抽象函數(shù)的解題策略探究

摘?要：攻克抽象函數(shù)問題的關(guān)鍵是深刻理解并熟練應(yīng)用函數(shù)的概念、性質(zhì)等，做好這點，有助于理解和抓住抽象函數(shù)問題的本質(zhì)。所以，抽象函數(shù)類型的試題也是考查學(xué)生對函數(shù)基本概念與性質(zhì)的了解情況，以及考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。近幾年來抽象函數(shù)類型的問題受到了命題者的廣泛青睞，因此，文章根據(jù)近幾年的高考題的特點和教學(xué)實踐中的嘗試與探索，確定相應(yīng)的幾種解題策略。

關(guān)鍵詞：抽象;解題;策略

抽象函數(shù)指的是在已知條件中沒有將函數(shù)的具體解析式或其圖像明確給出，但是只將該函數(shù)所滿足的條件或特征做了介紹。通常涉及抽象函數(shù)的數(shù)學(xué)問題一般都會與函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，如函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、周期性以及函數(shù)的定義域與值遇等等。在高考命題中，抽象函數(shù)問題出現(xiàn)的次數(shù)越來越頻繁，而且有關(guān)的問題難度系數(shù)也較高。而因為抽象函數(shù)在特點上具有隱蔽性，導(dǎo)致許多學(xué)生在解答問題的過程中常常感到十分茫然，無從下手。因此，下文將結(jié)合抽象函數(shù)的特性以及在高中數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)到的四種抽象函數(shù)基本模型，對抽象函數(shù)的解題策略及規(guī)律進行歸納與總結(jié)。

一、 數(shù)形結(jié)合使抽象函數(shù)具體（直觀想象）

在求解抽象函數(shù)問題的時候，數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)生們經(jīng)常用到的方法之一。這是由于數(shù)形結(jié)合思想能夠把抽象函數(shù)中所給的已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形。這是從抽象到直觀的過程，可以提高學(xué)生們對問題的理解力，而且在進行數(shù)與形的轉(zhuǎn)化后，原本復(fù)雜的問題也變得簡單了許多，甚至還會幫助學(xué)生減少問題求解過程的計算量。

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想于抽象函數(shù)中的重要條件就是抽象函數(shù)在函數(shù)圖像上所表現(xiàn)出來的性質(zhì)有周期性、奇偶性以及對稱性等，這些特征可以促進學(xué)生對問題的分析。學(xué)生們可以通過繪制抽象函數(shù)圖像的示意圖，借助示意圖將抽象的函數(shù)關(guān)系式變形象化，這樣做的好處是可以減少推理，同時有利于學(xué)生觀察和對比。

【例1】?已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在（-∞，0]上是減函數(shù)，且f（2）=0，則使得f（x）<0的x的取值范圍是（??）

A. （-∞，2）B. （2，-∞）

C. （-∞，-2）∪（2，+∞）D. （-2，2）

解析：畫出滿足題意的示意圖，可得答案D。

利用題目中所給函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的示意圖，以形助數(shù)，問題迅速獲解。

二、 利用單調(diào)性定義使問題具體（邏輯推理）

分析抽象函數(shù)問題可以從函數(shù)的符號f入手，“穿”上函數(shù)符號f與“脫”掉函數(shù)符號f可以有助于函數(shù)問題的分析，這主要是由于函數(shù)具備單調(diào)性，所以在“穿”與“脫”之間實現(xiàn)了函數(shù)的簡化，促進問題的解決。

【例2】?（2019全國3理11）設(shè)f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則（??）

A. f（log314）>f（2-32）>f（2-23）

B. f（log314）>f（2-23）>f（2-32）

C. f（2-32）>f（2-23）>f（log314）

D. f（2-23）>f（2-32）>f（log314）

解析：f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，所以 f（log314）=f（log34），

因為log34>log33=1，0<2-32<2-23<20=1，所以0<2-32<2-23

又f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（2-32）>f（2-23）>f（log314）。故選C。

而函數(shù)具備的性質(zhì)還有對稱性和奇偶性，其中，對稱性主要可以分成中心對稱與軸對稱兩種。在這兩種對稱中，分別有一個特殊對稱情況，即中心對稱的原點對稱與軸對稱中的y軸對稱。通常我們在遇到這兩種對稱的時候，都稱其函數(shù)為奇函數(shù)或者是偶函數(shù)。對稱性與奇偶性也是高考中常常出現(xiàn)的抽象函數(shù)問題，如果學(xué)生們在選擇或填空問題中，遇到該類型題時，可以結(jié)合具體問題做分析，并依照函數(shù)定義將已知條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性上，做解答。所以，在求解抽象函數(shù)問題的時候，學(xué)生們還可以利用這兩種性質(zhì)可以將自變量轉(zhuǎn)化到求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間中，再通過分析函數(shù)的單調(diào)性對問題進行求解。另外，根據(jù)抽象函數(shù)的定義，函數(shù)的定義域以及值域也可以作為求解抽象函數(shù)問題的方法。而當學(xué)生使用定義域或值域進行求解問題的時候，一定要注意函數(shù)自變量的取值范圍，特別是在求解有關(guān)函數(shù)定義域與值域的問題中。

三、 類比模型使解題思路具體（特殊與一般）

在解決抽象函數(shù)問題中，還可以使用類比模型。何為模型？在數(shù)學(xué)中，依照題目中已知的數(shù)量關(guān)系進行大膽的猜想從而形成了抽象函數(shù)的原始模型，并將此作為目標猜想。通過分析模型函數(shù)具備的性質(zhì)對求解問題的方法進行探索。特別是在求解抽象函數(shù)類的選擇或填空題時，就可以使用類比模型進行作答，這可以幫助學(xué)生在答題中啟發(fā)思路，同時還能起到一定的驗證作用。

【例3】?（2018全國卷Ⅱ）已知f（x）是定義域為（-∞，+∞）的奇函數(shù)，滿足f（1-x）=f（1+x）。若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（??）

A. -50B. 0C. 2D. 50

解析：由題意可設(shè)f（x）=2sinπ2x，作出f（x）的部分圖像如圖所示。由圖可知，f（x）的一個周期為4，所以，f（1）+f（2）+…+f（50）=12×0+f（1）+f（2）=2，故選C。

函數(shù)圖像雙對稱問題通常可借助正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像及性質(zhì)為模型來解題，從而化抽象為具體。從特殊轉(zhuǎn)化到一般的數(shù)學(xué)思想，以及使用聯(lián)想類比思想都能夠幫助學(xué)生解決抽象函數(shù)問題。能夠應(yīng)用類比思想的函數(shù)模型有f（x+y）=f（x）·f（y），由于該模型的結(jié)構(gòu)特征滿足于指數(shù)函數(shù)，所以，如果學(xué)生遇到像這種函數(shù)的模型時，就可以類比指數(shù)函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)進行求解。再如函數(shù)模型f（xy）=f（x）+f（y），該模型結(jié)構(gòu)特征滿足于對數(shù)函數(shù)，所以學(xué)生在解決該類函數(shù)模型的時候，可以類比對數(shù)函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)進行問題的求解。由此可見，應(yīng)用類比思想解決抽象函數(shù)問題的前提，就是要了解各種函數(shù)的性質(zhì)特征，只有這樣才會在解題過程中，挖掘出問題中所隱藏的已知條件。

【例4】?某函數(shù)f（x）是定義域為R的函數(shù)，它于任意實數(shù)x與y都可有f（x+y）=f（x）·f（y），并且在x1≠x2的時候，f（x1）≠f（x2）。求解f（0）的值是多少？并對函數(shù)f（x）的奇偶性進行判斷，同時說明理由。

解析：當實數(shù)x與實數(shù)y均為0的時候，有f（0）=[f（0）]2，

因此，f（0）的值為0或者為1。

當f（0）的值為0的時候，由于f（x+y）=f（x）·f（y），假設(shè)x為0，y為1。那么就有f（0）=0。

這并不滿足于已知條件在x1≠x2的時候，f（x1）≠f（x2），

所以，f（0）≠0。由此可知，f（0）=1（此函數(shù)正好滿足指數(shù)函數(shù)圖像中過點（0，1）的特點）。

又因為f（0）≠0，而函數(shù)的定義域又為R，

因此，f（x）并非奇函數(shù)。

且在x≠0的時候，-x≠x，f（-x）≠f（x），

所以，f（x）并非偶函數(shù)。

由此可知，f（x）不具備奇偶性。（指數(shù)函數(shù)恰巧也不具備奇偶性）

通過該問題可知，當學(xué)生在求解抽象函數(shù)問題的時候，如果已知條件中存在f（x+y）=f（x）·f（y），且函數(shù)的定義域為R的時候，就要考慮該函數(shù)可能為指數(shù)函數(shù)，這時候依照所學(xué)的指數(shù)函數(shù)性質(zhì)及其特點就可以很輕松的解答出問題答案。

四、 賦值策略使問題具體（代換思想）

通常在求解抽象函數(shù)問題的時候，學(xué)生可以首先使用賦值這一策略作為解決問題的切入口。賦值就是依照著已知題目中給出的函數(shù)，對該函數(shù)的性質(zhì)進行判斷，同時把其具備的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成問題的已知條件。再根據(jù)已知條件等式中把變量或者是特殊值代入到函數(shù)中，從而使問題得到解決。利用賦值策略的前提條件是因為通常抽象函數(shù)的表現(xiàn)形式是函數(shù)方程，所以，在求解這類函數(shù)問題時，學(xué)生可以給予變量一些特殊值或者是特殊式，這樣也會促使問題的有效解決，并有著一定的規(guī)律性。

【例5】?若函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y滿足：f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=0，則下列結(jié)論正確的是????。

①f（x）是周期函數(shù);②f（x）是奇函數(shù);③f（x）關(guān)于點（1，0）對稱;④f（x）關(guān)于直線x=1對稱。

解析：∵f（x+2）=f（x）+f（2）=f（x），∴f（x）為周期函數(shù)。故①正確;

f（2）=2f（1）=0，∴f（1）=0，∴f（1）=f（1+0）=f（1）+f（0），∴f（0）=0。

令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（x）為奇函數(shù)。故②正確;

∵f（1+x）+f（1-x）=f（2）=0，∴f（1+x）=-f（1-x），∴f（x）關(guān)于點1，0對稱。故③正確;

若f（x）關(guān)于直線x=1對稱，則f（1+x）=f（1-x），∴f（1）+f（x）=f（1）+f（-x），

∴f（-x）=f（x）這與f（x）是奇函數(shù)矛盾，故④錯，故正確的是①②③。

根據(jù)題目中的已知信息判斷抽象函數(shù)所具備的性質(zhì)，再將已知條件與結(jié)論進行有機結(jié)合，同時對其做適當?shù)淖冃?。這樣我們就能夠發(fā)現(xiàn)一個滿足題意的詳細函數(shù)，或者將變形后的函數(shù)進行變量賦值，使抽象的數(shù)學(xué)函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成具體數(shù)學(xué)問題，最終使問題得到解決。

上面結(jié)合實例介紹了四種抽象函數(shù)的解題策略，在實際解題過程中相輔相成。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，抽象函數(shù)既是教學(xué)重點，也是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點，同時抽象函數(shù)也是大學(xué)中高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，它充分地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性，同時體現(xiàn)了新課程、新高考對核心素養(yǎng)的考查，凸顯高考的命題導(dǎo)向由能力立意轉(zhuǎn)變?yōu)樗仞B(yǎng)導(dǎo)向。因此，我們在實際的解題過程中要不斷優(yōu)化學(xué)生的解題策略，快捷有效的解決抽象函數(shù)問題，進而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為學(xué)生的發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

作者簡介：

游含啟，福建省龍巖市，福建省長汀縣第一中學(xué)。