從大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽談重積分換元法

滕吉紅， 魯志波， 黃曉英

(信息工程大學(xué) 基礎(chǔ)部，河南 鄭州 450002)

0 引言

為增加大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)分析、解決問(wèn)題的能力，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才，為青年學(xué)子提供展示基礎(chǔ)知識(shí)和思維能力的舞臺(tái)，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)自2009年開始舉辦全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，到目前已經(jīng)成功組織過(guò)10屆。競(jìng)賽分非數(shù)學(xué)專業(yè)和數(shù)學(xué)專業(yè)，分為初賽、復(fù)賽和決賽，初賽和決賽是全國(guó)統(tǒng)一命題，復(fù)賽一般是各省自行命題選拔。結(jié)合歷屆初賽和決賽試題，通過(guò)分析非數(shù)學(xué)專業(yè)的初賽和決賽試題中所涉及的多元函數(shù)積分學(xué)的題目，從考查的頻率和考查方式說(shuō)明了換元法在求解多元函數(shù)積分問(wèn)題時(shí)的重要應(yīng)用，最后從方法論的角度給出了這部分內(nèi)容的教學(xué)建議。

1 競(jìng)賽試題分析

非數(shù)學(xué)專業(yè)初賽和決賽歷屆競(jìng)賽試題的題目主要包括填空題、計(jì)算題和證明題等，初賽考試內(nèi)容僅限于高等數(shù)學(xué)，決賽內(nèi)容涉及高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)兩門課程，所占比例分別是80%和20%。雖然所涉及的內(nèi)容均不超過(guò)理工科相應(yīng)課程教學(xué)大綱的規(guī)定，但試題還是有較強(qiáng)的綜合性和較大的難度。多元函數(shù)積分學(xué)的內(nèi)容是歷屆初賽、決賽都會(huì)涉及的知識(shí)點(diǎn)，主要包括二重積分、三重積分、曲線積分以及曲面積分等，而這些問(wèn)題的解決中很多用到了重積分的換元法，具體如表1所示。可以發(fā)現(xiàn)，初賽、決賽20套題中涉及多元函數(shù)積分學(xué)的共有37道，考查的頻次是非常高的，其中應(yīng)用到重積分換元法的有23題，占62%，足以說(shuō)明重積分換元法在解決一些難點(diǎn)問(wèn)題中的重要性和有效性。

表1 競(jìng)賽試題中重積分的換元法Tab.1 Exchange element method of multiple integrals in mathematics competitions

續(xù)表1 競(jìng)賽試題中重積分的換元法 Tab.1(Continued) Exchange element method of multiple integrals in mathematics competitions

2 重積分的換元法

在定積分的計(jì)算中，通過(guò)換元法，可以使積分變得簡(jiǎn)單易求。同樣，在二重積分的計(jì)算中，也可以利用換元法簡(jiǎn)化計(jì)算，我們以二重積分為例。

類似地，三重積分也有換元法，在這里不再詳述。

柱坐標(biāo)變換可以看作三重積分換元法的特殊情況，即令x=ρcosθ,y=ρsinθ，z=z，則雅可比行列式為

則有

球坐標(biāo)變換可以看作三重積分換元法的特殊情況，即令x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ，則雅可比行列式為

則有

由表1可以看出，二重積分的極坐標(biāo)，以及三重積分的柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)都是多元函數(shù)積分學(xué)部分考查的重點(diǎn)。

3 方法論角度下的教學(xué)建議

二重積分換元法和三重積分換元法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中的要求不高，均為“了解”，因此大多數(shù)高等數(shù)學(xué)教材[1-2]中都把重積分的換元法作為選學(xué)內(nèi)容，標(biāo)記為“*”號(hào)，受高等數(shù)學(xué)課程學(xué)時(shí)的限制，很多高校在教學(xué)中都會(huì)把這部分內(nèi)容刪去不講。而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最高境界是數(shù)學(xué)聯(lián)系哲學(xué)[3]，哲學(xué)是數(shù)學(xué)更深刻的思想基礎(chǔ)[4]。從哲學(xué)的范疇來(lái)看，作為“了解”的重積分換元法和要求“熟練掌握”的極坐標(biāo)換元法、柱坐標(biāo)換元法以及球坐標(biāo)換元法之間是一般與特殊的關(guān)系，所以從方法論的角度，建議把重積分的換元法作為講授內(nèi)容，這樣可以引導(dǎo)學(xué)員站在更高的維度上思考問(wèn)題，構(gòu)建系統(tǒng)完整的知識(shí)框架體系，培養(yǎng)有效的數(shù)學(xué)思維和哲學(xué)思維。