基于Scilab的IIR濾波器設(shè)計(jì)

孫小娟

（重慶電子工程職業(yè)學(xué)院 重慶 401331）

一、引言

動(dòng)態(tài)信號(hào)是指信號(hào)中的某些屬性隨著時(shí)間的變化而連續(xù)變化的一類信號(hào)，用確定性動(dòng)態(tài)信號(hào)代替數(shù)字信號(hào)，使用兩種頻率值來代替邏輯值，即把邏輯值映射到頻率上，這樣做可以避免數(shù)字信號(hào)本身存在的位翻轉(zhuǎn)、漂移和時(shí)鐘抖動(dòng)現(xiàn)象，從而保障安全攸關(guān)系統(tǒng)的可靠性。

為了得到確定性動(dòng)態(tài)信號(hào)的穩(wěn)定輸入輸出，需要使用帶通濾波器，這樣既可以濾除雜波信號(hào)，又保證容錯(cuò)能力。就單位脈沖響應(yīng)而言，常用的濾波器有IIR濾波器和低通、高通、帶通、帶阻等幾種IIR濾波器。從性能上來說，F(xiàn)IR濾波器由于其階數(shù)高，故信號(hào)延時(shí)較大。在相同的設(shè)計(jì)要求下，IIR濾波器由于采用遞歸結(jié)構(gòu)，其傳遞函數(shù)的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，可以采用比FIR濾波器較少的階數(shù)來達(dá)到設(shè)計(jì)要求，因此具有階數(shù)低、選擇性好、經(jīng)濟(jì)效益高的優(yōu)勢，因此，本文選擇IIR濾波器設(shè)計(jì)本文需要的帶通濾波器。

二、基于安全動(dòng)態(tài)信號(hào)的安全關(guān)鍵邏輯簡介

（一）Scilab軟件簡介

Scilab是一種輕量級(jí)的開源科學(xué)工程計(jì)算軟件，它提供了可以滿足不同工程與科學(xué)需要的工具箱，例如SCICOS、圖與網(wǎng)絡(luò)工具箱和信號(hào)處理工具箱等[1]，基本功能可以和軟件Matlab相媲美。

（二）基于動(dòng)態(tài)信號(hào)的安全關(guān)鍵邏輯簡介

如果計(jì)算機(jī)中的安全關(guān)鍵邏輯出現(xiàn)了異常，將會(huì)導(dǎo)致安全攸關(guān)系統(tǒng)出現(xiàn)故障甚至癱瘓，因此計(jì)算機(jī)中使用的安全關(guān)鍵邏輯的可靠性必須得到保證。用確定性動(dòng)態(tài)信號(hào)代替數(shù)字信號(hào)，使用兩種頻率值來代替邏輯值，即把邏輯值映射到頻率上。如表1所示，可以把邏輯真用60Hz代替，邏輯假用120Hz代替，二者的邏輯關(guān)系可以用如下方法實(shí)現(xiàn)：

表1 邏輯值映射

假設(shè)有兩個(gè)正弦信號(hào)A和B，信號(hào)A的頻率 為60Hz，信號(hào)B的頻率 為120Hz，將兩個(gè)正弦信號(hào)相乘，則可以得到兩個(gè)信號(hào)的和與差：

觀察其頻譜，從兩個(gè)動(dòng)態(tài)信號(hào)的相乘結(jié)果并不能看出明顯的邏輯關(guān)系。。所以，需要再引入一個(gè)輔助動(dòng)態(tài)信號(hào)H，將A*B與H相乘，取H的頻率為90Hz,結(jié)果如表2所示。

表2 H=90Hz時(shí)，A?B的頻率

用60Hz表示邏輯“真”，120Hz表示邏輯“假”。如果A和B都為邏輯真（60Hz）時(shí)，從表格中第二行來看，看到A*B*H中沒有150Hz的頻率分量；當(dāng)A和B中至少有一個(gè)為假（120Hz）時(shí)，從三、四、五行可以發(fā)現(xiàn)，A*B*H含有150Hz的頻率分量，則可以規(guī)定A*B*H信號(hào)中含有150Hz頻譜分量時(shí)表示的邏輯為“真”，不含有150Hz頻譜分量時(shí)表示的邏輯為“假”。再從縱列來看， A列、B列以及A*B*H列，含有150Hz的一列就與邏輯運(yùn)算中的邏輯“與非”相對(duì)應(yīng)。對(duì)應(yīng)地，當(dāng)信號(hào)A、B的頻率均為60Hz，即邏輯真時(shí)，A*B*H中含有210Hz的頻率分量；當(dāng)信號(hào)A、B中只要有一個(gè)信號(hào)的頻率為120Hz，即邏輯假時(shí)，信號(hào)A*B*H中就不含有210Hz的頻率分量，則可以規(guī)定信號(hào)A*B*H中含有210Hz的頻率分量表示邏輯“真”，不含有210Hz的頻率分量時(shí)表示邏輯“假”。再從縱行來看，A列、B列，以及A*B*H列，含有210的一列就與邏輯運(yùn)算中的邏輯“與”相對(duì)應(yīng)。

如果120Hz表示邏輯“真”，60Hz表示邏輯“假”，其他與上表一致。觀察表可知，則A、B兩列，以及A*B*H中含有150和210的兩列，與邏輯運(yùn)算中的“或”和“或非”是相對(duì)應(yīng)。同時(shí)，信號(hào)A*B*H中出現(xiàn)30Hz和330Hz頻譜分量，與出現(xiàn)上表中頻譜分量150Hz和220Hz的情況類似。也就是說，A*B*H中含有30和330的這兩列也可以用來表示邏輯“與”和邏輯“與非”，或者是邏輯“或”和邏輯“或非”。

安全關(guān)鍵邏輯的結(jié)構(gòu)如圖1所示。在本文中以邏輯“與”和“與非”為例說明，以60Hz的正弦波表示邏輯“真”，120Hz的正弦波表示邏輯“假”。

圖1 安全攸關(guān)系統(tǒng)邏輯的結(jié)構(gòu)

為了濾除不合格的信號(hào)，專門檢測特定頻率的信號(hào)（如210Hz），需要使用帶通濾波器。輸入濾波器由通帶為58Hz-62Hz和118Hz-122Hz的帶通濾波器并聯(lián)，將輸入信號(hào)A、B相乘，再與H相乘，得到A*B*H，輸出濾波器有兩個(gè)，為通帶分別為205Hz-215Hz和145Hz-155Hz的帶通濾波器。

三、IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法主要有三種,即計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、頻域變換(原型變換法)和模擬數(shù)字變換。

就變換方法而言，主要有脈沖響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法和雙線性變換法。脈沖響應(yīng)不變法常用于設(shè)計(jì)有限帶寬的低通和帶通濾波器，不宜用來設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器。階躍響應(yīng)不變法存在頻率響應(yīng)的混疊失真現(xiàn)象，但失真現(xiàn)象比沖激響應(yīng)不變法小[2]。雙線性變換法克服了混疊失真現(xiàn)象，適合設(shè)計(jì)具有“分段常數(shù)特性”的濾波器（如低通，帶通，高通等）。

與IIR濾波器對(duì)應(yīng)的模擬濾波器原型一般有：巴特沃斯濾波器、切比雪夫?yàn)V波器I 、II型和橢圓函數(shù)濾波器。巴特沃斯濾波器的通帶和阻帶比其它數(shù)字濾波器的平坦，同時(shí)考慮到安全攸關(guān)系統(tǒng)簡單的原則，以及在安全關(guān)鍵邏輯中是通過判斷輸出信號(hào)的幅度來決定“真”“假”的，故本文最終選擇選擇使用雙線性變換法設(shè)計(jì)基于巴特沃斯的IIR濾波器。

四、基于Scilab的IIR數(shù)字濾波器的仿真

（一）Scilab設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器仿真

采用模擬濾波器雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器：

Scilab軟件中，直接設(shè)計(jì)IIR濾波器的函數(shù)有iir，函數(shù)原型為

[hz]=iir(n,ftype,fdesign,frq,delta)；

[p.z.g]=iir(n,ftype,fdesign,frq,delta)；

[cells, fact, zzeros, zpoles] = eqiir(ftype, approx, om, deltap, deltas)；

下面設(shè)計(jì)一個(gè)3階帶通橢圓濾波器。通帶截止頻率為 0.15 和 0.25，通帶允許波動(dòng)為 0.08, 阻帶允許波動(dòng)為 0.03。

hz=iir(3,'bp','ellip',[.15 .25],[.08 .03])；

計(jì)算出的濾波器傳遞函數(shù)為：

畫出其頻響曲線，如圖2所示：

圖2 3階帶通橢圓濾波器頻響曲線

如果需要，可以再畫出其零極點(diǎn)圖，如圖3所示：

圖3 3階帶通橢圓濾波器零極點(diǎn)圖

需要計(jì)算零極點(diǎn)時(shí)：

由計(jì)算得到的零極點(diǎn)知，其零極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，函數(shù)是穩(wěn)定的。

（二）仿真結(jié)果測試與分析

在Scilab中對(duì)表1所示的“與”和“與非”邏輯進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 “與”和“與非”仿真結(jié)果

所有信號(hào)的時(shí)長均取為兩秒，信號(hào)A的頻率在第一秒內(nèi)為60Hz，第二秒變?yōu)?20Hz；信號(hào)B的頻率在60Hz和120Hz之間每隔0.5s交替變換。這樣就能夠得到表1.1中的四種組合。其中，輸出帶通濾波器的階數(shù)均設(shè)為6階，由最后一組波形圖可以看到，當(dāng)信號(hào)A、B同時(shí)為60Hz時(shí)，帶通濾波器（205-215Hz）有波形輸出，而帶通濾波器（145-155Hz）幾乎沒有波形輸出，信號(hào)A、B為其他組合時(shí)，兩個(gè)濾波器的波形輸出情況正好相反。即仿真結(jié)果完全符號(hào)與其效果。由圖2、3知，濾波后的信號(hào)比輸入信號(hào)有大概0.1秒左右的延遲，這個(gè)延遲是由濾波器本身的計(jì)算過程產(chǎn)生的。濾波器的階數(shù)越高，濾波計(jì)算量越大，信號(hào)的延時(shí)就會(huì)增加，因此在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡量選用階數(shù)低的濾波器[3]。

五、結(jié)束語

本文就基于動(dòng)態(tài)信號(hào)的安全關(guān)鍵邏輯中濾波器的設(shè)計(jì)部分做了詳細(xì)的講解，首先介紹了什么是基于動(dòng)態(tài)信號(hào)的安全關(guān)鍵邏輯，提出了濾波器的設(shè)計(jì)。其次，描述了濾波器的種類、及各自的特點(diǎn)等等，在比較分析后，確定了設(shè)計(jì)采用雙線性變換法的基于巴特沃斯濾波器的IIR數(shù)字濾波器，設(shè)計(jì)了安全關(guān)鍵邏輯系統(tǒng)中所需的濾波器，并分析了其性能，符合預(yù)期的效果。