在天線陣列中心到 2 D2/λ的空間范圍內(nèi)的信號(hào)源被認(rèn)為是近場(chǎng)源，其中D是天線孔徑， λ為工作波長(zhǎng)。大多數(shù)參數(shù)估計(jì)問題均假設(shè)信號(hào)源位于天線遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域，而在很多實(shí)際應(yīng)用中，存在感興趣的信號(hào)位于天線陣列近場(chǎng)區(qū)域這一情況，此時(shí)應(yīng)用傳統(tǒng)遠(yuǎn)場(chǎng)的參數(shù)估計(jì)算法會(huì)導(dǎo)致性能下降，甚至完全失效。

隨著陣列信號(hào)處理技術(shù)的不斷發(fā)展，近場(chǎng)源的參數(shù)估計(jì)問題越來(lái)越受到廣大學(xué)者的關(guān)注。文獻(xiàn)[2]提出了一種角度-距離的兩維MUSIC(MUltiple SIgnal Classification)方法，有效實(shí)現(xiàn)了近場(chǎng)源的超分辨參數(shù)估計(jì)，但兩維譜峰搜索的運(yùn)算量巨大。文獻(xiàn)[3]引入了4階累積量矩陣，并基于ESPRIT(Estimation of Signal Parameter via Rotational Invariance Technique)算法提出了總體最小二乘的ESPRIT-like算法，然而構(gòu)建累積量矩陣同樣需要耗費(fèi)巨大的運(yùn)算量。此外，文獻(xiàn)[4]提出了一種經(jīng)典的基于2階統(tǒng)計(jì)量的GESPRIT(Generalized ESPRIT)近場(chǎng)源定位算法。但此算法存在一半的陣列孔徑損失，因此估計(jì)精度有所降低并且可估計(jì)信源的個(gè)數(shù)減少了1/2[5]。

非圓信號(hào)廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、通信等領(lǐng)域，如BPSK(Binary Phase Shift Keying), PAM(Pulse Amplitude Modulation)以及ASK(Amplitude Shift Keying)等。近年來(lái)，大量參數(shù)估計(jì)算法采用非圓信號(hào)以提高估計(jì)性能[6,7]，但將非圓信號(hào)應(yīng)用到近場(chǎng)源定位問題中的相關(guān)工作還比較少。文獻(xiàn)[8]利用非圓信號(hào)和對(duì)稱線陣的性質(zhì)，提出了一種實(shí)值非圓降秩算法(Real-Valued Non-Circular RAnk RE-duction, RVNCRARE)。文獻(xiàn)[9]將多維搜索問題解耦成兩個(gè)一維搜索問題，依次估計(jì)近場(chǎng)源的角度和距離參數(shù)，有效避免了多維搜索。文獻(xiàn)[10]提出了一種非圓GESPRIT(Non-Circular Generalized ESPRIT, NCGESPRIT)算法，首先利用信號(hào)非圓特性構(gòu)造增廣的陣列數(shù)據(jù)矩陣，其次利用GESPRIT方法估計(jì)出信號(hào)的到達(dá)角度，最后通過(guò)對(duì)距離譜函數(shù)的一維搜索得到信源的距離估計(jì)。該算法只需構(gòu)造2階統(tǒng)計(jì)量矩陣和一維搜索，運(yùn)算復(fù)雜度低，同時(shí)避免了GESPRIT算法帶來(lái)的孔徑損失。西北工業(yè)大學(xué)的況梅東等人[11]在此基礎(chǔ)上提出了針對(duì)部分極化的非圓近場(chǎng)參數(shù)估計(jì)算法。寧波大學(xué)的陳華等人[12,13]利用對(duì)稱均勻線陣以及非圓信號(hào)特性提出了兩種遠(yuǎn)近場(chǎng)混合源的非圓參數(shù)估計(jì)新方法。本文基于降秩定理和多項(xiàng)式求根方法，對(duì)近場(chǎng)目標(biāo)的角度和距離參數(shù)分別進(jìn)行估計(jì)，有效降低了構(gòu)造高階統(tǒng)計(jì)量和多維參數(shù)搜索所帶來(lái)的計(jì)算復(fù)雜度。通過(guò)與GESPRIT算法和NCGESPRIT算法的性能對(duì)比，證明所提算法增加了可分辨信號(hào)源的個(gè)數(shù)，參數(shù)估計(jì)性能較好，且運(yùn)算復(fù)雜度較低。

2 近場(chǎng)源信號(hào)模型

假設(shè)在近場(chǎng)區(qū)域存在K個(gè)獨(dú)立窄帶非圓信號(hào)同時(shí)照射到空間陣列上，空間陣列如圖1所示，由N =2M +1個(gè)全向天線陣元組成，各個(gè)陣元的位 置 坐 標(biāo) 可 以 表 示 為[-Md,-(M -1)d,··,0,··,(M -1)d,Md]， 其中 d為陣元間距。

不失一般性，選取對(duì)稱陣列的中心陣元(0號(hào)陣元)為參考陣元，則 t時(shí) 刻第 m個(gè)陣元的接收信號(hào)xm(t)可以表示為

其中， sk(t)表 示第 k 個(gè) 入射信號(hào)， nm(t)為 第 m個(gè)陣元在 t時(shí)刻的噪聲， τmk表 示 sk(t)在 第 m個(gè)陣元相對(duì)于參考陣元的傳播時(shí)延，具體的傳播時(shí)延表達(dá)式為

其中， θk和 rk是 sk(t)的角度和距離參數(shù)。由于傳播時(shí)延表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜，不便于計(jì)算，根據(jù)菲涅爾近似[2]，傳播時(shí)延可以近似為

其中，

因此，式(1)的接收信號(hào) xm(t)可以簡(jiǎn)化為

圖 1 近場(chǎng)參數(shù)估計(jì)示意圖Fig. 1 Schematic diagram of near-field parameter estimation

將天線陣列接收信號(hào)的數(shù)據(jù)改寫成矩陣形式，可以表示為

其中，x(t)=[x-M(t),x-M+1(t),··,x0(t),··,xM-1(t),xM(t)]T為陣列接收數(shù)據(jù)矩陣，上標(biāo)T表示對(duì)矩陣取轉(zhuǎn)置。n(t)=[n-M(t),n-M+1(t),··,n0(t),··,nM-1(t),nM(t)]T為 加性噪聲矩陣。 A表示陣列的導(dǎo)向矢量矩陣，其詳細(xì)形式為

近 場(chǎng) 導(dǎo) 向 矢 量a(θk,rk)=[ak,-M,ak,-M+1,··,s(t)=[s1(t),s2(t),··,sK(t)]T表示近場(chǎng)非圓信號(hào)矩陣，根據(jù)入射信號(hào)的非圓特性，信號(hào)矩陣 s (t)可表示為

其 中 ， s0(t)=[s0,1(t),s0,2(t),··,s0,K(t)]T∈ RK×1,s0,k(t) 是 sk(t) 零 初相的實(shí)信號(hào)。對(duì)角矩陣Ψ =diag{ejψ1,ejψ2,··,ejψK} , ψk為信號(hào) sk(t )的初相。

3 近場(chǎng)非圓信號(hào)快速參數(shù)估計(jì)算法

為了充分利用信號(hào)的非圓特性，對(duì)陣列接收的多快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)展處理，將陣列輸出矩陣與其共軛進(jìn)行拼接，得到增廣的陣列接收數(shù)據(jù)矩陣。

其中，上標(biāo)*表示對(duì)矩陣取共軛， Aˉ =[A A*Ψ*]T，表示擴(kuò)展的導(dǎo)向矢量矩陣Aˉ=[aˉ(θ1,r1,ψ1),aˉ(θ2,r2,ψ2),··,aˉ(θK,rK,ψK)], Nˉ(t)=[N(t) N*(t)]T

其中， US和 UN分別為特征向量張成的信號(hào)子空間和噪聲子空間， Λs為 K個(gè)主特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣， ΛN為 剩余 2N -K個(gè)次特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣。傳統(tǒng)子空間算法的思路是在角度-距離兩維參數(shù)域 (θ ,r)中 進(jìn)行譜峰搜索，搜索下列譜函數(shù)的 K個(gè)最小值來(lái)得到信號(hào)源的位置參數(shù)。

但高維譜峰搜索的運(yùn)算復(fù)雜度大，為了有效降低算法運(yùn)算復(fù)雜度，本文提出了基于多項(xiàng)式求根的近場(chǎng)非圓信號(hào)源快速參數(shù)估計(jì)算法，對(duì)擴(kuò)展的導(dǎo)向矢量矩陣進(jìn)行解耦，然后利用多項(xiàng)式求根方法依次對(duì)信號(hào)源的角度和距離進(jìn)行估計(jì)。

3.1 角度估計(jì)

首先，對(duì)近場(chǎng)信號(hào)源的角度進(jìn)行估計(jì)，根據(jù)陣列的對(duì)稱性對(duì)導(dǎo)向矢量矩陣進(jìn)行解耦，可得

故擴(kuò)展的近場(chǎng)導(dǎo)向矢量矩陣可以改寫成為

矩陣 C (θ)的維數(shù)取決于陣元個(gè)數(shù)，若陣元個(gè)數(shù)N =2M +1， 則矩陣 C (θ)為 2( M +1)× 2(M +1)維。以三陣元線陣為例，此時(shí) z =ejγ, γ =-2πd sin θ/λ

由于 UN的 矩陣維數(shù)為 (2 N ×(2N -K))，令UN1=UN(1:N,:) , UN2=UN(N +1:2N,:)。則

求得 M矩陣的行列式表達(dá)式后，對(duì)多項(xiàng)式det(C(z))=0進(jìn)行求解，尋找單位圓內(nèi)最靠近單位圓的 K 個(gè)點(diǎn)，即為所求的 z的值 z?k，從而根據(jù)式(20)反推出近場(chǎng)源的角度估計(jì)值：

定理3 設(shè)Cφ是Βψ,0上的有界復(fù)合算子，則Cφ在Βψ,0上下有界當(dāng)且僅當(dāng)存在ε>0，使得Gε=φ(Ωε)是Bn上的一個(gè)樣本集，其中

當(dāng)陣元數(shù)增多時(shí)，矩陣行列式的表達(dá)式可以通過(guò)矩陣分塊來(lái)求得

除此之外，也可以利用MATLAB軟件的符號(hào)函數(shù)syms來(lái)計(jì)算。

3.2 距離估計(jì)

根據(jù)信號(hào)的非圓特性，近場(chǎng)的導(dǎo)向矢量矩陣可以解耦為

表 1 矩陣M中的元素Tab. 1 Elements of matrix M

由于矩陣 Q為2階矩陣，其行列式的表達(dá)式很容易得出，利用多項(xiàng)式求根的方法找出最靠近單位圓的K個(gè)估計(jì)值 f?k，再根據(jù)式(29)反推出信號(hào)源的距離參數(shù)。

3.3 算法流程

(1) 獲取接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣 R；

(2) 對(duì) R矩陣進(jìn)行特征值分解；

(3) 構(gòu)造 M 矩陣，根據(jù)式(19)求出 d et(M(z))的表達(dá)式；

(4) 求解 d et(C(z))=0，選取單位圓內(nèi)靠近單位圓的 K 個(gè)，根據(jù)由反推出；

(5) 構(gòu)造 Q矩陣，根據(jù)式(25)求出 d et(Q(z))的表達(dá)式；

4 性能分析與實(shí)驗(yàn)仿真

4.1 性能分析

4.1.1 可估計(jì)信源數(shù)分析

本節(jié)主要討論GESPRIT算法[4]、NCGESPRIT算法[10]以及本文所提算法可分辨信號(hào)源的最大數(shù)目。為便于分析，假設(shè)3種算法均采用陣元數(shù)為N =2M +1的均勻線陣。由于噪聲子空間至少需要一個(gè)特征向量所張成，且GESPRIT算法會(huì)損失1/2的陣列孔徑，故GESPRIT算法最多可分辨 M個(gè)信號(hào)源；NCGESPRIT算法與本文所提算法利用了信號(hào)的非圓特性，擴(kuò)展了信號(hào)子空間，沒有陣列孔徑損失，而需要張成噪聲子空間的特征向量不變，因此可分辨最多 2 M個(gè)信號(hào)。

4.1.2 運(yùn)算復(fù)雜度分析

在本節(jié)的計(jì)算復(fù)雜度分析中，只討論運(yùn)算量耗費(fèi)較大的幾部分，其中包括統(tǒng)計(jì)量矩陣的構(gòu)建、特征值分解以及譜峰搜索。假設(shè)角度和距離的搜索范圍分 別 為 θ ∈[-90°,90°] 和 r ∈ [0.62(D3/λ)1/2,2D2/λ]，其中搜索步長(zhǎng)為 Δθ和 Δr。陣列的陣元數(shù)目為N，快拍數(shù)為L(zhǎng)。GESPRIT算法估計(jì)信號(hào)源的角度和距離參數(shù)需要構(gòu)建兩個(gè) N ×N的2階累積量矩陣，進(jìn)行兩次特征值分解，以及兩次譜搜索。NCGESPRIT算法則需要構(gòu)建一個(gè) 2 N ×2N的2階累積量矩陣，進(jìn)行一次特征值分解和兩次譜搜索。本算法構(gòu)建的是一個(gè) 2 N ×2N的2階實(shí)值累積量矩陣，也需要進(jìn)行一次特征值分解，無(wú)需譜峰搜索。表2詳細(xì)給出了3種算法各種運(yùn)算所需的運(yùn)算量。

由表2可以看出，所提算法雖然在構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量矩陣與特征值分解兩部分運(yùn)算量略高于GESPRIT算法，但本文算法無(wú)需譜峰搜索，有效降低了算法的運(yùn)算復(fù)雜度，而NCGESPRIT算法所需的運(yùn)算復(fù)雜度最高。

4.1.3 近場(chǎng)非圓信號(hào)參數(shù)估計(jì)的克拉美羅界

將未知參量寫成矢量記作 η =[θTrTρTσn2]T。其中，θ =[θ1,θ2,··,θK]T是 DOA參數(shù)矢量，r =[r1,r2,··,rK]T是距離參數(shù)矢量，

根據(jù)近場(chǎng)非圓信號(hào)模型以及非圓復(fù)高斯信號(hào)的假設(shè)，費(fèi)舍爾信息矩陣具體表達(dá)形式為[15]

其中，RY是 Y (t)的協(xié)方差矩陣。由于本文僅關(guān)心信源的位置參數(shù) θ和r，因此根據(jù)文獻(xiàn)[15]的式(10)可得

對(duì)于非圓信號(hào)，文獻(xiàn)[15]的式(15)由式(33)替換

表 2 算法運(yùn)算復(fù)雜度比較Tab. 2 Algorithm complexity comparison

相應(yīng)地，可以繼續(xù)推導(dǎo)出

4.2 實(shí)驗(yàn)仿真

為了驗(yàn)證本文所提算法的有效性及參數(shù)估計(jì)性能，將其與GESPRIT算法[4]以及NCGESPRIT算法[10]進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真對(duì)比。在下列仿真實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)天線陣列是由7個(gè)各向同性陣元(M =3)組成的對(duì)稱均勻線陣，陣元間距 d =λ/4。信源入射到陣列的信號(hào)均為等功率、統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的BPSK信號(hào)。參數(shù)估計(jì)性能通過(guò)均方根誤差來(lái)衡量，均方根誤差的表達(dá)式為

其中， yk表 示信號(hào)源的角度參數(shù) θk或 距離參數(shù) rk，示第 n次 試驗(yàn)中本算法對(duì) yk的估計(jì)值，總的蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù)為200。

4.2.1 仿真實(shí)驗(yàn)1

仿真實(shí)驗(yàn)1主要研究信噪比對(duì)參數(shù)估計(jì)性能的影 響 。 假 設(shè) 信 號(hào) 源 位 于 ( -30°,2λ) , (- 1 0°,3λ),(20°,4λ)，快拍數(shù)為200。信噪比以步長(zhǎng)5 dB從0 dB到40 dB逐漸增加。圖2展示的是DOA和距離估計(jì)的均方根誤差隨信噪比變化的曲線，同時(shí)給出了近場(chǎng)非圓信號(hào)參數(shù)估計(jì)的CRB。顯然可以看出，由于利用了信號(hào)的非圓信息，所提算法與NCGESPRIT的DOA估計(jì)性能幾乎一致，距離估計(jì)性能略優(yōu)于非圓GESPRIT，且兩者均能很好地趨近CRB。另外，所提算法與NCGESPRIT的性能均明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的GESPRIT算法。

4.2.2 仿真實(shí)驗(yàn)2

仿真實(shí)驗(yàn)2主要研究快拍數(shù)對(duì)參數(shù)估計(jì)性能的影響。信號(hào)源參數(shù)與仿真實(shí)驗(yàn)1相同，信噪比固定為20 dB，快拍數(shù)從10～1000變化。3種算法的估計(jì)性能及CRB隨快拍數(shù)的變化曲線圖如圖3所示?？梢钥闯?，隨著快拍數(shù)的增加，角度和距離的估計(jì)性能逐漸提高，本文所提算法的RMSE曲線更靠近CRB，說(shuō)明所提算法具有更高的參數(shù)估計(jì)精度。此外，由于本文所提算法與NCGESPRIT算法充分利用了信號(hào)的非圓特性，陣列的虛擬孔徑增大，其參數(shù)估計(jì)性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的GESPRIT算法，且RMSE曲線能夠很好地趨近CRB。

4.2.3 仿真實(shí)驗(yàn)3

圖 2 RMSE-信噪比曲線圖Fig. 2 RMSE-signal to noise ratio curve

圖 3 RMSE-快拍數(shù)曲線圖Fig. 3 RMSE-snapshots curve

仿真實(shí)驗(yàn)3中，對(duì)3種算法的運(yùn)算復(fù)雜度進(jìn)行比較。假設(shè)近場(chǎng)區(qū)域僅存在一個(gè)信號(hào)源，信噪比為20 dB，角度與距離的搜索步長(zhǎng)分別為1°和 0 .01λ，圖4為算法運(yùn)行100次的平均時(shí)間隨陣元個(gè)數(shù)變化的曲線(CPU：酷睿i5 2.4 GHz，內(nèi)存：8 G)?？梢钥闯?，陣元數(shù)少的時(shí)候，所提算法與GESPRIT運(yùn)算量相當(dāng)，隨著陣元數(shù)的增加，本算法的運(yùn)算復(fù)雜度略高于GESPRIT算法，但始終低于NCGESPRIT算法。這是由于所提算法和NCGESPRIT算法構(gòu)造的擴(kuò)展協(xié)方差矩陣的維數(shù)是GESPRIT算法的兩倍，因此陣元數(shù)增多時(shí)所提算法的運(yùn)算復(fù)雜度略高于傳統(tǒng)GESPRIT算法。同時(shí)，由于本文所提算法采用了多項(xiàng)式求根技術(shù)，有效避免了譜搜索，因此運(yùn)算復(fù)雜度較之于NCGESPRIT相比計(jì)算復(fù)雜度更低。

5 結(jié)論

圖 4 三種算法的運(yùn)算時(shí)間比較Fig. 4 Comparison of operation time of three algorithms

本文基于對(duì)稱的均勻線陣提出了一種新的近場(chǎng)非圓信號(hào)的快速估計(jì)算法。通過(guò)對(duì)近場(chǎng)陣列的多維參數(shù)解耦與多項(xiàng)式求根方法，近場(chǎng)源的DOA和距離參數(shù)依次估計(jì)得出。本算法避免了高階統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算與譜峰搜索，有效地降低了運(yùn)算量，并利用非圓信號(hào)提升了參數(shù)估計(jì)的自由度。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證可得本算法能夠在提升參數(shù)估計(jì)精度的同時(shí)將運(yùn)算復(fù)雜度保持在較低水平，同時(shí)可檢測(cè)信號(hào)源數(shù)目也得到提升。