無(wú)網(wǎng)格法求解分段連續(xù)型延遲偏微分方程

鐘霖 馬淑芳 萊蒙

摘 ?要： 考慮了一類(lèi)分段連續(xù)型延遲偏微分方程.首先分析了方程的解析解，給出了級(jí)數(shù)形式的解.其次采用無(wú)網(wǎng)格法求解了該類(lèi)方程的數(shù)值解.利用θ-加權(quán)有限差分法對(duì)方程的時(shí)間變量進(jìn)行離散，并利用Multiquadric（MQ）徑向基函數(shù)和配點(diǎn)法建立了全離散格式.采用傅里葉分析法給出了數(shù)值方法穩(wěn)定的條件.通過(guò)數(shù)值算例給出了方法的誤差及驗(yàn)證了方法的有效性.

關(guān)鍵詞： 分段連續(xù)型延遲偏微分方程; 無(wú)網(wǎng)格插值法; Multiquadric（MQ）徑向基函數(shù); 穩(wěn)定性

中圖分類(lèi)號(hào)： O 241 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A ? ?文章編號(hào)： 1000-5137（2020）04-0381-06

Abstract： We consider a class of delay partial differential equation with piecewise continuous arguments in this paper.First，we analyze the analytical solution of the equation and give the solution in the series form.Second，we solve the numerical solution of the equation by meshless interpolation method.The time variable of the equation is discretized by the θ-weighted finite difference method，and the full dispersion scheme is established by the multiquadric（MQ） radial basis function and the collocation method.Fourier analysis gives stability conditions of the numerical method.We also compute the errors and check the validity of the numerical method by concrete examples.

Key words： delay partial differential equation with piecewise continuous arguments; meshless interpolation method; multiquadric（MQ） radial basis function; stability

0 ?引 言

1977年，許多學(xué)者開(kāi)始了對(duì)分段連續(xù)型延遲微分方程的研究.MYSHKIS等[1-3]做了奠定性的基礎(chǔ)工作.該類(lèi)方程同時(shí)具有微分方程和差分方程的性質(zhì)，與自動(dòng)控制類(lèi)問(wèn)題是密不可分的，因此受到學(xué)者的高度重視.眾所周知，延遲微分方程的解析解是不易獲得的，因此，發(fā)展該類(lèi)方程數(shù)值解的研究是十分必要的.人們?cè)谠擃?lèi)方程數(shù)值解的穩(wěn)定性、收斂性的研究上已取得顯著成果.例如，YANG等[4]利用Runge-Kutta法給出了滯后型分段連續(xù)型微分方程數(shù)值解的穩(wěn)定性分析，確定了Runge-Kutta法的穩(wěn)定域，給出了在數(shù)值穩(wěn)定區(qū)域中包含解析穩(wěn)定域的條件.XIE等[5]利用θ-法求解了多維分段連續(xù)型延遲微分方程數(shù)值解的穩(wěn)定性.LIANG等[6]應(yīng)用Runge-Kutta法討論了復(fù)線性系統(tǒng)u'（t）=Lu（t）+Mu（[t]）的穩(wěn)定性.

3 ?結(jié) ?論

本文作者分析了一類(lèi)分段連續(xù)型延遲偏微分方程，該類(lèi)方程有微分方程和差分方程的性質(zhì)，其精確解不易獲得，因此發(fā)展該類(lèi)方程的解法是十分必要的.首先，給出了方程解析解的級(jí)數(shù)形式.然后，采用無(wú)網(wǎng)格法求解了該類(lèi)方程的數(shù)值解.采用傅里葉分析法給出了數(shù)值方法穩(wěn)定的條件.最后，給出數(shù)值算例驗(yàn)證了方法的有效性.

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（責(zé)任編輯：馮珍珍）