考慮快慢車模式的地鐵地下線縱斷面優(yōu)化研究

孫元廣，汪 茜，彭 磊，齊嫣然，柏 赟*

(1.廣州地鐵設(shè)計(jì)研究院股份有限公司，廣州510699；2.北京交通大學(xué)綜合交通運(yùn)輸大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)交通運(yùn)輸行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100044)

0 引 言

地鐵線路縱斷面設(shè)計(jì)主要是指坡段的設(shè)計(jì)，直接影響線路建設(shè)成本和列車運(yùn)營成本[1].目前，對(duì)地鐵縱斷面方案的優(yōu)化研究主要分為區(qū)間與全線的縱斷面優(yōu)化.前者在固定地鐵某區(qū)間兩端車站水平位置與高程的條件下，對(duì)區(qū)間的坡段設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化[2-7]；后者是在線路起終點(diǎn)固定后，考慮中間車站高程的變化對(duì)全線坡段設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化[8-9].

區(qū)間縱斷面的優(yōu)化研究較為成熟.Hoang[2]等結(jié)合列車操縱提出6種典型的縱斷面設(shè)計(jì)方案，并設(shè)計(jì)算法對(duì)坡度參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu).Lafortune[3]等開發(fā)了一種交互式地鐵線路設(shè)計(jì)系統(tǒng)，輔助縱斷面方案設(shè)計(jì)以降低列車牽引能耗.Duarte[4]等設(shè)計(jì)了一種梯度恢復(fù)算法，以最小化列車牽引能耗為目標(biāo)生成地鐵站間的最優(yōu)縱斷面線型.余路[6]以降低建設(shè)和列車運(yùn)營成本為目標(biāo)，利用遺傳算法優(yōu)化地鐵區(qū)間縱斷面方案.白驍[7]構(gòu)建以列車雙方向牽引能耗最小為目標(biāo)的區(qū)間縱斷面設(shè)計(jì)優(yōu)化模型，采用遺傳算法求解.

相較于區(qū)間縱斷面優(yōu)化，全線縱斷面優(yōu)化需要考慮中間車站高程變化.Lai[8]等構(gòu)建了以建設(shè)成本、用戶成本和運(yùn)營成本最小為目標(biāo)的模型，用切平面法優(yōu)化地鐵平縱斷面方案和車站高程.Li[9]等采用距離變換算法優(yōu)化軌道交通平縱斷面方案和車站高程.

上述研究均未考慮列車停站方案對(duì)地鐵縱斷面設(shè)計(jì)的影響.由于快、慢車運(yùn)行軌跡不同，其節(jié)能坡設(shè)置也有所區(qū)別.因此，有必要對(duì)快慢車組合運(yùn)營線路構(gòu)建縱斷面優(yōu)化模型，求解使建設(shè)成本與列車運(yùn)營成本最低的縱斷面方案.

1 問題描述

地鐵地下線一般采用盾構(gòu)法施工，軌道埋深對(duì)于盾構(gòu)機(jī)挖掘成本和處理廢土成本的影響極小[10].但地下線每隔一段距離需要設(shè)置風(fēng)井，其建設(shè)成本取決于軌道埋深[11]，故風(fēng)井建設(shè)成本為本文優(yōu)化目標(biāo)之一.線路縱斷面方案對(duì)列車運(yùn)行能耗有較大影響[12]，對(duì)于快慢車線路而言，線路上運(yùn)營多種停站方案的列車，同時(shí)考慮所有列車的總能耗并乘以電費(fèi)單價(jià)將其轉(zhuǎn)換為金錢成本，作為本文另一優(yōu)化目標(biāo).

進(jìn)行縱斷面設(shè)計(jì)時(shí)，線路起終點(diǎn)位置(起點(diǎn)車站H1和終點(diǎn)車站HM)和平面信息均為已知，車站數(shù)量(M)、風(fēng)井?dāng)?shù)量和面積通常也已確定.本文通過調(diào)整中間站高程(站中心軌道高程)和各區(qū)間變坡點(diǎn)的數(shù)量與位置，使建設(shè)與運(yùn)營成本之和最小.縱斷面方案如圖1所示，中間站高程用表示，m表示車站序號(hào)；各區(qū)間變坡點(diǎn)的水平位置與高程以坐標(biāo)形式給出，即其中，j表示區(qū)間的序號(hào)，k表示變坡點(diǎn)的序號(hào)，K表示該區(qū)間的變坡點(diǎn)的總數(shù)量.

圖1 線路縱斷面示意圖Fig.1 Schematic diagram of track vertical alignment

縱斷面設(shè)計(jì)需考慮的約束主要有兩類：第一類是《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB50157-2013)[13]中明確要求的最大縱坡、最小坡長、最小夾直線長度等；第二類為中間站及區(qū)間某些地段的控制高程約束，如避讓地質(zhì)不良或管道經(jīng)過區(qū)域，最小埋深約束.列車運(yùn)行需考慮限速和停站約束等.

綜上所述，針對(duì)快慢車模式地鐵地下線提出縱斷面優(yōu)化模型，在已知線路起終點(diǎn)三維位置和平面方案的條件下，考慮設(shè)計(jì)規(guī)范約束和施工條件，通過改變區(qū)間各變坡點(diǎn)的位置和中間站高程，得到以風(fēng)井建設(shè)成本和所有列車能耗成本總和最小的縱斷面方案.

2 模型構(gòu)建

本文考慮最為常見情景，做出如下假設(shè)：

(1)線路平面方案在縱斷面設(shè)計(jì)之前已確定，中間站與風(fēng)井的數(shù)量和水平位置，以及風(fēng)井面積作為已知參數(shù).

(2)列車采用“牽引—巡航—制動(dòng)”的操縱策略運(yùn)行，巡航速度等于允許速度減去設(shè)定的速度裕量；列車若在運(yùn)行途中遇到低限速區(qū)段，將采用“牽引—巡航—(制動(dòng)—巡航—牽引—巡航)—制動(dòng)”的操縱策略，其中，括號(hào)內(nèi)的工況序列出現(xiàn)次數(shù)決定于低限速區(qū)段的數(shù)量.

(3)因再生制動(dòng)能的利用受時(shí)刻表等多方面因素影響，能耗計(jì)算不考慮再生制動(dòng).

2.1 優(yōu)化目標(biāo)

模型目標(biāo)CO[(X,Y),H]是風(fēng)井建設(shè)成本CF[(X,Y),H]和列車運(yùn)行能耗成本CE[(X,Y),H]之和最小.風(fēng)井建設(shè)成本屬于一次性投入，而列車運(yùn)行能耗則隨時(shí)間增加而增大.本文用資本回收系數(shù)Δ將風(fēng)井總建設(shè)成本轉(zhuǎn)化為單位年的建設(shè)成本[9]，再與年能耗成本相加，得到目標(biāo)函數(shù)，即

式中：b為年利率(%)；l為地鐵生命周期(年).

風(fēng)井建設(shè)成本與其數(shù)量、建設(shè)面積與埋深有關(guān)，前兩者為已知參量，風(fēng)井建設(shè)成本主要取決于其埋深，即地面高程與風(fēng)井高程之差.風(fēng)井高程等于同里程的軌道高程，地面高程可通過勘察得到.風(fēng)井成本計(jì)算公式為

式中：i為風(fēng)井的序號(hào)；為第i個(gè)風(fēng)井的建設(shè)單價(jià)(萬元/m2)，取決于其埋深Mi；Ai為風(fēng)井i的面積(m2)；N為風(fēng)井?dāng)?shù)量.

能耗成本等于所有列車雙方向運(yùn)行能耗之和乘以單價(jià)，即

式中：R為列車停站方案數(shù)量；nr為1 d 內(nèi)停站方案為r的運(yùn)行列次；為停站方案為r的列車雙方向運(yùn)行能耗(kw·h)；P為地鐵電費(fèi)單價(jià)(元/kw·h).

列車運(yùn)行過程中可能受牽引力F、阻力W和制動(dòng)力B作用，三者均取決于列車速度.計(jì)算得到t時(shí)刻的列車合力Ct后，根據(jù)牛頓第二定律可計(jì)算列車加速度at、速度vt、位置St和能耗Et[12]，計(jì)算公式為

式中：γ表示旋轉(zhuǎn)質(zhì)量系數(shù)；Δt為時(shí)間步長(min)；vt和vt+1分別為第t和t+1時(shí)刻的列車速度(km/h)；St為列車在t時(shí)刻的位置(m)；Ut表示t時(shí)刻的瞬時(shí)網(wǎng)壓；I(vt)表示速度為vt時(shí)列車的牽引電流；I0表示輔助設(shè)備電流.

2.2 約束條件

(1)《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》約束.

①車站坡的坡度和坡長.

車站區(qū)域坡道的坡度值應(yīng)服從設(shè)計(jì)規(guī)范要求從集合NS中選取，車站區(qū)域坡道坡長不應(yīng)小于站臺(tái)長度LS[13]，即

式中：NS表示坡度集合，為{-3‰,-2‰,0‰,2‰,3‰}.

②非車站區(qū)域坡道的坡度和坡長.

任意坡道的坡長不宜小于遠(yuǎn)期列車長度LT，坡度的絕對(duì)值不小于且不大于，即

式中：和分別表示《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB50157-2013)規(guī)定的非車站區(qū)域坡道的坡度值絕對(duì)值的最小值與最大值.

③最小夾直線長度.

當(dāng)相鄰坡道坡度差超過2‰時(shí)，需設(shè)置豎曲線來減緩列車運(yùn)行時(shí)的振動(dòng)幅度.為避免振動(dòng)疊加，兩豎曲線間的夾直線長度不小于夾直線長度等于相鄰變坡點(diǎn)之間橫坐標(biāo)之差再減去兩端豎曲線的切線長Tq(Tq取決于相鄰坡道的坡度差和豎曲線半徑Rc，計(jì)算方法可查閱文獻(xiàn)[14])，即

(2)控制高程約束.

①車站高程.

由于施工條件與工程造價(jià)限制，車站高程值Hm應(yīng)在一定范圍內(nèi)，即

②控制高程.

地下線路施工時(shí)通常需避開一些高程區(qū)域，如管線經(jīng)過的區(qū)域和地質(zhì)條件達(dá)不到施工要求的區(qū)域.因此，在同一里程z下，縱斷面經(jīng)過的高程點(diǎn)與控制高程區(qū)域內(nèi)的任意滿足Xh=z控制點(diǎn)h高程值Yh須大于一定的間隔ε，即

③風(fēng)井埋深.

考慮施工要求，風(fēng)井的埋深須大于最小埋深δ，即

(3)列車運(yùn)行限速約束.

①區(qū)間限速.

式中：Tf表示列車總的運(yùn)行時(shí)分；Rt表示t時(shí)刻列車所處位置處的曲線半徑(m).

②車站區(qū)域限速.

停站方案為r的列車，其停站和越行站集合分別表示為和.停站時(shí)，列車在站中心的速度為0；在越行車站，列車在車站區(qū)域的限速為

式中：s和p表示車站的序號(hào)；表示停站方案為r的列車在車站s的速度；表示停站方案為r的列車在車站p的速度.

3 求解算法

本文模型約束條件多且解空間較大，設(shè)計(jì)一種雙層啟發(fā)式算法進(jìn)行求解，上層采用模擬退火算法求解車站高程方案，下層運(yùn)用遺傳算法對(duì)區(qū)間變坡點(diǎn)的位置進(jìn)行優(yōu)化，具體流程如下.

Step 1設(shè)置模擬退火算法參數(shù)，如初始溫度T0，冷卻系數(shù)ρ，結(jié)束溫度TN.

Step 2針對(duì)中間車站高程，考慮約束條件隨機(jī)生成一組初始方案，即H0=

Step 3求解給定中間站高程下各區(qū)間最優(yōu)變坡點(diǎn)方案，并計(jì)算綜合成本C，過程如下：

①設(shè)定遺傳算法種群大小PM，進(jìn)化代數(shù)G，交叉概率Pc，變異概率Pm.

②通過對(duì)各區(qū)間變坡點(diǎn)橫縱坐標(biāo)進(jìn)行間接編碼，隨機(jī)產(chǎn)生個(gè)體均滿足約束的初始種群.

③計(jì)算種群各個(gè)體的適應(yīng)度f，即目標(biāo)函數(shù)值的倒數(shù).

④利用輪盤賭方式選擇群體中的兩個(gè)個(gè)體.

⑤對(duì)個(gè)體進(jìn)行交叉(兩點(diǎn)交叉)與變異(單點(diǎn)變異)操作，生成新個(gè)體.

⑥對(duì)新個(gè)體進(jìn)行適應(yīng)度評(píng)價(jià).如果優(yōu)于父代個(gè)體，則進(jìn)入下一代種群；否則，以Boltzmann 準(zhǔn)則[15]接受子代.

⑦達(dá)到最大迭代次數(shù)后，輸出當(dāng)代群體的最優(yōu)解.

Step 4隨機(jī)生成一組滿足約束的新解H0′，并計(jì)算其對(duì)應(yīng)的變坡點(diǎn)方案和綜合成本.

Step 5計(jì)算相鄰兩代解的綜合成本差值ΔC=C(H0-H0′).若ΔC＞0，則子代被接受的概率為若ΔC＜0，則接受新解.

Step 6更新溫度值，Tk+1=ρTk.

Step 7若當(dāng)前溫度Tk達(dá)到結(jié)束溫度TN，輸出最優(yōu)方案；否則，k=k+1，返回Step 4.

4 案例分析

選取廣州地鐵14號(hào)線嘉禾望崗站—新和站區(qū)間，長度29.89 km，設(shè)有嘉禾望崗、東平、夏良、太和、竹料、鐘落潭、黎家塘、新和共8個(gè)車站.列車為四動(dòng)兩拖B型車，動(dòng)車與拖車質(zhì)量分別為52.5 t和44.5 t，長度120 m.9～15 m、15～21 m、21 m以上的風(fēng)井單位平方米建設(shè)成本分別為2萬元、3萬元和4萬元，其他參數(shù)如表1所示.

表1 模型基礎(chǔ)參數(shù)Table1 Basic parameter of proposed model

為驗(yàn)證模型有效性，本文對(duì)比分析實(shí)際方案與分別考慮快慢車和站站停得到的優(yōu)化方案.快慢車模式下：快車僅在嘉禾望崗站和新和站停車，日開行82 對(duì)；慢車采用站站停模式，日開行83 對(duì).在站站停模式下，每日開行165 對(duì)列車.由于缺少竹料站至新和站的平面方案，為保證可比性，本案例僅優(yōu)化嘉禾望崗至竹料的縱斷面方案.換言之，3種方案在竹料站至新和站采用相同的縱斷面.

3種縱斷面方案如圖2所示.原始方案和兩種優(yōu)化方案的線路長度分別為16 940.000 39，16 940.000 47，16 940.000 51 m.土建成本按7.5萬元/延米計(jì)算[10]，3種方案施工成本差異可忽略.站站停模式下，縱斷面優(yōu)化方案采用“高站位、低區(qū)間”的節(jié)能坡設(shè)計(jì)，因僅考慮站站停列車，車站兩端的加減速坡更加陡峭，為列車出站牽引提供更大動(dòng)力.考慮快慢車模式的縱斷面方案由于考慮了快車能耗，東平和夏良站高程較站站停方案均有小幅下降，使整體縱斷面線型更加平緩，兼顧快車節(jié)能運(yùn)行規(guī)律.

圖2 不同方案縱斷面對(duì)比Fig.2 Comparison on different vertical alignments of subway track

不同縱斷面方案的全天雙方向列車能耗如表2所示.與原始方案相比，快慢車方案同時(shí)考慮快車和慢車的能耗，故快車能耗優(yōu)化率為2.72%，高于站站停模式的節(jié)能率1.52%；而慢車能耗的優(yōu)化率為2.49%，低于站站停方案的節(jié)能率2.53%.快慢車方案的總能耗優(yōu)化率為2.59%，優(yōu)于站站停模式的2.10%，說明考慮快慢車停站模式進(jìn)行縱斷面優(yōu)化的必要性.

不同方案的風(fēng)井埋深如表3所示.與實(shí)際方案相比，快慢車方案中大部分風(fēng)井埋深均有所減少，故總建設(shè)成本降低了36萬元.但快慢車方案中的4、8和16 風(fēng)井埋深均有所上升，且變化幅度與其他風(fēng)井相比較大.這是由于“高站位、低區(qū)間”的縱斷面更利于列車節(jié)能運(yùn)行，且能耗成本節(jié)約量比埋深增加的風(fēng)井成本量更大，因此這三處風(fēng)井的埋深有所增加.此外，由于站站停方案比快慢車方案更注重降低慢車的能耗，使區(qū)間縱斷面的高程進(jìn)一步降低，總的風(fēng)井建設(shè)成本較實(shí)際方案上升8萬元.

表2 不同縱斷面方案下的快慢車運(yùn)行能耗對(duì)比Table2 Comparison on energy consumption of train movement with different vertical alignments

表3 不同縱斷面方案下的風(fēng)井埋深Table3 Comparison on ventilation shaft depth with different vertical alignments

不同縱斷面方案下的風(fēng)井與能耗綜合成本如表4所示.本文模型的綜合成本最小，與原始方案相比總成本降低2.65%，高于站站停方案總成本節(jié)省率1.51%.

表4 不同縱斷面優(yōu)化方案下成本對(duì)比Table4 Cost comparison with different vertical alignments

5 結(jié) 論

本文考慮建設(shè)與運(yùn)營成本，構(gòu)建考慮快慢車模式的地鐵地下線縱斷面優(yōu)化模型，設(shè)計(jì)求解算法和相應(yīng)的案例驗(yàn)證其效果，主要結(jié)論為：相較于經(jīng)驗(yàn)豐富工程師設(shè)計(jì)的縱斷面方案，本文模型得到的縱斷面方案不僅能減少風(fēng)井建設(shè)成本，同時(shí)節(jié)約了所有列車的總能耗，可顯著降低線路建設(shè)與運(yùn)營的綜合成本；與僅考慮站站停模式的縱斷面優(yōu)化方案相比，考慮快慢車模式得到的縱斷面方案在節(jié)能與減少建設(shè)成本方面均表現(xiàn)更好，說明考慮停站模式和建設(shè)成本進(jìn)行縱斷面優(yōu)化的必要性.本文僅研究了地下線的縱斷面優(yōu)化，沒有考慮敷設(shè)方式變化對(duì)線路填挖方成本和路權(quán)成本的影響，后續(xù)將進(jìn)一步研究多種敷設(shè)方式下的地鐵線路縱斷面優(yōu)化問題.