計(jì)算思維為導(dǎo)向的離散數(shù)學(xué)教學(xué)模式研究

張艷群 鮑宇

摘要：離散數(shù)學(xué)作為計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)的理論基礎(chǔ)課程，為后續(xù)專業(yè)課提供數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和理論依據(jù)，在專業(yè)課程體系中有著重要地位和作用。針對(duì)離散數(shù)學(xué)概念多、公式多、理論性強(qiáng)等特點(diǎn)，將計(jì)算思維引入離散數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，用規(guī)范的數(shù)學(xué)方法將離散數(shù)學(xué)和專業(yè)應(yīng)用實(shí)例相結(jié)合，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬕蠛蜕鷦?dòng)的實(shí)例講解能切實(shí)提高課堂效果，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，更好地滿足新工科對(duì)畢業(yè)生的要求。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué);計(jì)算思維;計(jì)算機(jī)學(xué)科;新工科

我校離散數(shù)學(xué)在本科教學(xué)中，在第二學(xué)期初開(kāi)設(shè)，其先導(dǎo)課程為線性代數(shù)和高級(jí)語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)，課程開(kāi)設(shè)時(shí)學(xué)生專業(yè)知識(shí)基礎(chǔ)比較薄弱，對(duì)專業(yè)知識(shí)體系沒(méi)有足夠的認(rèn)識(shí)，因此學(xué)生很難理解離散數(shù)學(xué)在專業(yè)中的作用和地位，同時(shí)因?yàn)槠淅碚撔暂^強(qiáng)和內(nèi)容較為抽象的特點(diǎn)在實(shí)際教學(xué)開(kāi)展中，課堂教學(xué)效果一直不理想。

計(jì)算思維由美國(guó)卡內(nèi)基·梅隆大學(xué)周以真教授于2006年首次提出，計(jì)算思維是運(yùn)用計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)概念進(jìn)行問(wèn)題求解、系統(tǒng)設(shè)計(jì)以及人類行為理解等涵蓋計(jì)算機(jī)科學(xué)之廣度的一系列思維活動(dòng)。2010年，周以真教授又指出計(jì)算思維是與形式化問(wèn)題及其解決方案相關(guān)的思維過(guò)程，其解決問(wèn)題的表示形式應(yīng)該能有效地被信息處理代理執(zhí)行[1]。

為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，加深學(xué)生對(duì)課程重要性的認(rèn)識(shí)，在離散數(shù)學(xué)課程改革中引入以計(jì)算思維為導(dǎo)向的教學(xué)模式。

將計(jì)算思維引入離散數(shù)學(xué)教學(xué)，將理論和定理和專業(yè)實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，加深學(xué)生對(duì)課程的認(rèn)識(shí)。以計(jì)算機(jī)為工具解決各種問(wèn)題，本就面臨著從現(xiàn)實(shí)世界中對(duì)事物及其關(guān)系的理解抽象到信息世界表示，最終用工程觀點(diǎn)在計(jì)算機(jī)世界編程實(shí)現(xiàn)，因此在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中引入計(jì)算思維改變了傳統(tǒng)教學(xué)模式，在低年級(jí)就培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，和專業(yè)培養(yǎng)方案中對(duì)學(xué)生的要求相契合。

1 計(jì)算思維在課堂中的應(yīng)用

離散數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容分為：集合論、代數(shù)系統(tǒng)、圖論和數(shù)理邏輯，和多門專業(yè)課對(duì)應(yīng)，如：集合論對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)庫(kù);代數(shù)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)算法設(shè)計(jì)、編譯原理和人工智能;圖論對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、算法設(shè)計(jì)和人工智能;數(shù)理邏輯對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)庫(kù)、編譯原理和人工智能[2]。我校計(jì)算機(jī)專業(yè)高年級(jí)同學(xué)反映多個(gè)后續(xù)課程需要離散數(shù)學(xué)的理論支撐，通過(guò)師生直接交流、座談會(huì)等多種形式綜合學(xué)生的意見(jiàn)和建議，課程組逐步改善課堂組織方式。這里以集合論、圖論和數(shù)理邏輯為例進(jìn)行介紹。

1.1 集合論

集合論在高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上增加了關(guān)系及相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，以二元關(guān)系為主，二元關(guān)系是集合之間滿足條件的元素對(duì)的集合，即序偶的集合。關(guān)系在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)庫(kù)課程中有重要體現(xiàn)，因此重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)關(guān)系的概念和應(yīng)用的認(rèn)識(shí)。

二元關(guān)系對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)庫(kù)課程中的數(shù)據(jù)表。關(guān)系數(shù)據(jù)以二維表表示和組織數(shù)據(jù)：一個(gè)實(shí)體用一個(gè)二維表表示，實(shí)體間的聯(lián)系用新二維表表示。以上描述中，集合對(duì)應(yīng)表示實(shí)體的二維表，序偶的集合對(duì)應(yīng)表示實(shí)體間聯(lián)系的新二維表;數(shù)據(jù)庫(kù)中對(duì)二維表的操作均建立在對(duì)二元關(guān)系的理解之上。因此關(guān)系及相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)可以結(jié)合關(guān)系數(shù)據(jù)。

例1：學(xué)生選課問(wèn)題，結(jié)合集合論內(nèi)容設(shè)計(jì)說(shuō)明。

分析：首先如何表示學(xué)生和課程，學(xué)生和課程都是集合。綜合現(xiàn)有數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，用二維表表示集合，二維表是元素的線性表示，大部分信息管理系統(tǒng)用關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)表示和管理數(shù)據(jù)。這里用二維表A、B分別表示學(xué)生和課程，選課是學(xué)生選擇自己需要的課程，從而在學(xué)生表和課程表之間建立了一種映射，即實(shí)體間的聯(lián)系。這里用表C表示映射。

表A中的學(xué)生選擇表B中的課程，選課是一個(gè)多對(duì)多的二元關(guān)系，不能附加在A或B上，必須用一個(gè)新的二維表C表示，表C由表A的元組和表B中對(duì)應(yīng)元組構(gòu)成，分別由表A和表B的列組成。

綜合以上可知，選課表C是A×B（A和B的笛卡爾積）的一個(gè)子集，和集合X到Y(jié)的關(guān)系是X×Y的一個(gè)子集對(duì)應(yīng)。同樣對(duì)表A、B、C的各種操作均對(duì)應(yīng)到集合的數(shù)學(xué)操作或者邏輯操作上，使得學(xué)生對(duì)集合概念的理解和應(yīng)用的理解落到實(shí)處。課堂效果更加深刻。

1.2 圖論

圖論作為多個(gè)行業(yè)的理論基礎(chǔ)其應(yīng)用十分廣泛，像最優(yōu)樹(shù)、最短路徑、關(guān)鍵路徑以及匹配、著色、排課等對(duì)很多工作有指導(dǎo)意義，因此圖論內(nèi)容的課堂教學(xué)也非常適合引入計(jì)算思維。

例2：一個(gè)國(guó)際會(huì)議有六個(gè)專家a、b、c、d、e、f參加，已知a會(huì)漢語(yǔ)、法語(yǔ)和日語(yǔ)，b會(huì)德語(yǔ)、日語(yǔ)和俄語(yǔ)，c會(huì)英語(yǔ)和法語(yǔ)，d會(huì)漢語(yǔ)和西班牙語(yǔ)，e會(huì)英語(yǔ)和德語(yǔ)，f會(huì)俄語(yǔ)和西班牙語(yǔ)，問(wèn)如何分組使得兩組內(nèi)的專家能順利交流。

分析：這里引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法分析，即不能將沒(méi)有共同語(yǔ)言的專家分在一組。首先確定該題對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，分組問(wèn)題一般考慮二分圖;其次給出解題思路，即判斷題目對(duì)應(yīng)構(gòu)造的圖是否為二分圖。若不是二分圖，這六個(gè)專家任意分成兩組都可以，若是二分圖，避免按照二分圖中兩個(gè)集合分組即可。用a、b、c、d、e，f作為頂點(diǎn)表示六個(gè)專家，彼此間會(huì)相同語(yǔ)言即在兩點(diǎn)之間進(jìn)行連線，以此構(gòu)造無(wú)向圖。

對(duì)無(wú)向圖進(jìn)行觀察，可以看出該圖是二分圖，因此分組時(shí)避開(kāi){a，e，f}一組和{d，c，b}另一組即可滿足題目要求;如果需要編程解決該問(wèn)題，則在無(wú)向圖構(gòu)造完畢后使用二分圖的判定定理即可。

1.3 數(shù)理邏輯

數(shù)理邏輯主要內(nèi)容為命題符號(hào)化和邏輯推理，其內(nèi)容包含大量公式和定理，傳統(tǒng)課堂比較枯燥乏味，因此這一章引入大量的例題和知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合以提高課堂效果，這里以人工智能中的邏輯推理為例加深學(xué)生對(duì)命題邏輯的基本公式和應(yīng)用的理解。

例3：甲乙丙三人對(duì)張先生的職業(yè)進(jìn)行判斷：甲說(shuō)張先生不是教師是醫(yī)生;乙說(shuō)張先生不是醫(yī)生是教師;丙說(shuō)張先生既不是醫(yī)生也不是記者。張先生說(shuō)甲乙丙中有一人說(shuō)的對(duì)，一人說(shuō)對(duì)了一半，一人說(shuō)錯(cuò)了。請(qǐng)判斷張先生的職業(yè)。

分析：首先確定該題屬于邏輯推理問(wèn)題，要用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題，第一步將原子命題提取出來(lái)并符號(hào)化，有：

數(shù)理邏輯的研究首先需要將自然語(yǔ)符號(hào)化，之后用數(shù)學(xué)思路解決問(wèn)題，無(wú)論是命題邏輯還是謂詞邏輯都要熟練掌握五個(gè)聯(lián)結(jié)詞的運(yùn)算及特點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用。

2 結(jié)語(yǔ)

計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)主要通過(guò)理論教學(xué)和實(shí)踐環(huán)節(jié)結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力，從而提高學(xué)生用數(shù)學(xué)方法分析問(wèn)題并獨(dú)立解決問(wèn)題的能力，和計(jì)算思維的內(nèi)涵非常契合。采用將離散數(shù)學(xué)內(nèi)容和專業(yè)應(yīng)用相結(jié)合的方法改革課堂教學(xué)，很大程度上克服了傳統(tǒng)教學(xué)模式的缺點(diǎn)，不僅加深了學(xué)生對(duì)課程的理解、規(guī)范了學(xué)生分析問(wèn)題的嚴(yán)謹(jǐn)性，而且還加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)課程重要性的認(rèn)識(shí)以及和后續(xù)課程的聯(lián)系。除課堂教學(xué)之外，計(jì)算思維的觀點(diǎn)還體現(xiàn)在課程改革的其他環(huán)節(jié)中，如教材的編寫(xiě)和課后習(xí)題的講解。

參考文獻(xiàn)：

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[3]宋慶燕.應(yīng)用型本科院?！峨x散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)方法探究[J].電腦知識(shí)與技術(shù)，2019，15（3）：109112.

作者簡(jiǎn)介：張艷群（1977—），女，漢族，江蘇豐縣人，博士，副教授，研究方向：信息安全;鮑宇（1977—），男，漢族，江蘇睢寧人，博士，副教授，研究方向：可信計(jì)算。