航材需求為隨機變量的訂貨批量模型建立與應(yīng)用

劉臣宇，孫偉奇，李衛(wèi)靈 （海軍航空大學(xué)（青島校區(qū)），山東 青島266041）

航空兵部隊在飛機訓(xùn)練中，航材經(jīng)常會隨機發(fā)生故障，當(dāng)倉庫沒有庫存?zhèn)浼r就需要臨時訂貨。臨時訂貨時有發(fā)生，這種臨時需求是隨機的，也就是說需求為隨機變量。為了保證在隨機需求發(fā)生時能盡快得到滿足，不影響飛行訓(xùn)練，研究需求為隨機變量時的訂貨批量模型至關(guān)重要。

1 模型建立

由于需求為隨機變量，無法求得周期（即兩次訂貨時間間隔）的確切時間，也無法求得再訂貨點確切來到的時間。但在這種多周期的模型里，在上一周期里沒有用完的器材可以放到下一個周期里繼續(xù)使用，故在這種模型里可以像經(jīng)濟訂貨批量模型那樣，主要的費用為訂貨費和存貯費。我們可以根據(jù)平均需求像經(jīng)濟訂貨批量模型那樣求出使得全年的P 訂貨費和存貯費總和最少的最優(yōu)訂貨量Q*。即：（該模型是經(jīng)濟訂貨批量模型，這里不再推導(dǎo)。式中：c1為單位存儲費，c3為每次訂購費，D 為年需求量）。但在對再訂貨點的處理上與經(jīng)濟訂貨批量模型不同。

在經(jīng)濟訂貨批量模型中，由于需求率是個常量d（即每天的需求量），對于一個需要m 天前訂貨的情況，可以把再訂貨點訂為d·m，即當(dāng)倉庫里還存有dm 單位的器材時，就再訂貨Q*單位的器材，這樣當(dāng)m 天后Q*單位的器材補充來時，倉庫里正好剛好把剩余的dm 單位的器材用完，倉庫及時得到補充。

而對需求為隨機變量的情況，因為每天的需求是隨機的，不是常量，這種處理顯然是不恰當(dāng)?shù)模袝r在這m天里需求大于m（這里為每天平均需求），這樣在m 天里就出現(xiàn)了缺貨，而有時需求小于m，這樣m 天后當(dāng)新的Q*單位的器材補充來時，倉庫里還有剩貨。

由于每次的訂貨量Q*可以按經(jīng)濟訂貨批量模型求得，每年的器材平均需求量可以很容易求得，這樣就可以求出每年平均的訂貨次數(shù)，也可以以每年允許在m 天里出現(xiàn)缺貨的次數(shù)來作為服務(wù)水平?？梢砸罁?jù)事先制定的服務(wù)水平和m 天里需求量的概率分布來定出相應(yīng)的r 值，并把r 值中超過m 的部分叫做安全貯存。

為需求隨機變量的訂貨批量模型。

2 模型應(yīng)用

某倉庫直接從廠家購進B 器材，由于倉庫與廠家距離較遠(yuǎn)，雙方合同規(guī)定在倉庫填寫訂貨單后一個星期廠家把B 器材運到倉庫，倉庫根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析知道在一個星期里B 器材的需求量服從以均值μ=850 個，均方差σ=120 個的正態(tài)分布，又知道每次訂貨費為250 元，每個B 器材的成本為48 元，存貯一年的存貯費用為成本的20%，即每個B 器材一年的存貯費為48×20%=9.6 元，倉庫規(guī)定的服務(wù)水平為允許由于存貯量不夠造成的缺貨情況為5%。倉庫應(yīng)如何制定存貯策略，使得一年的訂貨費和存貯費的總和為最少?

解：首先可以按經(jīng)濟訂貨批量模型來求出最優(yōu)訂貨批量Q*，已知每年的平均需求量=850×52=44200 個／年，c1=9.6 元／個年，c3=250 元，得：

由于每年平均需求為44200 個，可知每年平均訂貨次數(shù)為

根據(jù)服務(wù)水平的要求：

因為一個星期的需求量服從以均值μ=850 個，均方差σ=120 個的正態(tài)分布，故有：

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得：

即有：

求得：

3 結(jié) 論

根據(jù)上例計算結(jié)果可知，當(dāng)倉庫里庫存剩下1047 個時，就應(yīng)該向廠家訂貨，每次的訂貨量為1517 個，這里的1047 就是再訂貨點，Q*=1517 就是最優(yōu)定貨量，而：

這197 個就是安全存貯量，在這樣的存貯策略下，能有95%的概率在訂了貨而貨物還沒運到倉庫的一周（簡稱訂貨期）里不會出現(xiàn)缺貨。因為一年平均大約訂貨29 次，其中平均29×95%=27.55（次）的訂貨期里不會出現(xiàn)缺貨，也只有平均1.45 次的訂貨期里會出現(xiàn)缺貨。

當(dāng)然在理想情況下，也就是一訂貨馬上就能拿到器材，這時顯然不需要安全存貯，每次訂貨量為850 個即可。