帶有攻角約束的吸氣式高超聲速飛行器反步法控制①

馬曉川，陳 康，杜昊昱，閆 杰

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072)

0 引言

吸氣式高超聲速飛行器具有快速全球打擊、超音速突防、低成本空天往返等優(yōu)點(diǎn)，在軍事和民用兩個(gè)方面都有很好的應(yīng)用價(jià)值，是未來(lái)飛行器研究和發(fā)展的熱點(diǎn)。受高超聲速氣流的作用，吸氣式高超聲速飛行器受到的氣動(dòng)力呈現(xiàn)較強(qiáng)的非線性和不確定性[1]。而發(fā)動(dòng)機(jī)-機(jī)身一體化的結(jié)構(gòu)造成了推力與氣動(dòng)力矩耦合[2-3]。細(xì)長(zhǎng)體結(jié)構(gòu)的氣動(dòng)外形又降低了飛行器的剛度，飛行控制中的氣動(dòng)彈性問(wèn)題更加突出[4-5]。針對(duì)于吸氣式高超聲速飛行器的特點(diǎn)， 控制[6]、滑?？刂芠7-8]、自適應(yīng)控制[9-10]等控制方法被應(yīng)用于高超聲速飛行器控制問(wèn)題的研究。

反步法是處理吸氣式高超聲速飛行器非線性控制問(wèn)題的有效方法。文獻(xiàn)[11]使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似吸氣式高超聲速飛行器模型中的非線性未知項(xiàng)，然后使用反步法設(shè)計(jì)了飛行控制器，而且在控制器設(shè)計(jì)中引入附加系統(tǒng)來(lái)補(bǔ)償執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和對(duì)控制系統(tǒng)的影響。文獻(xiàn)[12]針對(duì)吸氣式高超聲速飛行器的非線性和不確定性設(shè)計(jì)了反步控制器，對(duì)飛行器模型的不確定項(xiàng)用干擾觀測(cè)器進(jìn)行估計(jì)與補(bǔ)償。文獻(xiàn)[13]在反步控制器設(shè)計(jì)中，使用干擾觀測(cè)器對(duì)吸氣式高超聲速飛行器模型中的不匹配不確定性進(jìn)行了補(bǔ)償。文獻(xiàn)[14]使用二階指令濾波器進(jìn)行高超聲速飛行器的反步控制器設(shè)計(jì)，提高了控制系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)的抑制能力。文獻(xiàn)[15]使用反步法設(shè)計(jì)了分布式魯棒控制器，通過(guò)將反步控制和信號(hào)補(bǔ)償結(jié)合起來(lái)構(gòu)成一個(gè)魯棒控制器的方式，簡(jiǎn)化了系統(tǒng)處理的復(fù)雜性。文獻(xiàn)[16]設(shè)計(jì)了吸氣式高超聲速飛行器的反步容錯(cuò)控制器，對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的時(shí)變故障進(jìn)行了補(bǔ)償。

發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)氣道不啟動(dòng)現(xiàn)象是一個(gè)嚴(yán)重影響吸氣式高超聲速飛行器飛行安全的問(wèn)題。進(jìn)氣道不啟動(dòng)是因?yàn)榘l(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室內(nèi)壓力上升或者激波面與發(fā)動(dòng)機(jī)隔離室分離而引起的[17-18]。當(dāng)進(jìn)氣道不啟動(dòng)時(shí)會(huì)出現(xiàn)發(fā)動(dòng)機(jī)推力驟減甚至發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)的現(xiàn)象。又因?yàn)槲鼩馐礁叱曀亠w行器發(fā)動(dòng)機(jī)-機(jī)身一體化的獨(dú)特結(jié)構(gòu)所造成的推力和氣動(dòng)力的耦合，發(fā)動(dòng)機(jī)推力驟減或消失后會(huì)在飛行器前部誘發(fā)抬頭附加力矩。誘發(fā)的抬頭力矩會(huì)改變飛行器的靜穩(wěn)定性或加深飛行器的靜不穩(wěn)定性，造成飛行器控制系統(tǒng)的失效[19]。因此，吸氣式高超聲速飛行器飛行時(shí)需要避免進(jìn)氣道不啟動(dòng)。文獻(xiàn)[20-21]表明，進(jìn)氣道不啟動(dòng)與飛行器的攻角有關(guān)。這就意味著在飛行過(guò)程中，對(duì)攻角的限制可有效的避免發(fā)動(dòng)機(jī)的不啟動(dòng)現(xiàn)象?；谕ㄟ^(guò)限制攻角來(lái)避免進(jìn)氣道不啟動(dòng)的思想，F(xiàn)amularo等[22]在自適應(yīng)控制器的基礎(chǔ)上，增加了狀態(tài)限制機(jī)制，當(dāng)飛行器攻角超出邊界后，限制機(jī)制對(duì)控制器指令進(jìn)行修正，實(shí)現(xiàn)對(duì)攻角的限制。許斌等[23]在反步法控制中引入輸入受限濾波器來(lái)限制攻角虛擬指令，并利用障礙Lyapunov函數(shù)約束攻角與虛擬指令之間的誤差，從而達(dá)到攻角限制的目的。郝安等[24]在控制吸氣式高超聲速飛行器時(shí)，讓飛行器跟蹤預(yù)設(shè)攻角指令，并用鴨翼補(bǔ)償飛行器攻角限制帶來(lái)的升力不足的方法保證攻角在允許范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

針對(duì)高超聲速飛行器的攻角限制問(wèn)題，本文使用反步法設(shè)計(jì)了吸氣式高超聲速飛行器的控制系統(tǒng)。并在反步法的基礎(chǔ)上增加了補(bǔ)償控制器。補(bǔ)償控制器在攻角超出預(yù)定閾值時(shí)對(duì)虛擬指令和參考值指令的修正以實(shí)現(xiàn)對(duì)攻角的限制作用。在以往使用反步法進(jìn)行狀態(tài)限制方法中，反步法與障礙Lyapunov函數(shù)結(jié)合實(shí)現(xiàn)對(duì)狀態(tài)的約束作用[23，25-26]。這種方法在狀態(tài)接近障礙函數(shù)邊界時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的控制信號(hào)，而本文提出的使用補(bǔ)償控制器修正控制信號(hào)的方法，則避免了這一問(wèn)題。另外，為了提高飛行器對(duì)外部擾動(dòng)影響，例如風(fēng)擾動(dòng)，采用了擴(kuò)展觀測(cè)器對(duì)外部擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償。最后通過(guò)數(shù)值仿真計(jì)算，驗(yàn)證了該控制方法的有效性。

1 高超聲速飛行器縱向動(dòng)力學(xué)模型

高超聲速飛行器的縱向非線性動(dòng)力學(xué)模型可表示成如下非線性微分方程組：

(1)

其中，狀態(tài)V、γ、α、ω分別為飛行器的速度、航跡傾角、攻角和俯仰角速度；m和I分別為飛行的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；g為重力常數(shù)；P、D、L、M分別為作用在飛行器上的推力、阻力、升力和俯仰力矩。根據(jù)文獻(xiàn)[27]，飛行器的氣動(dòng)力和力矩可表示為攻角α與舵偏δ的函數(shù)關(guān)系式：

(2)

其中，

(3)

飛行器運(yùn)動(dòng)時(shí)攻角比較小，所以sinα≈α。同時(shí)，忽略掉升降舵上的升力，高超聲速飛行器縱向姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型可以近似為嚴(yán)反饋形式：

(4)

其中，

(5)

(6)

嚴(yán)反饋模型中的d1、d2、d3是模型不確定性引起的擾動(dòng)。模型的輸入是舵偏δ，輸出是航跡傾角γ?？刂葡到y(tǒng)的設(shè)計(jì)目的是基于嚴(yán)反饋模型設(shè)計(jì)高超聲速飛行器的航跡傾角跟蹤控制器，并且控制器能保證飛行器在跟蹤航跡傾角的過(guò)程中攻角被限制在預(yù)定的范圍內(nèi)。

2 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1 反步法控制器設(shè)計(jì)

(1)航跡傾角回路控制

定義航跡傾角控制誤差：

z1=γ-γd-λ1

(7)

式中γd為輸入的航跡傾角參考指令；λ1為對(duì)控制量的補(bǔ)償信號(hào)。

在傳統(tǒng)的反步控制其中，誤差的定義不含有補(bǔ)償信號(hào)?？刂破黩?qū)動(dòng)飛行器狀態(tài)γ跟蹤指令γd。當(dāng)加入補(bǔ)償信號(hào)λ1后，在補(bǔ)償器工作時(shí)，控制器則驅(qū)動(dòng)狀態(tài)γ跟蹤修正后的指令γd+λ1。對(duì)z1求導(dǎo)：

(8)

設(shè)計(jì)虛擬控制指令：

(9)

式中c1為一個(gè)正數(shù)。

(10)

其中，b11、b12、ε1、κ1為觀測(cè)器參數(shù)且均為正數(shù)，函數(shù)Γ(eγ，ε1，κ1)表示為

(11)

為了解決反步法控制器設(shè)計(jì)中“微分爆炸”，使用一階低通濾波器對(duì)虛擬指令進(jìn)行估計(jì)。

(12)

式中η1為正數(shù)。

定義虛擬指令與估計(jì)指令的誤差：

y1=αd-αc

(13)

定義攻角控制誤差：

z2=α-αd-λ2

(14)

式中λ2為補(bǔ)償器輸出的補(bǔ)償信號(hào)。

把式(13)和(14)代入式(8)，得：

(15)

把虛擬控制律式(9)代入式(15)：

(16)

(2)攻角回路控制

對(duì)攻角控制誤差z2求導(dǎo)：

(17)

設(shè)計(jì)虛擬控制指令：

(18)

干擾觀測(cè)器為：

(19)

式中b21、b22、ε2、κ2均為正數(shù)。

讓虛擬控制指令ωc經(jīng)過(guò)一階低通濾波器：

(20)

式中η2為正數(shù)。

定義虛擬指令與估計(jì)指令的誤差：

y2=ωd-ωc

(21)

定義俯仰角速度控制誤差：

z3=ω-ωd-λ3

(22)

把式(21)、式(22)代入式(17)：

(23)

把虛擬控制律式(18)代入式(23)：

(24)

(3)俯仰角回路控制

對(duì)俯仰角速度控制誤差求導(dǎo)：

(25)

選取控制律：

(26)

干擾觀測(cè)器為

(27)

式中b31、b32、ε3、κ3均為正數(shù)。

把控制控制律式(26)和式(27)代入式(25)得：

(28)

2.2 補(bǔ)償器設(shè)計(jì)

在反步法控制中，控制器驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤中間控制信號(hào)αd和ωd，當(dāng)誤差信號(hào)收斂并穩(wěn)定后，系統(tǒng)完成對(duì)參考指令的跟蹤。因此，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)主要由中間控制信號(hào)決定。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)超出限制范圍內(nèi)，可通過(guò)對(duì)中間控制信號(hào)的修正完成對(duì)狀態(tài)的限制控制。基于這種思想，在上述的反步法控制中的每個(gè)誤差變量的定義中引入了相應(yīng)的補(bǔ)償變量。當(dāng)攻角超出限制邊界時(shí)利用補(bǔ)償器對(duì)中間控制信號(hào)的修正來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)攻角的限制。而當(dāng)攻角運(yùn)行在允許范圍內(nèi)，補(bǔ)償器不在起作用?？刂破髯兂蓚鹘y(tǒng)的反步法控制器，保證控制系統(tǒng)對(duì)參考指令的跟蹤。補(bǔ)償器設(shè)計(jì)為

(29)

補(bǔ)償器輸入uλ為

(30)

式中k1、k2、k3、k4為補(bǔ)償器參數(shù)且均為正數(shù)；αmax與αmin分別為令補(bǔ)償器啟動(dòng)的攻角最大閾值和最小閾值。

因?yàn)楣ソ窃诔鲅a(bǔ)償器啟動(dòng)值后才會(huì)對(duì)控制信號(hào)進(jìn)行修正。因此，補(bǔ)償器啟動(dòng)的最大閾值要小于攻角限制的上邊界值，而最小閾值要大于攻角限制的下邊界。這樣設(shè)置閾值保證在動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程中攻角不超出限制邊界。

3 穩(wěn)定性分析

定義Lyapunov函數(shù)：

(31)

(32)

式(30)中的uλ根據(jù)攻角狀態(tài)值會(huì)有不同的表達(dá)形式。當(dāng)αmin≤α≤αmax時(shí)，uλ=0，在這種情況下控制器變?yōu)閭鹘y(tǒng)的反步法控制器。文獻(xiàn)[12]已分析了這種條件下控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)α>αmax時(shí)，uλ=αmax-α。此時(shí)，對(duì)式(13)和(14)進(jìn)行變換并代入uλ，得：

uλ=αmax-z2-y1-αc-λ2

(33)

把式(33)代入式(32)，并將括號(hào)展開(kāi)：

(34)

考慮任意兩個(gè)緊集

Λ：=

則式(34)滿足：

(35)

對(duì)式(35)進(jìn)行縮放：

(36)

整理式(36)：

(37)

選取參數(shù)：

(38)

式(37)可進(jìn)一步表示為

=-2m0Vγ+G

(39)

4 系統(tǒng)仿真與分析

通過(guò)數(shù)值仿真來(lái)驗(yàn)證本文提出控制方法的有效性。仿真中使用式(1)描述的非線性模型。模型中的氣動(dòng)力數(shù)據(jù)來(lái)自文獻(xiàn)[27]。文獻(xiàn)[27]并沒(méi)有給出發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)氣道不啟動(dòng)的攻角條件，但為了驗(yàn)證控制器效果，假設(shè)在飛行器速度為8Ma時(shí)，引起進(jìn)氣道不啟動(dòng)的攻角邊界為[-5°，5°]。速度控制不在本文討論的范圍內(nèi)，但為了保證控制系統(tǒng)的完整性，在仿真中使用文獻(xiàn)[12]提出的速度控制器來(lái)穩(wěn)定飛行器速度。飛行器初始狀態(tài)由表1給出。

表1 飛行器初始狀態(tài)Table 1 Initial state values of the vehicle

仿真中，使用如下二階濾波器生成航跡傾角參考指令：

(40)

濾波器的阻尼比ζ為0.9。濾波器的輸入是幅值為10°的階躍信號(hào)。飛行器利用縱向氣動(dòng)升力改變航跡傾角γ，而縱向升力主要由飛行器攻角提供。這就意味著過(guò)大或者過(guò)快的航跡傾角指令都會(huì)造成攻角超出限定邊界。因此，利用濾波器頻率ωn的變化來(lái)調(diào)節(jié)指令速率。在限定指令幅值的條件下，通過(guò)對(duì)不同速度率航跡傾角指令的跟蹤來(lái)說(shuō)明控制器對(duì)攻角α的限制效果。另外，為了消除補(bǔ)償器延時(shí)和響應(yīng)過(guò)程中信號(hào)超調(diào)的影響，補(bǔ)償器的閾值設(shè)定為4.7°和-4.7°。閾值范圍包含在氣道不啟動(dòng)的攻角邊界內(nèi)。同時(shí)在仿真中加入幅值為1°，頻率為0.05 rad的正弦風(fēng)攻角來(lái)驗(yàn)證控制系統(tǒng)對(duì)外界擾動(dòng)的補(bǔ)償能力。

仿真中，使用不帶攻角限制補(bǔ)償器的控制方法和帶有攻角限制補(bǔ)償器的控制方法進(jìn)行對(duì)比。圖1和圖2分別給出了兩種控制方法在不同ωn條件下航跡傾角響應(yīng)曲線和攻角響應(yīng)曲線。

圖1 ωn=0.3時(shí)的航跡傾角和攻角響應(yīng)Fig.1 Response of flight path angle and angle of attack when ωn=0.3

圖2 ωn=0.5時(shí)的航跡傾角和攻角響應(yīng)Fig.2 Response of flight path angle and angle of attack when ωn=0.5

圖1的曲線是ωn=0.3時(shí)的仿真結(jié)果。在ωn=0.3時(shí)，兩種控制系統(tǒng)的航跡傾角響應(yīng)和攻角響應(yīng)完全重合。因?yàn)轱w行器攻角沒(méi)有達(dá)到補(bǔ)償器閾值，所以在控制過(guò)程中，補(bǔ)償器并沒(méi)有被觸發(fā)。即在補(bǔ)償器不工作時(shí)，補(bǔ)償器對(duì)閉環(huán)控制系統(tǒng)不產(chǎn)生任何影響。圖2中的曲線是ωn=0.5時(shí)的仿真結(jié)果。在ωn=0.5時(shí)，兩種控制系統(tǒng)的航跡傾角響應(yīng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)曲線重合和，即這兩種控制器的穩(wěn)態(tài)特性相同。在航跡傾角響應(yīng)的上升過(guò)程中，帶有攻角補(bǔ)償器的控制系統(tǒng)響應(yīng)略慢于不帶補(bǔ)償器的控制系統(tǒng)響應(yīng)。從攻角響應(yīng)曲線上看，帶有補(bǔ)償器控制系統(tǒng)的攻角被限制在補(bǔ)償器閾值附近，且在攻角邊界之內(nèi)。而不帶補(bǔ)償器控制系統(tǒng)的攻角響應(yīng)則越過(guò)攻角邊界。因?yàn)檠a(bǔ)償器限制了攻角幅值，即限制了飛行器的縱向過(guò)載，所以帶有補(bǔ)償器控制系統(tǒng)的航跡傾角響應(yīng)在上升過(guò)程中會(huì)略慢一些。圖1和圖2中，攻角α響應(yīng)在穩(wěn)態(tài)階段并沒(méi)有收斂到常值狀態(tài)，這是因?yàn)轱w行器受到風(fēng)攻角擾動(dòng)后，飛行器需要通過(guò)改變攻角產(chǎn)生氣動(dòng)力和力矩來(lái)抵消風(fēng)攻角的擾動(dòng)作用。

下面則以當(dāng)ωn=0.5時(shí)帶有補(bǔ)償器控制方法的仿真結(jié)果說(shuō)明補(bǔ)償器的工作機(jī)制以及控制系統(tǒng)中其他信號(hào)的特性。首先分析攻角控制回路。在攻角控制回路中，控制器驅(qū)動(dòng)攻角跟蹤控制信號(hào)αd+λ2。當(dāng)攻角在補(bǔ)償器閾值內(nèi)時(shí)，補(bǔ)償器沒(méi)有輸出。而當(dāng)攻角超出補(bǔ)償器閾值后，補(bǔ)償器產(chǎn)生信號(hào)修正信號(hào)αd。如圖3所示，在仿真進(jìn)行到1.1 s左右時(shí)，飛行器攻角超出了補(bǔ)償器閾值，補(bǔ)償器產(chǎn)生信號(hào)λ2并且補(bǔ)償信號(hào)與αd符號(hào)相反。在信號(hào)λ2的修正下，控制信號(hào)αd幅值降低。控制器再驅(qū)動(dòng)攻角跟蹤αd+λ2，攻角就被限制在補(bǔ)償器閾值附近。

圖3 攻角回路控制信號(hào)αd和補(bǔ)償信號(hào)λ2Fig.3 Angle of attack loop the control signal αd and compensation signal λ2

這里需要指出的是，補(bǔ)償器在攻角超出閾值后才產(chǎn)生控制信號(hào)，補(bǔ)償信號(hào)可將攻角限制在補(bǔ)償器閾值附近，但無(wú)法避免攻角超出補(bǔ)償器閾值。因此，補(bǔ)償器閾值一定要小于期望的攻角邊界，且補(bǔ)償器閾值與攻角邊界之間保留一定裕度以保證攻角響應(yīng)不會(huì)超出攻角邊界。同樣，補(bǔ)償器對(duì)γd和ωd也進(jìn)行了修正，如圖4給出的仿真結(jié)果。圖5～圖7給出了當(dāng)ωn=0.5時(shí)，其它變量的仿真結(jié)果。結(jié)果表明，這些變量都是有界量，與穩(wěn)定性分析的結(jié)論一致。最后，圖7給出控制系統(tǒng)的控制量，其幅值也都在實(shí)際物理系統(tǒng)的允許范圍內(nèi)。

圖4 控制信號(hào)γd、ωd與補(bǔ)償信號(hào)λ1、λ3Fig.4 Control signals γd，ωd，and the compensation signals λ1，λ3

圖5 控制誤差Fig.5 Tracking errors

圖6 d1、d2和d3估計(jì)誤差Fig.6 Estimated error of d1，d2 and d3

圖7 虛擬控制信號(hào)及舵偏Fig.7 Virtual controls and elevator

下面選取三組不同的補(bǔ)償器參數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比來(lái)說(shuō)明補(bǔ)償器參數(shù)對(duì)閉環(huán)響應(yīng)的影響。補(bǔ)償器參數(shù)的選取在表2中給出。這三組補(bǔ)償器參數(shù)的差別是k4選取了不同的數(shù)值。k4是補(bǔ)償器的輸入增益，體現(xiàn)了補(bǔ)償器對(duì)輸入信號(hào)的放大作用。

表2 補(bǔ)償器參數(shù)Table 2 Values of compensator parameters

圖8是k4取不同值時(shí)攻角的響應(yīng)曲線。當(dāng)k4=10時(shí)，補(bǔ)償器對(duì)攻角的限制作用并不明顯，攻角響應(yīng)超出攻角邊界。當(dāng)k4=50和k4=100時(shí)，補(bǔ)償器對(duì)攻角的限制作用明顯加強(qiáng)，攻角響應(yīng)的幅值都被限制在攻角邊界以內(nèi)，且k4增益越大，攻角響應(yīng)越趨近于補(bǔ)償器閾值。這說(shuō)明k4越大，補(bǔ)償器對(duì)攻角的限制作用越好。但k4越大對(duì)控制系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的性能要求越高。圖9仿真曲線則表明，隨著k4取值的不斷增大，舵響應(yīng)的最大幅值隨之變大，且k4過(guò)大還會(huì)引起執(zhí)行機(jī)構(gòu)振動(dòng)。圖9中，相比于與k4=50的情況，當(dāng)k4=100時(shí)，在仿真時(shí)間1 s附近，舵響應(yīng)出現(xiàn)了明顯的振動(dòng)。

圖8 k4取不同值時(shí)的攻角響應(yīng)Fig.8 Angle of attack response of k4 with different values

圖9 k4取不同值時(shí)的舵偏角Fig.9 Deflection of k4 with different values

5 結(jié)論

本文針對(duì)高超聲速飛行器飛行過(guò)程中攻角約束問(wèn)題，提出了一種使用補(bǔ)償系統(tǒng)限制攻角運(yùn)動(dòng)范圍的控制方法，并從理論上分析了這種控制器設(shè)計(jì)方法的穩(wěn)定性，結(jié)果表明：

(1)提出的補(bǔ)償器限制方法設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，能有效控制攻角的運(yùn)動(dòng)范圍，并且不改變?cè)蟹床椒刂破魇諗烤龋?/p>

(2)補(bǔ)償器在攻角超出閾值后，通過(guò)對(duì)指令的動(dòng)態(tài)修正來(lái)實(shí)現(xiàn)攻角限制作用，相比于使用障礙Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)反步法控制器，不需要對(duì)虛擬指令進(jìn)行額外設(shè)計(jì)，便可達(dá)到對(duì)狀態(tài)限制的目的。