子午線收斂角變化規(guī)律及其在貫通定向中可靠性應(yīng)用研究

賀清清，徐 彬，李 昊，劉夢穎，王明明

(如東縣自然資源局，江蘇 如東 226400)

在貫通定向工程中，陀螺儀的作用是通過在地面已知高精度控制邊上進(jìn)行量測，獲取陀螺觀測數(shù)據(jù)后，聯(lián)系地面上下邊的子午線收斂角常用測量學(xué)計算公式，經(jīng)過公式計算后可以獲得地下待測邊在相關(guān)分帶中的高斯投影坐標(biāo)方位角；根據(jù)子午線收斂角的變化分布概略情況，為計算方便，在用常用測量學(xué)計算公式計算子午線收斂角時，存在子午線收斂角計算殘差情況；但是具體在各個分帶投影中，子午線收斂角殘差變化規(guī)律以及殘差影響數(shù)值，以致對相關(guān)高精度隧道貫通的相對影響及應(yīng)用適應(yīng)性如何，目前研究的比較少；并且由于井上下有的控制邊的部分點布設(shè)成了普通全站儀強(qiáng)制對中臺，陀螺儀定向時儀器不得不安置在部分缺少平面坐標(biāo)的對向點，最后的子午線收斂角計算不得不使用另外一個點的坐標(biāo)；因此陀螺定向邊兩點之間的距離及方向?qū)ψ游缇€收斂角變化的影響規(guī)律也需要深入的研究[1]。

1 陀螺全站儀定向及子午線收斂角的應(yīng)用計算

1.1 陀螺全站儀定向過程及相關(guān)計算

陀螺全站儀在定向過程中，綜合考慮精度及經(jīng)濟(jì)適用性，一般采用的是3+3+3方式進(jìn)行定向,即在井下儀器常數(shù)定向邊進(jìn)行三測回的定向，井下待定向邊進(jìn)行三測回的定向后，測后再在井上儀器常數(shù)定向邊進(jìn)行三測回的定向[2],通過陀螺定向陀螺方位角計算待測邊坐標(biāo)方位角,如圖1所示。

圖1 陀螺定向示意圖

圖中,αT為定向邊所測陀螺方位角；Δ為定向區(qū)域的陀螺儀儀器常數(shù)；A為陀螺定向邊的真北方位角；γ為陀螺儀安置點的子午線收斂角；α為定向邊測線方向坐標(biāo)方位角。

假設(shè)地面儀器常數(shù)定向邊測線方向已知坐標(biāo)方位角為α0，陀螺全站儀安置點子午線收斂角為γ0，儀器在該常數(shù)定向邊測得的陀螺方位角為αT0，設(shè)陀螺全站儀的儀器常數(shù)為Δ，則Δ=α0+γ0-αT0

(1)

(2)

如上式(2)可知，井下待測邊的坐標(biāo)方位角測定計算值，與常數(shù)定向邊及井下待測邊陀螺全站儀安置點的子午線收斂角差值有關(guān)，對于高精度的陀螺定向，必須考慮兩邊陀螺定向安置點子午線收斂角的差值影響，并探求相關(guān)影響規(guī)律[3]。

1.2 常用子午線收斂角計算公式分析

(1)赫里斯托夫七次項計算公式

(3)

(2)測量學(xué)近似公式

子午線收斂角的計算公式相當(dāng)于取式(3)的第一部分，即

γ=sinBl

(4)

(3)平面坐標(biāo)計算子午線收斂角

平面坐標(biāo)子午線計算公式其實是基于公式(3)的另一種形式，計算公式如下

(5)

(4)工程測量近似計算公式

工程測量近似計算公式其實是對式(5)僅取第一項的結(jié)果，計算公式如下:

(6)

(5)礦井常用子午線收斂角計算公式

γ=Ky

(7)

式中,γ為子午線收斂角，以分為單位；y為點的橫坐標(biāo)，km；K為系數(shù)，以縱坐標(biāo)x(以km計)為引數(shù)由表查取。

2 不同分帶投影下子午線常用收斂角計算殘差極值及對貫通定向影響分析

2.1 常用子午線收斂角計算公式殘差變化一般規(guī)律分析

由式(3)及式(4)可知，子午線收斂角計算可以使用點位的經(jīng)緯度，也可以使用點位的平面坐標(biāo)，而兩個公式是對等計算公式的兩種形式[4]；根據(jù)子午線收斂角的嚴(yán)密計算式(3)可知，子午線收斂角計算值是經(jīng)差l的奇函數(shù)，在中央經(jīng)線以東為正，在中央經(jīng)線以西為負(fù)，且在同一緯度上，經(jīng)差越大，子午線收斂角越大；同一子午線上，緯度越高，子午收斂角也越大[5]。式(3)的赫里斯托夫七次項計算公式計算的精度可達(dá)到0.001"，根據(jù)式(3)和簡易計算式(4)，得出子午線收斂角一般測量學(xué)計算公式的殘差A(yù)為：

(8)

由上式可知，在緯度既定的情況下，子午線收斂角測量學(xué)計算公式較嚴(yán)密計算公式計算殘差隨著點位的經(jīng)差的增大而增大，具體考慮到高斯投影一般最大帶寬為6°帶以及必要的分帶控制點重合情況，選取最不利的經(jīng)差為l=3.5°為區(qū)間，使用MATLAB軟件程序，圖示化子午線收斂角測量學(xué)計算公式殘差分布情況，如下圖2所示。

圖2 簡易計算公式子午線收斂角計算殘差

由上圖可知，當(dāng)點位緯度一定時，子午線收斂角計算殘差隨著點位離分帶中央經(jīng)線的經(jīng)差的增大而增大，并且殘差變化越來越劇烈；當(dāng)點位經(jīng)度一定時，子午線收斂角計算殘差隨著緯度的增大先增大后變小，在中緯度地區(qū)殘差值達(dá)到最大，并且隨著經(jīng)度的增大，這種殘差影響值越來越不可忽略不計。

2.2 6°帶子午線收斂角計算殘差最大值及影響分析

由赫里斯托夫七次項與簡易公式差值式(8)的特性，結(jié)合圖2的相關(guān)結(jié)論，發(fā)現(xiàn)在高斯投影6°帶分帶投影中，簡易公式子午收斂角計算差值在經(jīng)差3.5°端點處取得最大值；取相應(yīng)經(jīng)差截面，得出子午線收斂角簡易計算公式計算殘差值變化情況如下圖3所示。

圖3 經(jīng)差為3.5°時簡易計算公式計算子午線收斂角殘差

由上圖3可知，在6°帶中，在取極限經(jīng)差3.5°的基礎(chǔ)上，當(dāng)緯度為35°時，簡易計算公式子午線收斂角計算殘差達(dá)到最大值6.092″；假設(shè)在實際工程運用中，考慮一個隧道區(qū)間相鄰兩開挖孔洞距離長度為4 km，橫向貫通誤差限差為100 mm，則此殘差引起的貫通定向橫向誤差為118.1 mm，簡易公式適用性極差；當(dāng)然目前分帶一般使用的是3°帶分帶，因此，對子午線收斂角計算殘差在3°帶中的極致研究更加重要[6]。

2.3 3°帶子午線收斂角計算殘差最大值及影響分析

由圖2可知，緯度既定的時候，子午線收斂角簡易計算公式的殘差隨著經(jīng)差增大而增大；在高斯投影3°帶分帶中，取極限經(jīng)差為1.75°，取相應(yīng)函數(shù)截面，最終此極限經(jīng)差條件下，子午線收斂角計算殘差值變化情況如下圖4所示。

圖4 經(jīng)差為1.75°時簡易計算公式計算子午線收斂角殘差

由上圖4可知，在3°帶分帶中，在取極限經(jīng)差1.75°的基礎(chǔ)上，當(dāng)緯度為35.4°時，簡易計算公式子午線收斂角計算殘差達(dá)到最大值0.760 9″；假設(shè)在實際工程運用中，考慮一個隧道區(qū)間相鄰兩開挖孔洞距離長度為4 km，橫向貫通誤差限差為100 mm，則此殘差引起的貫通定向橫向誤差為14.8 mm，按照控制邊影響1/3原則，簡易公式適用性好，說明在3°帶分帶中，從殘差絕對影響量方面，可以使用子午線收斂角測量學(xué)簡易計算式[7]。

2.4 子午線角簡易計算公式殘差相對影響量分析

這些簡易公式與子午線收斂角計算精度達(dá)到0.001"的赫里斯托夫七次項計算公式相比較，在3°帶分帶邊緣經(jīng)度1.75°、緯度35°處有最大差值為0.76"；且由式(8)赫里斯托夫余項A對簡易公式進(jìn)行相比，得到的相對影響量如下圖5所示。

圖5 子午線收斂角計算余項相對影響量

如圖5所示，在余量影響最大處，也僅僅只有104級，因此在3°帶分帶的任何一個區(qū)域，可以通過簡易公式進(jìn)行子午線收斂角變化規(guī)律及應(yīng)用研究。

3 局部地區(qū)子午線收斂角變化梯度規(guī)律分析及應(yīng)用

3.1 子午線收斂角變化梯度規(guī)律分析

在實際應(yīng)用中，有時候由于觀測條件限制，只能在陀螺定向邊某一端點進(jìn)行陀螺定向，而恰好此端點暫時沒有平面坐標(biāo)值(例如某些高精度GPS網(wǎng)點全部設(shè)置的是強(qiáng)制對中裝置，陀螺無法安置進(jìn)行儀器常數(shù)觀測，且暫時不可能立即測設(shè)新點坐標(biāo))；并且很多工程井下定向邊陀螺安置點位與地面儀器常數(shù)定向點距離較近，兩點間子午線收斂角的差值影響將會導(dǎo)致系統(tǒng)誤差傳入井下定向邊，因此有必要考慮點位相互之間的距離及方位在各個經(jīng)緯度位置對子午線收斂角的具體影響及規(guī)律[8]。

根據(jù)子午線收斂角簡易計算公式(4)，子午線收斂角值和經(jīng)緯度有關(guān)，根據(jù)方程梯度公式，子午線收斂角在經(jīng)緯度面的變化梯度為

(9)

我國領(lǐng)土最南部的南海南沙群島中的曾母暗沙，處于緯度北緯4°附近；最北方漠河以北黑龍江主航道的中心線為界限，處于緯度北緯53°附近。根據(jù)式(9)，同樣緯度的情況下，經(jīng)差越大，南北緯度方向影響量越大，因此在3°帶分帶邊緣l=1.5×3 600=5 400"前提下，設(shè)梯度分量比值

(10)

當(dāng)B=5°時，上式b=3.34，此時在緯度為5°的3°帶邊緣地帶，緯度變化對子午線收斂角的影響達(dá)到最大，約為經(jīng)度方向的1/3不到；在北緯15°以北地區(qū)，點位的子午線收斂角變化梯度在經(jīng)度方向影響量至少為緯度方向的10倍以上。

因此，由式(10)結(jié)果及上述結(jié)論得知，在我國大部分范圍內(nèi)，子午線收斂角變化總體上是東西經(jīng)度方向變化較南北緯度方向變化劇烈得多。

3.2 基于子午線收斂角變化規(guī)律的陀螺定向邊選取影響分析

聯(lián)系式(8)，運用MATLAB軟件，假設(shè)兩定向點Δx=0,且Δy為變量時，兩定向點的子午線收斂角差值如下表1所示。

根據(jù)子午線收斂角簡算公式，在用高斯投影的3°帶分帶內(nèi)，我國區(qū)域內(nèi)的子午線收斂角最大值約為1.2°。因此可以認(rèn)為在分帶投影區(qū)間內(nèi)各點坐標(biāo)xy南北、東西方向和經(jīng)緯度方向接近一致。

由表1及式(9)可知，在3°帶中各個既定緯度條件下，同等邊長的兩點之間的子午線收斂角差值與兩點所處經(jīng)度無關(guān)，兩點之間處于東西方向時，子午線收斂角差異較大[9]。以徐州所處北緯35°為例，在東西100 m長的邊上子午線收斂角差值達(dá)到2.26"，在500 m長的邊上差值達(dá)到11.28"。使用5"～10"的陀螺全站儀定向時，不能忽略兩點因東西方向距離較大引起的此子午線收斂角差值。

當(dāng)兩定向點為變量時，兩定向點收斂角差值如下表2所示。

由表2可知，當(dāng)兩定向點位于南北方向時，兩點之間的子午線收斂角差值比較小。以實際工程為例，儀器常數(shù)定向點和井下點距離一般都在500 m以內(nèi)，此南北方向的距離引起的子午線收斂角差值最大為0.42"；在徐州地區(qū)，南北方向500 m的距離子午線收斂角差值也只有0.35"，對于高精度儀器及方案設(shè)計施工的影響可以忽略不計。

表1 Δx=0,且Δy為變量時，子午線收斂角差值/"

表2 Δy=0,且Δx為變量時，子午線收斂角差值/"

3.3 基于子午線收斂角變化規(guī)律的貫通定向邊布設(shè)可靠性應(yīng)用分析

3.3.1 境內(nèi)煤炭學(xué)子午線收斂角簡算公式可靠性應(yīng)用分析

因此在實際運用中，一般對于煤礦常用的子午線收斂角差值計算式δγ=32.23tanB(y0-y)，根據(jù)式(10)及相關(guān)結(jié)論，在國內(nèi)范圍內(nèi)陀螺定向邊進(jìn)行陀螺定向時，一般緯度變化引起的子午線收斂角變化介于經(jīng)度變化引起的子午線收斂角變化的1/39～1/3；對于我國境內(nèi)而言，煤炭資源幾乎都分布在中緯度以上，此時，緯度變化引起的子午線收斂角變化相對經(jīng)度來說都小于1/10；考慮到現(xiàn)行的礦井貫通及后續(xù)控制定向中，一般使用的都是5"～10"陀螺全站儀，聯(lián)系2.4結(jié)論，簡易公式計算殘差不到1"，煤礦常用子午線收斂角計算中緯度影響導(dǎo)致的二次殘差不到0.11"。因此，針對現(xiàn)行國家通用的2000坐標(biāo)系下的3°帶高斯投影中，我國國內(nèi)煤礦常用子午線收斂角計算公式精度能完全保障煤礦貫通及定向控制測量中高精度要求，并且聯(lián)系2.4及3.1相關(guān)結(jié)論，可以作出嚴(yán)格殘差評定的結(jié)果要求。

3.3.2 子午線收斂角變化規(guī)律在軌道交通定向邊布設(shè)應(yīng)用分析

所以針對煤礦常用的平面坐標(biāo)子午線收斂角差值計算方法，大部分時候，尤其在中緯度及以上區(qū)域，從絕對及相對精度上來說，都是極其適用的。在實際工程中，要充分考慮儀器常數(shù)定向邊及井下定向點的距離及方位關(guān)系；當(dāng)井上下點距離在500 m范圍內(nèi)時，點位相對位置在近似南北方向時，可以忽略子午線收斂角差值，其他情況下必須要分別計算；另外，城市軌道交通貫通定向中，在4 km的區(qū)間段，橫向貫通限差為10 mm，根據(jù)2.3結(jié)論，也可以在一般的3°帶任意處使用簡易計算公式進(jìn)行子午線收斂角或者是子午線收斂角差值計算;并針對子午線收斂角變化梯度規(guī)律，設(shè)計具有相應(yīng)方向和位置的控制邊及定向邊，聯(lián)立高精度測量機(jī)器人及巷道內(nèi)雙向貫通的交叉導(dǎo)線同時進(jìn)行高精度二次控制測量，滿足貫通定向面的橫向精度要求。而目前，在一些城市地鐵建設(shè)中，使用的一般是獨立坐標(biāo)系，點的平面坐標(biāo)短時間難以獲得，因此可以通過手機(jī)GPS軟件進(jìn)行GPS定位獲取大地坐標(biāo)并使用簡易公式進(jìn)行子午線收斂角計算，使用大地坐標(biāo)簡易計算公式時，在3°帶邊緣地區(qū)，計算最大誤差僅僅也只有0.48"。可以使用手機(jī)中的GPS工具箱軟件，經(jīng)緯度定位都在亞秒級，平面20 m以下，根據(jù)式(9)梯度公式，考慮計算公式誤差，最后反映在子午線收斂角的計算精度也肯定在1"以內(nèi)。但此類坐標(biāo)方位角是基于84橢球計算的，后期需要通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換將結(jié)果轉(zhuǎn)換到待使用坐標(biāo)系中[10]。

4 結(jié) 論

(1)本文將測量學(xué)常用子午線收斂角計算公式與赫里斯托夫七次項嚴(yán)密計算公式進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)殘差相對影響量只有10-4量級；但是在6°帶分帶，尤其是緯度35°邊緣投影處，因為簡易公式殘差帶來的子午線收斂角計算誤差達(dá)到最大，數(shù)值達(dá)到6.092″，在4 km貫通隧道上的影響達(dá)到了118.1 mm，誤差很大；而在3°帶分帶，尤其是緯度35.4°邊緣投影處，因為簡易公式殘差帶來的子午線收斂角計算誤差達(dá)到最大，數(shù)值達(dá)到0.760 9″，在4 km貫通隧道上的影響達(dá)到了14.8 mm，相對100 mm的貫通誤差要求幾乎可以忽略不計；

(2)本文基于經(jīng)緯度方向，進(jìn)行了子午線收斂角變化梯度計算分析，對比發(fā)現(xiàn)在國內(nèi)范圍內(nèi)，從南到北區(qū)域里，基于某區(qū)域內(nèi)陀螺定向的定向點的子午線收斂角變化差值都集中在經(jīng)緯度，也就是大致東西方向；而緯度變化導(dǎo)致的子午線收斂角變化較經(jīng)度來說只有1/39～1/3，在緯度15°以上區(qū)域，就已經(jīng)達(dá)到了1/10；考慮到地面及地下控制邊，有時候因為一些強(qiáng)制對中點存在無法安置陀螺全站儀，其他點可以參考此次研究成果，聯(lián)系定向點之間相互距離及方向，設(shè)計控制及定向邊，應(yīng)用此次具體研究的子午線收斂角變化規(guī)律。