證明不等式的基本方法

張莉

【教材分析】

本節(jié)內(nèi)容是選修4-5第二講的內(nèi)容，是必修中不等式內(nèi)容的延續(xù)。證明不等式的常用方法有比較法、綜合法、分析法等。比較法是證明不等式的最重要方法，是解決不等式證明和解決與不等式有關(guān)的數(shù)學(xué)問題的重要方法之一。本節(jié)課以介紹比較法證明不等式為主。

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.知識(shí)與技能：理解和掌握比較法證明不等式的理論依據(jù)，能利用比較法證明不等式。

2.過程與方法：通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，培養(yǎng)對(duì)轉(zhuǎn)化思想的理解和應(yīng)用。

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過比較法的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性。能熟練運(yùn)用比較法來證明不等式。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

1.重點(diǎn)：理解和掌握比較法證明不等式的依據(jù)。

2.難點(diǎn)：比較法的熟練應(yīng)用。

【教學(xué)方法】

啟發(fā)引導(dǎo)式;應(yīng)用類比的教學(xué)法進(jìn)行比較式教學(xué)。

【教學(xué)過程】

一、趣味導(dǎo)學(xué)

民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值不應(yīng)小于百分之十，并且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好，若同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了還是變差了呢？請(qǐng)同學(xué)們思考回答。

（設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)際生活中的小問題引入新課，提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣）

二、基礎(chǔ)認(rèn)知

1.作差比較法

2.作商比較法

如果a、b都是正數(shù)，要證a>b，只需證>1;

如果a、b都是負(fù)數(shù)，要證a>b，只需<1。

比商法要注意使用條件，若>1，不能推出a>b。這里要注意a、b兩數(shù)的符號(hào)是同正還是同負(fù)。

（設(shè)計(jì)意圖：通過基礎(chǔ)認(rèn)知，明確作差比較法與作商比較法的理論依據(jù)）

三、典例剖析

說明：此題在證明過程中，采用了分組分解因式的方法，將差式變形為多個(gè)因式的積，然后由各個(gè)因式的正負(fù)得出因式乘積的正負(fù)，從而判斷差值正負(fù)。

小結(jié)：作差法步驟：作差—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論。

（設(shè)計(jì)意圖：通過例1的學(xué)習(xí)，掌握作差法的步驟，判斷符號(hào)是關(guān)鍵。通過適當(dāng)變形達(dá)到目的）

小結(jié)：（1）作商法適用于積、商、冪、對(duì)數(shù)、指數(shù)、根式形式的不等式證明。（2）步驟：作商—變形—判斷與比較—下結(jié)論。作商變形要將商式化到最簡。當(dāng)差式或商式中含有字母時(shí)，需要對(duì)字母的取值進(jìn)行分類討論。

（設(shè)計(jì)意圖：通過例2及變式訓(xùn)練掌握作商法的步驟、適用題型、注意事項(xiàng)。培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想）

四、鞏固提升

通過小組合作探究學(xué)習(xí)，分組展示不同解法。

目標(biāo)要求：（1）如何做;（2）哪種方法更適合;（3）你有什么收獲。

（設(shè)計(jì)意圖：通過小組合作、展示、教師點(diǎn)評(píng)等，深化學(xué)生對(duì)比較法的理解，并能靈活應(yīng)用比較法解決問題）

五、課堂小結(jié)

請(qǐng)大家回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，談一下自己的體會(huì)。

（設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生總結(jié)、教師歸納，形成完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，達(dá)到掌握通法、靈活應(yīng)用的教學(xué)目的）

六、課后作業(yè)

1.課本P23習(xí)題2.1的1，2，3，4題。

2.思考題：糖水加糖會(huì)變甜嗎？說明理由。

3.已知a>b>c，求證：a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2。

（設(shè)計(jì)意圖：課后作業(yè)分為基礎(chǔ)題與思考提升題目，滿足不同層次學(xué)生需求，在鞏固本節(jié)知識(shí)的基礎(chǔ)上提升能力）