拋體運(yùn)動(dòng)的位移平行四邊形及其應(yīng)用

葉鈁舟

(樂(lè)清市知臨中學(xué) 浙江 溫州 325600)

拋體運(yùn)動(dòng)及類拋體運(yùn)動(dòng)，一般應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的分解法來(lái)求解比較常見(jiàn).以重力場(chǎng)中的拋體運(yùn)動(dòng)為例，常分解為沿水平方向(勻速直線運(yùn)動(dòng))和豎直方向(勻變速直線運(yùn)動(dòng))兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)；對(duì)在斜面上的拋體運(yùn)動(dòng)，也有沿斜面方向與垂直于斜面方向平方向進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的分解，得到兩個(gè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)，然后建立運(yùn)動(dòng)方程，進(jìn)行求解；在一些特定的問(wèn)題中，還可將其看成沿初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)與一個(gè)自由落體運(yùn)動(dòng)的合成.

對(duì)第三種分解方式，在一些特定的問(wèn)題中，可以形成一種“拋體運(yùn)動(dòng)的位移平行四邊形”，使問(wèn)題的求解變得相對(duì)簡(jiǎn)潔.

1 一般拋體運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的位移平行四邊形

圖1 拋體的位移平行四邊形

2 應(yīng)用拋體運(yùn)動(dòng)的位移平行四邊形解決問(wèn)題

【例1】(第35屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽第6題)田徑場(chǎng)上某同學(xué)將一鉛球以初速度v0拋出，該鉛球拋出點(diǎn)的高度為h，重力加速度大小為g.求：

(1)鉛球在田徑場(chǎng)上的落點(diǎn)與鉛球拋出點(diǎn)的最大水平距離；

(2)對(duì)應(yīng)的拋射角α.

圖2 鉛球運(yùn)動(dòng)的位移平行四邊形

過(guò)O點(diǎn)作OP⊥B1B，交B1B于P，由圖2可知x=2·OP，則△OBB1的面積為

(1)

而

代入式(1)兩邊，化簡(jiǎn)可得

顯然，當(dāng)α+β=90°時(shí)，最大水平距離為

(2)因∠BOB1=90°，故∠OBB1=α，則

(2)如果在足夠長(zhǎng)的斜面上A點(diǎn)以一定大小的初速度拋出一個(gè)小球，設(shè)落點(diǎn)最遠(yuǎn)在斜面上B點(diǎn)，過(guò)B作一水平線(看成一個(gè)水平地面)，則當(dāng)從A拋出小球落至該水平地面上，水平距離最遠(yuǎn)的必在B點(diǎn).這就說(shuō)明“斜面上拋射落點(diǎn)最遠(yuǎn)”與“鉛球落點(diǎn)最遠(yuǎn)”兩個(gè)問(wèn)題，都有初、末速度方向垂直的條件.

【例2】如圖3所示，一斜面體ABC兩斜面傾角分別為θ和φ，底邊AC水平，一質(zhì)點(diǎn)從傾角為θ的斜面底角處做斜上拋運(yùn)動(dòng).求為使質(zhì)點(diǎn)從斜面體的頂角處切過(guò)，并恰好落在傾角為φ的斜面底角處，則質(zhì)點(diǎn)的拋射角α與傾角θ，φ應(yīng)滿足什么關(guān)系？(用簡(jiǎn)單形式寫(xiě)出)

圖3 質(zhì)點(diǎn)斜拋經(jīng)過(guò)A，B，C

解析：如圖4所示，同時(shí)作出質(zhì)點(diǎn)從拋出點(diǎn)A到頂角處B的位移平行四邊形及由B到另一底角處C的位移平行四邊形，過(guò)B點(diǎn)作水平線交AE于H，交CF的延長(zhǎng)線于K，設(shè)B到底邊AC的高度為h,AM=x1,CM=x2.

圖4 兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的位移平行四邊形

由圖可知，從A運(yùn)動(dòng)到B，有

(1)

(2)

由式(1)和式(2)化簡(jiǎn)可得

2tanθ=tanα-tanβ

(3)

從B到C，由拋物線對(duì)稱性，易知過(guò)C處的速度方向也與水平方向成α角，且∠KBF=β，類似的有

(4)

(5)

由式(4)、(5)得

2tanφ=tanα+tanβ

(6)

由式(3)、(6)可得

tanθ+tanφ=tanα

這就是α,θ,φ應(yīng)滿足的關(guān)系的一種簡(jiǎn)單形式表示。

【例3】(全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽賽題)炮從掩蔽所下向外射擊，掩蔽所與水平面傾斜成角α，如圖5所示，炮位于離掩蔽所的地基(B點(diǎn))相距l(xiāng)的A點(diǎn)處，炮彈的初速度v0，炮彈飛行的軌道位于圖面上，求炮彈飛行的最遠(yuǎn)射程Lm.

圖5 原賽題附圖

解析：設(shè)以傾角θ發(fā)射炮彈時(shí)，軌跡恰好與掩蔽所相切，切點(diǎn)為P，位移平行四邊形如圖6所示.

圖6 A運(yùn)動(dòng)到P的位移平行四邊

設(shè)A到P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則

A到P與P到A對(duì)應(yīng)的水平分速度相等，即

vx=v0cosθ=v1cosα

(7)

AP對(duì)應(yīng)的水平分位移為

(8)

分析豎直速度變化可求得

(9)

則水平分位移也可表示為

(10)

將式(7)中的兩式分別代入式(10)，可得

(11)

由式(8)、(11)可得

(12)

得

討論：當(dāng)θ=45°時(shí)(對(duì)應(yīng)的α記為α0)，式(12)可化為

兩邊平方化簡(jiǎn)得

也就是說(shuō):

(1)當(dāng)α≥α0時(shí)，必能以傾角θ=45°方式發(fā)射炮彈，最遠(yuǎn)射程為

(2)當(dāng)α<α0時(shí)

3 結(jié)論與思考

拋體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題在涉及速度方向(如對(duì)應(yīng)于拋射角問(wèn)題)的討論中，應(yīng)用位移平行四邊形輔助進(jìn)行分析，提供了拋體運(yùn)動(dòng)的一種全新的幾何視角，并可將問(wèn)題適當(dāng)簡(jiǎn)化，比如將“鉛球最遠(yuǎn)射程”和“斜面上拋體的最遠(yuǎn)射程”兩種問(wèn)題，統(tǒng)一到“初、末速度相互垂直”的相同條件上，甚至對(duì)于某些“拋體的最小速度”問(wèn)題，也可統(tǒng)一到這個(gè)條件上來(lái).

拋體運(yùn)動(dòng)的位移平行四邊形在數(shù)學(xué)上與“拋物線的阿基米德三角形”有一定的聯(lián)系，比如“拋物線的焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)切線相互垂直”就與“斜面上拋體的最遠(yuǎn)射程對(duì)應(yīng)初末速度相互垂直條件”相對(duì)應(yīng)，因此，拋體的位移平行四邊形對(duì)數(shù)學(xué)中拋物線性質(zhì)的研究，也會(huì)有一定的輔助作用，這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理之間相互融合的關(guān)系.