基于四元數(shù)理論的2UPS-PU并聯(lián)機構位置反解

曹建平，孫文柱,王海東，任 劍

(海軍航空大學,山東 青島 266041)

0 引言

并聯(lián)機構位置反解是進行并聯(lián)機構運動學分析的第一步。所謂位置反解是已知末端動平臺的位置和姿態(tài)反過來求取驅動元件的參數(shù)的過程。目前關于并聯(lián)機構位置反解的研究主要有矢量法[1]、旋轉換矩陣[2]和旋量[3]等方法。這些方法都可以歸結為基于幾何的矢量分析，當機構結構復雜時求解繁瑣且容易出錯。

本文將四元數(shù)理論引入到并聯(lián)機構位置反解分析中，利用純四元數(shù)表示矢量位置，單位四元數(shù)表示矢量的旋轉和方位，從而將并聯(lián)機構位置反解的問題轉化為代數(shù)推導，以2UPS-PU并聯(lián)機構為例闡述了計算過程，并結合MATLAB和SolidWorks仿真來驗證仿真算例。

1 四元數(shù)及其在剛體方位描述的應用

四元數(shù)[4]是復數(shù)的推廣，最早由愛爾蘭數(shù)學家哈密爾頓提出。設i、j、k符號滿足下列乘法關系：

i2=j2=k2=-1

(1)

ijk=-1

(2)

則四元數(shù)q可定義為

q=a+bi+cj+dk

(3)

其中a、b、c、d為實數(shù)，q的共軛四元數(shù)為

(4)

當a=0時稱為純四元數(shù)，此時滿足：

q=bi+cj+dk

(5)

可知純四元數(shù)與R3空間點一一對應，同時與三維矢量一一對應，因而可用純四元數(shù)來表示矢量的加、減、點乘、叉乘等運算。

當四元數(shù)各參數(shù)滿足：

a2+b2+c2+d2=1

(6)

此時四元數(shù)q稱為單位四元數(shù)，也可以表示為

q=cosθ+sinθ(cosαi+cosβj+cosγk)

(7)

R3空間矢量的旋轉可以利用單位四元數(shù)q表示。設矢量v1=(x1,y1,z1)′和v2=(x2,y2,z2)′，v2是v1旋轉得到的。在三維空間內描述矢量旋轉需要給出旋轉軸的方位和旋轉的角度，如圖1所示。

圖1 矢量繞軸旋轉

其幾何意義是：v1繞軸I旋轉θ得到v2，那么已知旋轉軸I的方向余弦I=(cosα,cosβ,cosγ)和旋轉的角度θ即求得v2。這個過程可用四元數(shù)進行運算得到，首先利用純四元數(shù)表示2個矢量：

qv1=x1i+y1j+z1k

(8)

qv2=x2i+y2j+z2k

(9)

則可得[4]

(10)

其中qR為單位四元數(shù)，可表示為

(11)

將qR稱為對應旋轉操作的旋轉四元數(shù)。

2 機構描述

基于以上分析，純四元數(shù)與單位四元數(shù)組合可用于建立并聯(lián)機構的運動方程，從而避免了繁瑣復雜的幾何推導，以圖2所示的2UPS-UP并聯(lián)機構為例說明。2UPS-UP并聯(lián)機構是一種兩轉一移三自由度并聯(lián)機器人常采用的構型，在Tricept機器人[5]、四足步行機器人[6]和三自由度并聯(lián)搖擺臺[7]等領域應用廣泛。該并聯(lián)機構包括動平臺B1B2B3和靜平臺A1A2A3，動平臺B1B2B3通過2個結構完全相同的無約束UPS支鏈和1個恰約束PU支鏈相連，3個支鏈中的移動副作為主動件。該并聯(lián)機構存在以下幾何關系：3條支鏈AiBi(i=1,2,3)與動平臺B1B2B3和固定平臺A1A2A3的連接點Bi(i=1,2,3)、Ai(i=1,2,3)呈等腰直角三角形分布，其中B1B2B3的直角邊邊長為e，A1A2A3的直角邊邊長為f；PU支鏈一端通過萬向鉸B3與動平臺B1B2B3相連接，另一端與固定平臺A1A2A3固定連接，PU支鏈與其在靜平臺上的投影的夾角為φ，而投影與固定平臺A1A2A3直角邊夾角為45°。設3條支鏈的長度分別為l1、l2和l3，并分別在靜平臺和動平臺上建立A1-XYZ和B1-UVW直角坐標系。

圖2 2UPS-UP并聯(lián)機構簡圖

3 基于四元數(shù)的機構位置求解

設A1-XYZ的3個正交基矢量集為Γ1={u1,v1,w1}，利用純四元數(shù)分別表示為

(12)

則在Γ1下，靜平臺的3個連接點A1、A2和A3可用純四元數(shù)表示為

(13)

動平臺相對于靜平臺具有2個轉動自由度，首先以X軸為轉動軸逆時針旋轉α，則對應旋轉四元數(shù)為

(14)

在qR1作用下，正交基矢量集Γ1轉換為Γ2={u2,v2,w2}，將式(14)代入式(10)中，Γ2可用四元數(shù)分別表示為

(15)

接著以Y軸為轉動軸逆時針旋轉β，則對應的旋轉四元數(shù)為

(16)

在qR2作用下，正交基矢量集Γ2轉換為Γ3={u3,v3,w3}，將式(16)代入式(10)中，利用四元數(shù)分別表示為

(17)

(18)

(19)

則動平臺的3個連接點B1、B2、B3可用四元數(shù)表示為

(20)

則支鏈L1、L2和L3可用四元數(shù)表示為

(21)

將式(13)、式(18)、式(19)和式(20)代入式(21)，可得

基于以上推導可完成2UPS-PU并聯(lián)機構的運動位置反解，即已知執(zhí)行平臺的位置和方位計算動力元件參數(shù)。在2UPS-PU并聯(lián)機構中，動平臺有3個自由度，以動平臺B1為基準點，設其距靜平臺垂直高度為h，用上文提到的α和β表征動平臺的方位，則2UPS-PU并聯(lián)機構3條動力支鏈的長度l1、l2和l3可表示為

(23)

將式(22)代入式(23)后可得

(24)

式(24)即為2UPS-PU并聯(lián)機構的反解方程。

4 仿真算例驗證

(25)

將h、α和β分別代入式(24)中，利用MATLAB仿真，設置步長為0.1，可得到l1、l2和l3的變化規(guī)律如圖3所示。

利用SolidWorks建模，給出2UPS-PU并聯(lián)機構的CAD三維模型，并利用Motion插件進行運動仿真，如圖4所示。將反解得出的l1、l2和l3分別作為圖4所示直線馬達1、直線馬達2和直線馬達3的運動輸入?yún)?shù)，仿真時間為32 s，并設置動平臺的中心記錄其運動路徑并保存為計算結果。

圖3 并聯(lián)機構算例的位置反解結果

圖4 并聯(lián)機構的CAD三維模型及驅動

圖5給出了并聯(lián)機構在第1秒、第3秒、第6秒和第10秒的仿真運動可視化結果，10 s后動平臺進行周期性運動。圖5d給出了第10秒中心點的完整運動軌跡圖。

圖5 SolidWorks軟件的仿真可視化結果

將圖5所示的中心運動軌跡的數(shù)值結果從SolidWorks中取出，為進行對比每隔5個數(shù)進行平均篩選，并在MATLAB中繪出，得到的仿真軌跡結果如圖6所示。

分析如圖2所示的動平臺中心點的理論運動軌跡，動平臺中心點O位于動平臺B1B2B3的斜邊中點上，則其位置可用純四元數(shù)表達為

(26)

代入式(17)～式(20)后，可得

(27)

在坐標系Γ1下，可表示為

(28)

將式(25)及相關的結構參數(shù)代入到式(28)中，設置步長為0.1，可得到中心點O的理論軌跡如圖6實線所示的理論軌跡結果。

圖6 動平臺中心的理論軌跡與仿真軌跡對比

由圖6可知，該方法的理論結果與仿真結果一致，從而說明了基于四元數(shù)理論的2UPS-PU并聯(lián)機構的位置反解方法的正確性和有效性。

5 結束語

將四元數(shù)理論用于2UPS-PU并聯(lián)機構位置反解，從應用過程得出以下結論：

a.利用四元數(shù)理論推導得出2UPS-PU并聯(lián)機構位置反解方程，相對于傳統(tǒng)幾何方法，該方法直觀易于理解。

b.利用MATLAB和SolidWorks Motion驗證了結果的正確性。

c.該方法具有一般性，可推廣至其他任意并聯(lián)機構。