無虛擬控制律的高超聲速飛行器新型模糊控制

李廣劍 何廣軍 吳亞暉 李興格

1.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，西安 7100512.空軍預(yù)警學(xué)院雷達(dá)士官學(xué)校，武漢 430345

0 引言

吸氣式高超聲速飛行器(AHV)是一類在臨近空間以吸氣式超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)為動(dòng)力，飛行速度超過5Ma的飛行器。由于飛行速度快、航程距離遠(yuǎn)、突防能力強(qiáng)，高超聲速飛行器成為軍用國防領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。與其他的飛行器相比，高超聲速飛行器具有更復(fù)雜的耦合問題、彈性振動(dòng)問題以及不確定性。為了提高高超聲速飛行器控制系統(tǒng)的整體性能，國內(nèi)外研究人員均展開了許多研究。

近年來，關(guān)于高超聲速飛行器控制的研究取得了許多成果。例如，輸入受限控制[1-3]，滑模變結(jié)構(gòu)控制[4-7]，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[8-10]，以及預(yù)設(shè)性能控制[11-12]等。文獻(xiàn)[13]提出在AHV中應(yīng)用反演方法對(duì)于系統(tǒng)的擾動(dòng)和不確定性項(xiàng)目進(jìn)行逼近，但沒有考慮彈性體形變的影響，且選擇的模糊函數(shù)比較繁瑣。文獻(xiàn)[14]在再入飛行器中基于動(dòng)態(tài)面，引入非零和博弈理論設(shè)計(jì)模糊自適應(yīng)控制器，取得了一定進(jìn)展。文獻(xiàn)[15]提出了基于ESO的模糊自適應(yīng)控制器，采用Nussbaum增益技術(shù)減少學(xué)習(xí)量，但是依然沒有擺脫模型限制。胡超芳[16]等提出了模糊自適應(yīng)的AHV容錯(cuò)控制，控制律設(shè)計(jì)過程以及控制律的形式相對(duì)復(fù)雜。文獻(xiàn)[17]采用預(yù)設(shè)性能神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，但是預(yù)設(shè)性能控制缺少嚴(yán)格統(tǒng)一的穩(wěn)定性分析方法，并且在應(yīng)用中會(huì)用到猜測量，在實(shí)際控制中猜測量一般難以獲取。

基于以上研究，提出了一種無虛擬控制律的高超聲速飛行器新型模糊控制方法。與反演控制相比，對(duì)于高度與速度子系統(tǒng)，每個(gè)系統(tǒng)只有一個(gè)模糊函數(shù)逼近器逼近總未知項(xiàng)，減少了傳統(tǒng)反演控制中的過度模型依賴，也提高了系統(tǒng)的魯棒性能?；诜稊?shù)估計(jì)策略設(shè)計(jì)模糊函數(shù)，減少了在線學(xué)習(xí)參數(shù)，保證了系統(tǒng)實(shí)時(shí)性。最后基于仿真，驗(yàn)證了控制方法的有效性能。

1 模糊系統(tǒng)理論預(yù)備

模糊控制的本質(zhì)，是將模糊規(guī)則和邏輯融入到控制器中。在按照一定模糊規(guī)則設(shè)計(jì)的情況下，模糊系統(tǒng)能以任意精度逼近給定的非線性連續(xù)函數(shù)[18-19]。與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和多項(xiàng)式函數(shù)逼近相比，模糊函數(shù)的優(yōu)勢在于能根據(jù)模糊邏輯進(jìn)行有效的控制。

引理1[18]對(duì)于任意給定的實(shí)函數(shù)F(X)在緊集Ω上，一定存在一個(gè)模糊系統(tǒng)，使得

|F(X)-y|<μ

(1)

其中，μ>0，y為模糊系統(tǒng)的輸出變量，F(xiàn)(X)為非線性實(shí)函數(shù)。

根據(jù)模糊集的工作機(jī)理，假設(shè)X為模糊系統(tǒng)的輸入變量。首先將清晰點(diǎn)X映射到模糊集A上；然后根據(jù)模糊機(jī)理推理，把模糊集A映射到模糊集B上，最后把模糊集B解模糊化，得到清晰的輸出y，實(shí)現(xiàn)從U到V的映射。則模糊系統(tǒng)可以表示為

y=θTξ(X)

(2)

式(2)中，輸入向量X=[x1,x2,…,xn]T∈Rn，模糊系統(tǒng)權(quán)系數(shù)參數(shù)向量θ=[θ1,θ2,…,θp]T∈Rp，ξ(X)=[ξ1(X),ξ2(X),…,ξp(X)]T∈Rp為模糊基函數(shù)，模糊基函數(shù)表示為

(3)

2 模型建立

先前學(xué)者們大多采用美國空軍實(shí)驗(yàn)室提出的Paker模型[20]。模型忽略了系統(tǒng)的一些弱耦合因素和慢動(dòng)態(tài)項(xiàng)，建立的面向控制的模型如下所示

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

圖1 AHV模型幾何構(gòu)型

其中，AHV的飛行速度和高度分別表示為V和h；飛行航跡角為γ；飛行俯仰角以及俯仰角速率為θ和Q；飛行器離地心的距離為r；m為AHV的質(zhì)量；俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用Iyy表示；定義飛行攻角為α=θ-γ。在AHV的彈性狀態(tài)中，η1和η2分別為AHV的彈性狀態(tài)，ζ1和ζ2為彈性狀態(tài)阻尼；ω1和ω2為彈性狀態(tài)的振動(dòng)頻率；N1和N2為廣義彈性力；

φf(·)和φa(·)為振型函數(shù)[20]。

對(duì)于AHV所受的升力L、推力T、阻力D、俯仰力矩M以及廣義彈性力N1和N2的具體大小，可以通過擬合式進(jìn)行表示：

3 控制律設(shè)計(jì)

3.1 高度控制律設(shè)計(jì)

在AHV高度子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，其控制目標(biāo)是通過選取合適的反饋控制輸入δe實(shí)現(xiàn)對(duì)于參考高度href的穩(wěn)定跟蹤。

首先將高度子系統(tǒng)寫成嚴(yán)格反饋的形式，并且使用一個(gè)模糊逼近器對(duì)其進(jìn)行在線逼近。

高度子系統(tǒng)的嚴(yán)格反饋形式為

(9)

式中，

兩式均為未知的連續(xù)非線性函數(shù)。

此時(shí)，高度子系統(tǒng)的控制目標(biāo)便為選取合適的反饋控制輸入δe使得γ→γd。

設(shè)計(jì)航跡角的參考輸入為

(10)

其中，kh1∈R和kh2∈R分別為待設(shè)計(jì)參數(shù)，且為正值。

定義航跡角的跟蹤誤差及其一階導(dǎo)數(shù)為

(11)

(12)

設(shè)計(jì)過渡變量θd，θd可以表示為

(13)

其中，kγ1∈R和kγ2∈R分別為待設(shè)計(jì)參數(shù)，且為正值。

定義俯仰角的跟蹤誤差為

(14)

將式(13)代入式(14)可以得到

(15)

求式(15)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，并代入式(9)得

(16)

將式(12)代入上式(16)可以得到

(17)

設(shè)計(jì)過渡變量Qd，Qd可以表示為

其中，kθ∈R為待設(shè)計(jì)參數(shù)，且為正值。

定義俯仰角速度的跟蹤誤差為

(19)

將式(18)代入式(19)中可以得到

(20)

將式(9)、式(12)和式(16)分別代入式(20)，并求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，可以得到

整理后可以得到式(21)

(21)

(22)

其中，kQ∈R為待設(shè)計(jì)參數(shù)，且為正值。

將式(15)代入到式(20)中可以繼續(xù)得到

(23)

將式(23)代入式(22)可以得到

(24)

(25)

(26)

(27)

式中，λ1∈R為待設(shè)計(jì)參數(shù)，且為正值。

3.2 速度控制律設(shè)計(jì)

在速度子系統(tǒng)中，其控制目標(biāo)是通過選取合適的反饋控制輸入Φ實(shí)現(xiàn)對(duì)于參考速度Vref的穩(wěn)定跟蹤。

將AHV速度子系統(tǒng)式(4)改寫為式(28)

(28)

式中，F(xiàn)V=[Tcos(θ-γ)-D]/m-gsinγ-Φ為未知的非線性連續(xù)函數(shù)。

定義速度的跟蹤誤差為

(29)

求式(29)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，將式(28)代入得

(30)

因FV未知，利用模糊系統(tǒng)進(jìn)行逼近，即

(31)

設(shè)計(jì)速度控制律為

(32)

其中，kV1∈R與kV2∈R為待設(shè)參數(shù)，取正值。

(33)

其中，λ2∈R為待設(shè)計(jì)參數(shù)，且為正值。

整個(gè)控制律的設(shè)計(jì)過程以及控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

注2 文獻(xiàn)[22]引入了虛擬控制量設(shè)計(jì)控制律，效果良好但求取虛擬控制量的一階導(dǎo)數(shù)比較繁瑣。本文采用反演控制方法，實(shí)際控制律只需一個(gè)模糊逼近函數(shù)求取，相比之下算法更簡潔。

注3 本文基于范數(shù)估計(jì)思想，不是對(duì)模糊函數(shù)中的權(quán)值元素進(jìn)行調(diào)整，而是采用調(diào)整權(quán)值范數(shù)的方法，降低了控制方法的計(jì)算量。

圖2 AHV模型控制結(jié)構(gòu)圖

4 穩(wěn)定性分析

4.1 高度子系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

定理1 如果AHV閉環(huán)高度子系統(tǒng)滿足式(9)，控制律滿足式(26)，自適應(yīng)律采用式(27)，則高度子系統(tǒng)控制系統(tǒng)局部漸近一致穩(wěn)定。

證明 將式(13)和式(14)代入式(12)中可以得到

(34)

將式(18)和(19)代入式(17)中可以得到

(35)

應(yīng)用式(24)與(25)可以變式(26)為

(36)

將式(22)代入上式(36)中，可以得到

(37)

將上式(37)代入式(21)可得

(38)

定義φ1的估計(jì)誤差為

(39)

選取Lyapunov函數(shù)為

(40)

對(duì)式(40)求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，并將式(21)、式(34)、式(35)和式(39)代入可以得到

(41)

考慮到有

(42)

(43)

又因?yàn)?/p>

則式(41)可以轉(zhuǎn)化為

(44)

(45)

(46)

定義如下緊集

4.2 速度子系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

定理2 如果AHV閉環(huán)速度子系統(tǒng)滿足式(13)，控制律滿足式(38)，自適應(yīng)律采用式(37)，則速度子系統(tǒng)控制系統(tǒng)局部漸近一致穩(wěn)定。

證明 證明與定理1類似，此處略。

5 仿真驗(yàn)證

以飛行器縱向運(yùn)動(dòng)模型為系統(tǒng)的被控對(duì)象，對(duì)參考速度和參考高度進(jìn)行跟蹤仿真，用四階龍哥庫塔法進(jìn)行求解，仿真步長設(shè)定為0.001s。飛行器的初始運(yùn)動(dòng)速度為2500m/s，運(yùn)動(dòng)高度為h=27000m，其中速度階躍為ΔV=100m/s，高度階躍為Δh=700m，控制器參數(shù)選擇為：kV1=1.5，kV2=1，kγ1=8，kγ2=0.01，kθ=8，kQ=8，λ1=0.05，λ2=0.05。速度和高度的參考輸入的阻尼比為0.9，自然頻率為0.1rad/s。模糊系統(tǒng)中，隸屬度函數(shù)選高斯基函數(shù)，設(shè)置每個(gè)變量的模糊集合為100個(gè)。速度子系統(tǒng)中輸入變量V的每個(gè)模糊集合的模糊中心iV在[2500,2800]內(nèi)均勻分布，高度子系統(tǒng)中輸入變量

V、γ、θ和Q的每個(gè)模糊集合的模糊中心iV、iγ、iθ和iQ分別在[2500,2800]、[-1.1°,1.1°]、[0°,11.5°]和[-5.7°/s,5.7°/s]的區(qū)間內(nèi)均勻分布。上述變量的隸屬度函數(shù)如表1所示，在下列情型下進(jìn)行仿真。

表1 各個(gè)變量的隸屬度函數(shù)

情形：假設(shè)AHV模型的氣動(dòng)系數(shù)存在±40%的攝動(dòng)量，在運(yùn)行時(shí)間超過50s之后加入攝動(dòng)量為C=C0[1+0.4sin(0.1πt)]，其中C0表示氣動(dòng)系數(shù)的標(biāo)稱值。采用本文的方法(方法1)和文獻(xiàn)[22]中提及的方法(方法2)進(jìn)行對(duì)比仿真。

分別采用本文的方法和文獻(xiàn)[22]中提及的方法進(jìn)行對(duì)比仿真。

圖3 情形1的對(duì)比仿真結(jié)果

從圖3的對(duì)比仿真中可以看出，本文提出的方法與文獻(xiàn)[22]中提出的方法在存在參數(shù)攝動(dòng)時(shí)，AHV在輸入連續(xù)階躍指令時(shí)都能實(shí)現(xiàn)對(duì)于高度h與速度V的穩(wěn)定跟蹤(見圖3(a)～ (d))，并且本文方法的跟蹤精度與抗干擾能力明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[22]中的方法，具有很強(qiáng)的魯棒性。從圖3(e)～(h)中可以看出，本文方法對(duì)于輸入控制和飛行器的姿態(tài)角度的控制都處于合理范圍，且比較平滑，有效防止了高頻抖振現(xiàn)象的產(chǎn)生。從圖3(i)和(j)中可以看出，采用本文方法時(shí)，AHV的彈性狀態(tài)也比較平滑，沒有產(chǎn)生高頻抖振現(xiàn)象，彈性狀態(tài)在合理范圍內(nèi)。圖3(k)和(i)反映了新型模糊控制下，對(duì)于φ1和φ2的估計(jì)效果。綜上可以看出，本文提出的新型模糊控制方法具有一定的優(yōu)勢。

6 結(jié)論

提出了一種無需虛擬控制律的新型模糊控制方法，可實(shí)現(xiàn)對(duì)于AHV高度指令和速度指令的穩(wěn)定魯棒跟蹤。與傳統(tǒng)魯棒反演控制方法相比，控制輸入和飛行器姿態(tài)角度都處于合理范圍且比較平滑，減少了高頻抖振現(xiàn)象。模糊控制中，AHV的每個(gè)子系統(tǒng)僅需一個(gè)模糊逼近器對(duì)實(shí)際控制律進(jìn)行逼近，無需對(duì)虛擬控制律以及其一階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行反復(fù)計(jì)算求取，大大減少了系統(tǒng)的在線參數(shù)學(xué)習(xí)，保證了算法的實(shí)時(shí)性能，同時(shí)基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，證明了控制系統(tǒng)穩(wěn)定性，保證了AHV閉環(huán)系統(tǒng)局部一致漸近穩(wěn)定。