由兩道數(shù)學(xué)錯題引發(fā)的思考

趙金麗

摘?要?本文以一道奧林匹克競賽題和一道山西四校聯(lián)考題為載體，發(fā)現(xiàn)題目中所給出的條件互相產(chǎn)生矛盾，而這恰恰是題目本身具有較強研究價值的地方。筆者首先指出錯誤原因，其次補充題目條件，最后給出正確解法，并根據(jù)日常教學(xué)經(jīng)驗選取部分問題，提出學(xué)生可能存在的一些錯誤，最后是對數(shù)學(xué)教學(xué)工作的些許感悟。

關(guān)鍵詞?矛盾;補充;周期

中圖分類號：B024.2 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2020）22-0165-02

在平時眾多的研究對象中，錯題也是一類具有非凡價值的寶貝。如何變廢為寶？這個需要老師們沉下心來細細琢磨，若研究好了，趣味無窮，頗得歡心。筆者在平時的教學(xué)過程中注意積累和收集一些錯題，形成寶貴的資源財富。本文著重分析兩道錯題，這些題都是題目本身設(shè)計上有漏洞，編者思維上的疏忽造成的。

本題是對函數(shù)性質(zhì)的綜合考查和應(yīng)用。屬于奧林匹克競賽題目，難度較大，對于學(xué)生的綜合素質(zhì)要求很高。尤其是對于函數(shù)必須具備相當(dāng)高的研究，才能夠駕馭這類題目。遺憾的是本身題目稍微有一點點瑕疵，但是問題不是很大，只要稍作修改不影響大家對這類問題的研究。

篇二：山西四校聯(lián)考錯題

和等價嗎？

2、（2013·山西四校聯(lián)考）已知函數(shù)滿足，且是偶函數(shù)，當(dāng)時，。若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有4個零點，則實數(shù)的取值范圍為________.

本題給出的參考答案如下：

解析：由得，即函數(shù)是以2為周期的函數(shù).在區(qū)間內(nèi)有4個零點，即函數(shù)與的圖象在區(qū)間內(nèi)有4個不同的交點，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出函數(shù)的圖象（如圖所示）。

注意到直線恒過點，由題及圖象可知，當(dāng)時，相應(yīng)的直線與函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個不同的交點。故實數(shù)的取值范圍是。

錯誤分析：從本例中可以看出出題者給出這個條件，目的是為了得到的周期是2。再來看這個條件，顯然，這個式子是對于任意的都成立，現(xiàn)令，則有，再看該圖，發(fā)現(xiàn)不滿足，那么問題究竟出在哪里？

事實上，我們令，則有，而在時，函數(shù)解析式為，這并不滿足，因此該條件和時，是相互矛盾的，也就是2013年山西四校聯(lián)考的此題出題有問題。那么筆者認(rèn)為出題者的本意只不過是想通過，得到周期為2，所以不妨直接把條件改成，就不會出現(xiàn)上述的矛盾，那么也就是說在具體的題目中，條件和條件是不等價的。那么它們之間究竟存在怎么樣的關(guān)系呢？

顯然，，反過來，是不能推出，因此前者是后者的充分不必要條件。

篇三：些許教學(xué)感悟

教學(xué)總是有很多難題要面對，一來是數(shù)學(xué)的知識系統(tǒng)如何構(gòu)建，即讓學(xué)生能夠?qū)λ鶎W(xué)的知識框架了如指掌，并能夠綜合應(yīng)用;二來教學(xué)內(nèi)容如何安排落實，即每一節(jié)課復(fù)習(xí)內(nèi)容的寬度和深度;三是面對個性化的學(xué)生，在具體分析題目、解題、評題的時候如何抓住學(xué)生的想法和亮點，并傳達給其他同學(xué);四是新課改的大背景下，知識點的輕重緩急如何，再排序;五是如何激發(fā)高三學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣以及擁有良好的心理能力等等問題，都可能讓教學(xué)產(chǎn)生一定的疑惑。但是筆者想，不管如何，教師們都需要繼續(xù)在探究有效教學(xué)的道路上一直前進，把傳授式教學(xué)和探究式教學(xué)結(jié)合起來，能夠讓學(xué)生積極主動參與，自己發(fā)現(xiàn)問題，并能夠解決問題。而對于學(xué)生基本能力的培養(yǎng)，筆者認(rèn)為下面兩個能力非常重要，也是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的良好體現(xiàn)，因此教師在平時要注意：

1、教學(xué)過程中需培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力。這種能力的培養(yǎng)不僅僅需要在回顧知識點的幾何背景中滲透，更要在平時的練習(xí)中強化。如果能夠用數(shù)形結(jié)合這一方法解決問題的，盡量引導(dǎo)學(xué)生用該方法解決，特別是在選擇或者填空題中，能夠用較短的時間得到正確答案是取得高考勝利的金鑰匙。

2、適當(dāng)訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)計算能力。比如在用基本不等式時，為了挖掘積或者和為定值，常常需要根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式配系數(shù)的方法，使得匹配后的代換式與待求值式相乘后可以得出定值，或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后，使積式中的各項和為定值，這些都是需要計算能力的。特別在解析幾何這一章中，大量的計算擺在學(xué)生眼前，有好的計算能力和計算心理，往往會讓學(xué)生破解一道大題、難題。

參考文獻：

[1]李林.由一道高考錯題引發(fā)的思考[J].新課程（中學(xué)），2015（3）：41.

[2]楊麗萍.由一道錯題引發(fā)的思考[J].數(shù)學(xué)之友，2018（8）：76-77.