網(wǎng)格法和粒子法模擬齒輪攪油損失中的比較分析

寧 斌，王 斌，呂紅明，王交龍，周雅杰

(1.江蘇大學機械工程學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

(2.鹽城工學院機械工程學院，江蘇 鹽城 224051)

(3.鹽城工學院汽車學院，江蘇 鹽城 224051)

網(wǎng)格法是當前處理流體力學問題的常用方法，對于簡單的流動問題能給出準確的結(jié)果。網(wǎng)格法指的是在仿真前用若干個子區(qū)域來代替原本的計算區(qū)域，且每個子區(qū)域內(nèi)的物理量都是由該區(qū)域內(nèi)的節(jié)點來決定，通過計算各個節(jié)點上的代數(shù)方程組來解決流體問題。目前，網(wǎng)格法已經(jīng)成為研究流體領域問題的主要手段。如彭錢磊等[1]利用網(wǎng)格法對齒輪飛濺潤滑性能進行數(shù)值仿真；王斌等[2]利用網(wǎng)格法對漸開線直齒輪在混合潤滑狀態(tài)下的效率進行了分析；尹雪梅等[3]在分析油膜軸承壓力分布時采用了動網(wǎng)格技術；Blocken等[4]通過網(wǎng)格法對大氣邊界層進行了CFD模擬。

在處理自由面大變形問題時，網(wǎng)格法很難給出準確的結(jié)果。20世紀90年代，MPS法(moving particle semi-implicit method)作為一種無網(wǎng)格法開始受到人們關注[5]。MPS法以Lagrange方程為基礎，用具有密度、速度、動量等物理量的流體粒子代替所要計算的流體域，通過研究流體粒子的情況來觀察整個流域的變化情況。這種方法在解決自由表面發(fā)生破碎與翻卷等現(xiàn)象時有很大的優(yōu)勢。MPS法因為其顯著的優(yōu)點受到人們的關注，并在許多流體問題中得到應用，如：朱躍等[6]分析了MPS法在多相多組分界面流動的應用；Khayyer等[7]對提高MPS法的穩(wěn)定性及準確性進行了研究；孫中國等[8]分析了MPS法在流體機械數(shù)值模擬中的應用；梁楊楊等[9]采用MPS法對液滴斜向撞擊液面過程進行了數(shù)值模擬。

網(wǎng)格法和粒子法都可以用來模擬流體動力學問題，但網(wǎng)格法與MPS法在許多方面存在差異，如前期處理、算法、計算效率等。本文以齒輪攪油模型為例，分別采用網(wǎng)格法和MPS法進行齒輪攪油仿真并對比分析仿真結(jié)果與實驗結(jié)果，為以后選用分析流體動力學問題的方法提供了參考。

1 數(shù)值方法

1.1 控制方程

1.1.1網(wǎng)格法控制方程

網(wǎng)格法中，液體流動問題的控制方程[10]為

(1)

式中：ρ為質(zhì)量密度；φ為通用物理量；t為空間某時刻；u為質(zhì)點速度；Γ為速度環(huán)量，定義為速度矢量沿封閉曲線的線積分；S為空間內(nèi)質(zhì)點或質(zhì)點域的內(nèi)能與勢能總和；div為散度函數(shù)，反映物理量在各矢量方向上的分散程度；grad為梯度函數(shù)。此式為動量守恒方程以及能量守恒方程的通用公式。

1.1.2MPS法控制方程

在MPS法中，基本控制方程主要為Continum方程(質(zhì)量守恒方程)和Navier-Stokes方程(動量守恒方程)，具體方程為：

(2)

(3)

在MPS法中，可以通過對粒子運動情況的分析，獲得整個流體域的運動狀況。在運動過程中，各個粒子都會對相鄰粒子產(chǎn)生作用，對于粒子間相互作用，主要采用權函數(shù)[11]進行計算。

(4)

式中：W(r)表示粒子間的相互作用；r為粒子間的距離；re為粒子作用半徑。

從式(4)可知：當r

1.2 算法的選用比較

1.2.1SIMPLE算法

本文選用網(wǎng)格計算方法中最為普遍的SIMPLE[12]算法。它是一種半隱式算法，通過壓力修正理論對方程進行迭代求解，并使用上一次的迭代結(jié)果構建下一次的迭代，主要計算流程為：

1)設定壓力值P*(P*為任意值)。

2)將P*與動量方程相結(jié)合，求解速度場，u*,v*,w*表示速度分量。

3)由于P*為空間某時刻的任意值，因此一般情況下通過動量方程獲得的速度矢量u*也為任意值，即與周圍空間點存在速度梯度誤差，所以此時獲得的速度場不滿足連續(xù)方程，需要構建壓力修正值P′，P′和P*相加后就可得到準確的壓力值P,P=P′+P*。

4)通過P可以獲得更加準確的速度場u,v,w(符合連續(xù)方程)。

5)將P設為新預測值P*，重新開始迭代計算。

1.2.2時間積分法

MPS法通過半隱式的時間積分法來解決問題，該算法與SIMPLE算法一樣，主要用來解決不可壓縮流體的問題。時間積分法求解過程包含兩步：顯式修正和隱式修正。具體計算流程如下：

(5)

(6)

2)通過計算Poisson方程，得到下一時刻的壓力；

(7)

3)由所獲得的壓力，獲得該時刻的粒子速度及位置：

(8)

(9)

1.3 邊界處理方式比較

1.3.1邊界層理論

網(wǎng)格法中，流體的控制方程為非線性方程，這使得邊界問題很難處理。本文以齒輪攪油為模型，在攪油過程中，油液在箱體壁面以及齒輪表面產(chǎn)生湍流。湍流區(qū)可以分為與箱體壁相互作用的近壁區(qū)和遠離箱體壁的完全湍流區(qū)。由于受到箱體壁的影響，油液在近壁區(qū)的流動與在完全湍流區(qū)的流動有較大差異。根據(jù)與箱體壁的垂直距離，將近壁區(qū)劃分為3個子層，依次為黏性底層、過渡層以及對數(shù)率層，各子層高度和速度如下：

(10)

(11)

1.3.2MPS法邊界處理方法

在MPS法中，流體粒子在邊界處易發(fā)生粒子缺失以及粒子穿透的現(xiàn)象，這樣將無法保證仿真結(jié)果的準確性。本文通過在邊界處以及邊界外布置多層邊界粒子[13]來防止這類現(xiàn)象的發(fā)生。由圖1可知，邊界粒子分為2類：第一類為與流體接觸的壁面粒子，這一類粒子主要分布在固壁上的壁面粒子；第二類為分布在邊界外的壁外粒子。在計算過程中，采用權函數(shù)(式(4))計算壁面粒子與流體粒子。若計算時不考慮壁外粒子，一方面會使得壁面粒子被認定為流體粒子，另一方面會使計算所得的粒子密度小于實際值，所以需要在邊界外分布多層粒子，壁外粒子的層數(shù)由權函數(shù)中re的大小決定。

圖1 壁面邊界的粒子分布

在求解過程中，為了防止粒子在與壁面接觸后穿過邊界，需要計算壁面粒子的壓力，這樣能夠確保液體粒子撞到壁面后能夠回彈。

2 仿真過程與結(jié)果比較分析

本文分別采用網(wǎng)格法與MPS法進行齒輪攪油仿真，并對仿真結(jié)果進行比較分析。首先齒輪攪油模型是一個流體領域的典型案例，其次齒輪攪油損失是測量電動汽車減速箱功耗的重要參考指標，具有實際意義。不僅如此，在齒輪嚙合轉(zhuǎn)動過程中，油液面會發(fā)生較大的變形，尤其是當油液撞擊到箱體壁后，液面會發(fā)生翻卷、破碎等自由面流動現(xiàn)象。因此分別用網(wǎng)格法和MPS法對齒輪攪油模型進行數(shù)值仿真并比較獲得的仿真結(jié)果,具有一定的參考價值與研究意義。

2.1 建立攪油模型

建立NX攪油齒輪箱模型，如圖2所示。一對嚙合齒輪安裝在箱體中間，將油液倒入箱體內(nèi)，油液寬度L=360 mm，高度H=145 mm，油液面與齒輪中心在同一水平面，箱體容積為360 mm×290 mm×100 mm。表1為齒輪副基本參數(shù)，其中主動輪為G1、從動輪為G2。

表1 齒輪副基本參數(shù)

圖2 攪油模型幾何尺寸

2.2 前期處理比較

2.2.1網(wǎng)格法前期處理

在使用網(wǎng)格法進行仿真前要對模型進行網(wǎng)格劃分，由于齒槽間的間隙過小，使得在嚙合區(qū)域所劃分的網(wǎng)格質(zhì)量較差，會對仿真結(jié)果產(chǎn)生影響，因此本文將兩個齒輪分別向兩側(cè)移動1 mm，增加嚙合區(qū)域間隙,從而確保網(wǎng)格的質(zhì)量。

在求解過程中，模型的網(wǎng)格數(shù)越少，則求解速度越快。本文通過局部加密法來劃分網(wǎng)格，對輪齒周圍區(qū)域進行加密，并在齒槽區(qū)域劃分雙層網(wǎng)格，這樣能夠減少求解時間、提高仿真準確性，局部網(wǎng)格加密圖如圖3所示[14]。

圖3 局部網(wǎng)格加密圖

隨后將劃分好的網(wǎng)格模型導入仿真軟件內(nèi)，采用壓力基求解，如圖4所示。由于齒輪在轉(zhuǎn)動時，流體會產(chǎn)生劇烈飛濺，油液面無法確定，因此由流體單元網(wǎng)格與總體積比函數(shù)F來確定自由面。

圖4 VOF兩相流設置

2.2.2MPS法前期處理

分別定義箱體、油液和齒輪3個部分的物理屬性，如圖5所示，將油液的物理屬性定義為Fluid(流體)，齒輪組與箱體的物理屬性定義為Polygon(多面體)。Fluid為MPS法仿真軟件中最為重要的元素，由粒子充當流體的角色，可以定義流體密度、運動黏度等物理量。而Polygon為盛放液體的容器，以自身輪廓為邊界條件，表達液體和粒子的接觸。

圖5 定義各組件物理屬性

2.3 仿真結(jié)果比較

本文分別采用ANSYS[14]和Particleworks兩種軟件對齒輪攪油進行模擬仿真。如圖6所示，初始時，齒輪副未開始轉(zhuǎn)動，油液處于靜平衡狀態(tài)，在t=0時，主動輪G1開始轉(zhuǎn)動，通過齒輪副的轉(zhuǎn)動帶動油液的運動。在計算前，將壓力分布設置為靜壓，油液密度ρ0=900 kg/m3,重力加速度g=9.8 m/s2,運動黏度系數(shù)υ=1.82×10-4m2/s。

圖6 初始油液位置

圖7與圖8顯示的是齒輪副剛開始轉(zhuǎn)動和油液開始翻卷的典型時刻的仿真圖像。通過油液的分布狀況可以看出，盡管流場變化比較劇烈，液面發(fā)生了翻卷，但網(wǎng)格法與MPS法均能很好地捕捉到這些特征。

圖7 齒輪轉(zhuǎn)動0.01 s時流域仿真圖

圖8 齒輪轉(zhuǎn)動0.1 s時流域仿真圖

從細節(jié)上看，網(wǎng)格法與MPS法存在著一些差別，如圖7所示，在0.01 s仿真剛開始時，在網(wǎng)格法中自由面變化并不是很劇烈，但在粒子法仿真中能夠清楚地看出一些油液粒子運動較為劇烈，這種現(xiàn)象在齒輪轉(zhuǎn)動0.1 s后更為明顯(圖8)。這主要是由于MPS采用了式(4)的權函數(shù)，當相鄰的粒子在靠近時，粒子數(shù)的密度快速增加，使得粒子飛濺。

2.4 數(shù)值結(jié)果比較

為了比較網(wǎng)格法與MPS法對于齒輪攪油的準確性，用上述攪油模型進行實驗，并將實驗數(shù)據(jù)與數(shù)值仿真獲得的數(shù)據(jù)進行比較，圖9、圖10為在不同轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)向情況下，齒輪副攪油損失變化曲線和數(shù)據(jù)點。由圖可知，網(wǎng)格法與粒子法的計算結(jié)果逐漸收斂于相近的結(jié)果。由于實驗測量時存在著裝配誤差、傳感器測量誤差以及其他一些不可控因素，而仿真數(shù)據(jù)是理想狀態(tài)下的齒輪攪油功耗，因此兩者之間存在一些偏差，但誤差大小仍在允許范圍內(nèi)。

圖10 攪油功率損失(主動輪順時針轉(zhuǎn)動)

圖9 攪油功率損失(主動輪逆時針轉(zhuǎn)動)

2.5 計算效率及精度的比較

因為網(wǎng)格法和MPS法采用不同的算法，所以在計算效率方面同樣存在一定的差異。在網(wǎng)格法中，大量的時間會花費在網(wǎng)格劃分中，且網(wǎng)格的質(zhì)量在很大程度上影響計算的效率和精度。在MPS法中粒子的大小也會影響計算的效率和精度。為了能夠準確地比較兩類方法的計算效率，本文通過對網(wǎng)格的大小與粒子的大小進行控制，使網(wǎng)格的體積與粒子的體積接近，由此對比在網(wǎng)格體積與例子體積接近時兩類方法的計算效率。本文中最大網(wǎng)格體體積約為7.78×10-8m3，最小網(wǎng)格體體積約為3.93×10-12m3。因此本文設粒子的直徑為1 mm，則每個粒子體積約為4.19×10-9m3，處于最大網(wǎng)格體積與最小網(wǎng)格體積之間。計算時使用相同的時間步長1×10-4s。

經(jīng)比較，MPS法的計算時間約為網(wǎng)格法的三分之一。由此可得，MPS法在計算效率上有較大優(yōu)勢。

在計算精度方面，由于網(wǎng)格法軟件的限制，本文將齒輪嚙合間隙有意擴大了2 mm，加大了齒輪嚙合時的空隙和嚙合齒輪之間的泵油量，使得齒輪間泵油損失增加，在一定程度上降低了計算的準確性。由此可知，MPS法在計算精度上具有一定的優(yōu)勢。

3 結(jié)論

本文通過網(wǎng)格法與MPS法分別對齒輪攪油進行了數(shù)值模擬和比較分析，結(jié)論如下：

1)在仿真結(jié)果方面，網(wǎng)格法和MPS法均能捕捉到齒輪轉(zhuǎn)動時的自由液面的變化狀況，說明兩種方法都能準確地解決流體動力學方面的問題。

2)在計算攪油損失結(jié)果方面，兩種方法所計算的結(jié)果與實驗結(jié)果相吻合。

3)在計算效率方面，本文通過控制網(wǎng)格和粒子的體積大小來比較兩者的計算效率，使得MPS法的計算效率明顯高于網(wǎng)格法。

4)在計算精度方面，由于網(wǎng)格法在進行網(wǎng)格劃分前需擴大齒輪間隙，降低了困油區(qū)的密閉性，使得攪油時的泵油量高于實際值；而MPS法則完全模擬真實攪油狀態(tài)，相對計算精度較高。