讓直線和平面動(dòng)起來(lái)

劉桂饒

【摘 要】 證明立體幾何中的平行關(guān)系時(shí)，為了讓學(xué)生迅速找到目標(biāo)線和面，通過(guò)直尺平移直線實(shí)現(xiàn)突破，從而讓后續(xù)的推理論證變得直觀。

【關(guān)鍵詞】 直觀感知;位置關(guān)系;操作確認(rèn);線線平行;線面平行;平移

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)，是高中數(shù)學(xué)課程的六大核心素養(yǎng)之一。在立體幾何的教學(xué)中，我們應(yīng)該運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證等方法認(rèn)識(shí)和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念。

直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行（以下簡(jiǎn)稱線面平行的判定）。用符號(hào)表示為：若aα，bα，a ∥b，則a∥α。利用線面平行的判定定理判定線面平行時(shí)，在面α內(nèi)尋找與a平行的直線b是難點(diǎn)。

由兩個(gè)平面平行定義得：如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面（以下簡(jiǎn)稱面面平行的性質(zhì)）。用符號(hào)表示為：若α∥β，aα，則a∥β。利用面面平行的性質(zhì)判定線面平行時(shí)，找過(guò)直線a且與平面β平行的平面是難點(diǎn)。

如何突破這些難點(diǎn)，迅速解決相關(guān)問(wèn)題？請(qǐng)看下列幾個(gè)案例：

【案例1】如圖1，在四棱錐P-ABCD中，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，若ABCD是平行四邊形，求證：MN∥平面PAD。（江蘇出版社《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》必修2，第38頁(yè)）

分析方法1：

（1）利用線面平行的判定定理證明MN∥平面PAD，就是在平面PAD內(nèi)找到一條直線a與MN平行。

（2）猜想直線PA、PD、AD與MN平行？但它們與MN都異面。

（3）平面PAD內(nèi)哪條直線與MN平行？

（4）如圖2，嘗試用三角尺平移MN到面PAD內(nèi)：點(diǎn)M到點(diǎn)A;點(diǎn)N到PD上，設(shè)為E（直觀感知E為線段PD的中點(diǎn)）。

（5）由此本題可以取PD的中點(diǎn)E，通過(guò)證明AE ∥MN，從而證明MN∥平面PAD（證明略）。

分析方法2：

（1）利用面面平行的性質(zhì)證明MN∥平面PAD，就是要找到過(guò)直線MN且與平面PAD平行的平面。

（2）過(guò)直線MN且與平面PAD平行的平面是哪個(gè)平面？

（3）嘗試平移平面PAD到過(guò)直線MN。我們可以通過(guò)平移直線來(lái)實(shí)現(xiàn)。

（4）如圖3，平移直線AD到過(guò)點(diǎn)M，交CD于F（直觀感知F即為線段PD的中點(diǎn)）。相交直線MN、MF所確定的平面NMF即為所找平面。

（5）由此本題可以取CD的中點(diǎn)F，通過(guò)證明平面NMF∥平面PAD，從而證明MN∥平面PAD（證明略）。

【案例2】如圖4，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC。

（1）求證：D1C⊥AC1;

（2）試在棱DC上確定一點(diǎn)E，使D1E∥平面A1BD，并說(shuō)明理由。（2008年江蘇省高考考試說(shuō)明，典型題示例第51頁(yè)）

分析：

（1）利用線面平行的判定定理解本題時(shí)，發(fā)現(xiàn)無(wú)法平移D1E到平面A1BD內(nèi)，因?yàn)镈1E不確定，點(diǎn)E未知。如何解決？

（2）逆向思維，平面A1BD內(nèi)哪條直線與D1E平行？A1D？A1B？BD？分別平移A1D，A1B，BD到過(guò)點(diǎn)D1（D1E雖不確定，但其中點(diǎn)D1是已知的）。

（3）如圖5，平移A1D到過(guò)點(diǎn)D1時(shí)，與DC不相交;如圖6，平移BD到過(guò)點(diǎn)D1時(shí)，與DC也不相交;如圖7，平移A1B到過(guò)點(diǎn)D1時(shí)，與DC相交，其交點(diǎn)設(shè)為E。

（4）由作法知：A1D1∥AD，A1D1∥平面ABCD，所以A1D1平行于平面ABCD與平面A1D1EB的交線BE，從而四邊形ABED為平行四邊形，所以E為棱DC中點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)E為棱DC中點(diǎn)時(shí)，D1E∥平面A1BD。

（5）由此本題可以取棱DC的中點(diǎn)E，通過(guò)證明D1E∥A1B，從而證明MN∥平面PAD（證明略）。

【案例3】如圖8，已知有公共邊AB的兩個(gè)全等矩形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，P，Q分別是對(duì)角線AE，BD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)滿足什么條件時(shí)，PQ∥平面CBE？（江蘇出版社《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》必修2，第38頁(yè)）

分析方法1：

（1）利用線面平行的判定定理來(lái)確定P，Q兩點(diǎn)。

（2）顯然，EB、BC與PQ不平行，CE呢？（EB、BC均與PQ異面，三條直線中只可能是CE）

（3）如圖9，沿線段EA平移CE（AE與CE有交點(diǎn)），與EA、BD分別相交于P、Q。

（4）由作法知，A，Q，C是平面EAC和平面ABCD的公共點(diǎn)，所以A，Q，C三點(diǎn)共線。Q為AC，BD的交點(diǎn)，為BD的中點(diǎn)，此時(shí)P是AE的中點(diǎn)。所以當(dāng)P、Q分別是AE，BD的中點(diǎn)時(shí)，PQ∥平面CBE。（證明略）

分析方法2：

（1）利用面面平行的性質(zhì)來(lái)確定P，Q兩點(diǎn)：平移平面CBE。

（2）如圖10，在平面ABEF內(nèi)平移BE交AE于P，交AB于N;在平面ABCD內(nèi)平移BC，過(guò)N交BD于Q。

（3）由作法知：平面ABEF內(nèi)，有=;平面ABCD內(nèi)，=。又EA=BD，所以P，Q滿足EP=BQ時(shí)，PQ∥平面CBE。（證明略）

回顧與反思：

方法1和方法2中結(jié)論不同，方法1的結(jié)論僅是方法2中的一種特殊情況。那么方法1是不是只找到了一種特殊情況而漏掉了一般情況？讓我們回到方法1中接著分析：

（5）CE是面CBE內(nèi)很特殊的與PQ平行的直線，面CBE內(nèi)會(huì)不會(huì)還有其余直線與PQ平行呢？是怎樣的直線？

（6）讓我們平移PQ到平面CBE內(nèi)看看：點(diǎn)P到點(diǎn)E;點(diǎn)Q到直線BC上（不一定是點(diǎn)C）。

（7）如圖11，取線段BC除端點(diǎn)外任意一點(diǎn)M，連接EM。沿線段AE平移EM（AE與EM有交點(diǎn)），分別與AE、BD相交于點(diǎn)P、Q。

（8）由作法知：A，Q，M是平面EAM和平面ABCD的公共點(diǎn)，所以A，Q，M三點(diǎn)共線。平面EAM內(nèi)，=，平面ABCD內(nèi)，=，所以=，即EP=BQ。此時(shí)PQ∥平面CBE（證明略）。

（9）如圖12，M為線段BC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，連接EM。沿線段AE平移EM，分別與AE、BD相交于點(diǎn)P、Q。同樣，當(dāng)點(diǎn)P、Q滿足EP=BQ時(shí)，PQ∥平面CBE。

（10）如圖13，當(dāng)M為線段BC反向延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，連接EM，沿線段AE平移EM，發(fā)現(xiàn)EM與BD不相交（此時(shí)線段EA、線段EM，均在線段BD同側(cè)，沿線段AE平移線段EM時(shí)，是遠(yuǎn)離線段BD而去，故與線段BD不相交）。

綜合以上分析，方法1可以得到與方法2同樣的結(jié)論：當(dāng)P，Q滿足EP=BQ時(shí)，PQ∥平面CBE。（證明略）

在進(jìn)行復(fù)雜邏輯推理或者數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，我們可以運(yùn)用直觀想象來(lái)探尋邏輯推理或者數(shù)學(xué)運(yùn)算的方向，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。這樣的課堂能充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生積極參與其中，動(dòng)手操作，從實(shí)踐中猜想數(shù)學(xué)規(guī)律，進(jìn)而檢驗(yàn)猜想的真假，既活躍了數(shù)學(xué)課堂的氣氛，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又讓學(xué)生體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展了他們的創(chuàng)新意識(shí)，形成了數(shù)學(xué)直觀。