巷道底板砂巖三軸壓縮蠕變試驗與分數(shù)階模型

劉朝科 任建喜

摘 要：為解決傳統(tǒng)非線性蠕變模型不能反映模型參數(shù)的損傷時效問題，采用西安科技大學和長春朝陽試驗儀器有限公司聯(lián)合研制的高溫三軸流變試驗機對煤礦巷道底板軟砂巖試樣進行了三軸壓縮蠕變實驗，得到軟砂巖在三軸壓縮下的蠕變變形規(guī)律和破壞特征?；诜謹?shù)階微分理論，考慮模型參數(shù)的損傷時效，通過引入損傷變量，推導得到了一維四元件非定常分數(shù)階蠕變損傷模型和三維模型，并對模型參數(shù)進行了敏感性分析，參數(shù)β變化可描述砂巖的不同階段的變形特點，參數(shù)α可描述砂巖隨時間的損傷規(guī)律。根據(jù)蠕變試驗數(shù)據(jù)，采用粒子群算法和最小二乘法對分數(shù)階模型參數(shù)進行了辨識，將試驗曲線、分數(shù)階模型與Burgers模型曲線進行了對比分析，驗證了模型的正確性和優(yōu)越性。研究結果表明，隨著底板軟砂巖的偏應力水平增大，瞬時應變、蠕變變形、蠕變速率及損傷程度也隨著增大，巷道底板的偏應力水平是控制軟砂巖變形的關鍵因素;建立的非定常分數(shù)階蠕變損傷模型能夠準確描述巷道底板軟砂巖的衰減蠕變、穩(wěn)態(tài)蠕變和加速蠕變的變形特征，尤其描述軟砂巖加速段變形規(guī)律具有一定的優(yōu)勢，與傳統(tǒng)的Burgers模型相比，且具有參數(shù)少，并能反映不同階段模型參數(shù)損傷規(guī)律的特點。研究結果對相關工程具有一定的應用價值。 關鍵詞：巷道底板軟砂巖;三軸壓縮蠕變;蠕變損傷;分數(shù)階微分模型中圖分類號：

TU 45

文獻標志碼：A

文章編號：1672-9315（2020）06-01003-07

DOI：10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2020.0610開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Triaxial compression creep test of roadway floor sandstone

and fractional order model

LIU Chao-ke，REN Jian-xi

（College of Civil and Architectural? Engineering，Xian University of Science and Technology，Xian 710054，China）

Abstract：In order to solve the problem that the nonlinear creep model cannot reflect the damage law of each parameter with time，triaxial creep experiments were carried out on soft sandstone samples in coal mine roadway floor by the high temperature triaxial rheological testing machine，developed by the research group of Xian university of science and technology and Changchun Chaoyang Test Instrument Company，and the creep deformation and failure characteristics of soft sandstone under triaxial compression are obtained.Considering the damage timeliness of the model parameters，the unsteady fractional-order creep damage model of four elements is established.The sensitivity analysis of the model

parameters is carried out.The variation of parameter β can describe the deformation characteristics of sandstone at different stages，and the parameter α? the damage law of sandstone characteristics with time.Based on the experimental results，the parameters of the fractional order model were identified by particle swarm optimization.The results show that with the increase of deviatoric stress，the instantaneous strain，creep deformation，creep change rate and damage degree also increase，and the deviating stress level of roadway floor is the key factor of floor heave control.The fractional-order differential creep damage model established can accurately describe the creep deformation characteristics of soft sandstone in roadway floor，in particular，it can describe the deformation in the acceleration phase，it has the characteristics of few parameters and can reflect the damage law of model parameters in different stages.The results of the study are valuable in applications into related engineering.

Key words：soft sandstone of roadway floor;triaxial compression creep;creep damage;fractional order differential model

0 引 言

近年來，隨著煤炭開采深度的增加，軟巖相關的工程問題逐漸增多，其中軟巖的流變導致巷道穩(wěn)定性問題日益凸顯[1-3]。國內外學者對于巷道流變特性進行了廣泛的研究，并取得顯著成果[4-7]。巖石的蠕變特性是工程巖體重要力學特性之一[8]。建立能全面反映蠕變特性的巖石非線性蠕變模型是當前巖石蠕變特性研究的重要課題。室內試驗表明，軟砂巖蠕變變形表現(xiàn)為減速蠕變、等速蠕變以及加速蠕變這3個過程。為了描述軟砂巖的蠕變變形特點，目前國內外學者通常采用元件組合模型。而傳統(tǒng)的Burger模型和Nishihara模型僅能描述巖石的減速蠕變和等速蠕變，不能描述加速蠕變階段，為了解決這一問題，國內外學者通過改進線性元件為非線性元件或者在已有的模型中引入損傷變量。趙延林將傳統(tǒng)Burger模型和非線性塑性元件串聯(lián)，建立了一個新的蠕變損傷模型，并驗證該模型模的合理性[9]。流變損傷模型方面，CHAN等基于細觀力學研究了鹽巖流變變形與損傷演化之間的關系[10-15]。WANG在針對鹽巖流變損傷特性研究的基礎上，建立了基于損傷理論的流變本構模型[16]。殷德順等將分數(shù)階微分理論應用于巖石變形元件，提出了軟體元件，該元件在描述巖石加速蠕變階段具有一定的優(yōu)勢[17]。陳亮等則以分數(shù)階微積分為基礎構建了一種新的巖石四元件蠕變模型[18]。陳軍浩等將分數(shù)階微積分理論運用到了人工凍土蠕變模型中[19]。以上蠕變模型研究雖取得豐碩的成果，但模型不能客觀反映各參數(shù)隨時間的損傷規(guī)律，文中基于分數(shù)階微分理論建立了四元件非線性蠕變模型，描述巷道底板軟砂巖蠕變變形特點，并根據(jù)巷道底板砂巖的蠕變試驗結果對模型參數(shù)進行了辨識，并能反映模型參數(shù)不同階段的損傷規(guī)律。

1 巷道底板軟砂巖三軸壓縮蠕變試驗

1.1 巖樣制備

軟砂巖采自于黃陵礦區(qū)某礦一盤區(qū)運輸大巷底板，樣本易風化、在水中易分解，巖樣在現(xiàn)場采集好后立即封存，在運輸過程中盡可能做到輕拿輕放，避免較大的震動破壞軟砂巖的結構和完整性。巖塊在室內實驗室經(jīng)過鉆取、切割和打磨三道工序后，按國際標準尺寸加工成50×100 mm的標準試件，然后用非金屬超聲檢測分析儀剔除波速和波形相差較大的試件，所有試件在試驗前在水中浸泡不小于48 h，試件處于飽和狀態(tài)，如圖1所示。文中試件試驗均在飽和狀態(tài)下進行。

1.2 試驗設備與加載方案

采用高溫三軸蠕變試驗機完成軟砂巖的蠕變試驗。在實驗前對試件進行飽水，為加載準備，飽水后進行圍壓為5 MPa下的三軸壓縮蠕變試驗。采用分級加載方式，第1級荷載為σ1=7 MPa，第2級σ1=9 MPa，第3級σ1=11 MPa，第4級σ1=13 MPa.采用應力控制加載，加載速率為0.001 5 MPa/s，每級荷載加載時間不小于24 h.

1.3 試驗結果與分析

圖2為圍壓5 MPa下巷道底板軟砂巖壓縮蠕變曲線。試樣在每一級應力加載的初期都產(chǎn)生較大的瞬時變形，偏應力為2 MPa作用下產(chǎn)生的瞬時應變量達到680 με，在偏應力4，6，8 MPa下產(chǎn)生的瞬時應變增大量依次為320，380和680 με，表明隨著偏應力水平的增大，瞬時應變逐漸增大。蠕變變形量也有增大趨勢，在2，4和6 MPa下的蠕變量，依次增大47，70，92 με.在2，4和6 MPa時由于偏應力較小都經(jīng)歷了衰減蠕變，經(jīng)過約8 h后蠕變速率趨近于零。當偏應力達到8 MPa時，經(jīng)過約8個小時的等速蠕變之后進入了加速蠕變階段，應變開始急劇增大，最后砂巖內部結構發(fā)生破壞。以上分析表明，隨著偏應力水平的增大，瞬時應變、蠕變變形與蠕變速率也隨著增大。巷道底板的偏應力水平是影響巷道底板變形規(guī)律和穩(wěn)定性的關鍵因素。

圖3為試件破壞前后照片，從圖中可知試件破壞后為單一裂紋。裂紋從試件頂部邊緣部位沿75°向下延伸至試件底部，屬于弱面剪切破壞，也是延性破壞。

2 基于分數(shù)階的非線性蠕變本構模型

元件模型雖然能較好地模擬砂巖的流變，但要準確模擬流變的每個階段的變形，必然要增加元件的數(shù)目，從而使未知參數(shù)增多。因此，文中基于分數(shù)階微分理論，建立了四元件非線性蠕變損傷模型來描述砂巖的蠕變變形特點。

2.1 基于分數(shù)階微分的元件

分數(shù)階微積分是一種研究任意階次的微分、積分算子特性及其應用的數(shù)學方法。目前應用最廣泛的3種定義：Riemann-Liouville定義、Caputo定義以及 Grunwald-Letnikov定義。文中采用的是Riemann-Liouville算子理論[20-22]。

采用分數(shù)階微分形式表述的應力-應變關系式為

σ（t）=ηdβε（t）dtβ

（1）

式中 σ為應力，MPa;ε為應變，‰;β為分數(shù)階階數(shù)，無量綱;t為時間，h;η為類粘滯系數(shù)，

MPa·hβ。

蠕變過程中應力保持恒定，對公式（1）進行Laplace變換去掉階次，得到結果在進行Laplace逆變換后，可得到應變和時間之間的表達式，考慮到應力

σ

為常數(shù)，對其結果進行積分后可得

ε（t）=ση tβΓ（1+β）

（2）

式中 Γ（1+β）=∫t0tβt-tdt，為Gamma函數(shù)。

當β=0，式（2）表現(xiàn)為彈性體，即胡克體，可模擬理想固體;當β=1，式（2）表現(xiàn)為黏性，即牛頓體，可模擬理想流體;當0<β<1，式（2）表現(xiàn)性質介于固體和流體之間，當β>1，可描述加速流變物質狀態(tài)，因此將0<β<1和β>1時，稱為軟體元件。

2.2 分數(shù)階非線性蠕變模型

巖石蠕變試驗在加載瞬間，巖石會產(chǎn)生較小

的彈性變形，這一階段變形可用彈性體描述其變形。

εe=σE，β=0

（3）

式中 E為彈性模量，MPa.經(jīng)過暫短的彈性變形后，巖石進入了黏彈性變形，這一階段的變形特征可用

0<β<1的軟體元件表達。

εve=ση1

tβ1Γ（1+β1）

，0<β<1

（4）

式中 η為黏滯系數(shù)，MPa，hβ.黏彈性變形之后，巖石進入了黏塑性變形階段，這一階段加速流變可用β>1的軟體元件描述。

εvp=ση2

（t-t*）β2Γ（1+β2）

，β>1

（5）

式中 t*為加速蠕變起始時刻，h.

根據(jù)流變的三階段變形特征，將以上3個元件進行串聯(lián)疊加，即可得到巷道底板砂巖的非線性蠕變模型，如圖4所示。

根據(jù)元件模型的狀態(tài)方程，并進行Laplace變換和逆變換后，得到非線性蠕變本構方程如下。

ε=σE+ση1

tβ1Γ（1+β1）

，σ≤σs

ε=σE+ση1

tβ1Γ（1+β1）

+

σ-σsη2

（t-t*）β2Γ（1+β2）

，

σ>σs

（6）

軟砂巖在蠕變過程中，砂巖的力學性質發(fā)生變化，尤其是加速蠕變階段，軟砂巖的損傷較為明顯，砂巖的彈性模量、粘性系數(shù)等將不再是常數(shù)，也會隨著時間的增長發(fā)生劣化，因此可引入損傷變量D，考慮軟砂巖的損傷問題，D∈[0，1]之間的數(shù)值，D=0表示砂巖沒有損傷，D=1，表示砂巖完全破壞。煤礦巷道底板軟砂巖蠕變試驗得到彈性模量的變化規(guī)律，損傷變量變化規(guī)律[23]，可簡化為

D=1-eαt

（7）

根據(jù)公式（1）中可得

ξ（t）=e-αtξ

（8）

將式（8）代入到公式（1），根據(jù)變階分數(shù)階微分算子對式（1）兩側進行積分，考慮到

σ

為常數(shù)，可以得到變階分數(shù)階元件的表達式

ε（t）=σ0ξtβE1，1+β（αt）

（9）

式中 Eα，β（z）=∞k=0

zkΓ（α+β）

為Mittag-Leffle函數(shù)。

根據(jù)公式（6）考慮蠕變損傷后，可得到非線性蠕變損傷本構方程如下

ε=σEeαt

+ση1tβ1E1，1+β1（αt），σ≤σs

ε=σEeαt

+ση1tβ1E1，1+β1（αt）

+

σ-σsη2（t-t*）β2E1，1+β2（αt）

，σ≤σs

（10）

根據(jù)廣義胡克定律，彈性體的三維本構關系為

εeij=12GSij+σm3Kδij

（11）

式中 εeij為胡克體的應變張量;Sij為偏應力張量;σm為球應力張量;δij為Krobecker函數(shù)。G和K分別為剪切模量和體積模量。

對于黏塑性體可表示為

εpij=

〈F〉η2e-αt

gσij

（12）

式中 F為屈服函數(shù);g為巖石的塑性函數(shù);σij為偏應力張量。

蠕變變形應包括黏彈性和黏塑性，根據(jù)屈服函數(shù)和等圍壓條件，可得其三維蠕變方程。

當

σ≤σs

時，可表示為

ε=σ1+2σ33Kδij+

σ1-σ33G

+

σ1-σ3η1tβ1E1，1+β1（αt）

（13）

當σ>σs時，可表示為

ε=σ1+2σ33Kδij+

σ1-σ33G

+

σ1-σ3η1tβ1E1，1+β1（αt）+

σ1-σ3-σsη2（t-t*）β2E1，1+β2（αt）

（14）

3 參數(shù)敏感性分析

為了研究蠕變本構方程中的分數(shù)階階數(shù)β的影響，公式（6）中其余參數(shù)不變，僅變化參數(shù)β，使β在（0，2）的區(qū)間變化，可得到不同階數(shù)下的蠕變曲線如圖5所示。圖 6為所有參數(shù)不變僅變化參數(shù)α，研究參數(shù)α的影響。

由圖5可知，隨著階數(shù)β的增大，蠕變速率呈現(xiàn)增大趨勢，當β<1時，呈現(xiàn)為黏彈性，可描述砂巖在低應力狀態(tài)下的穩(wěn)態(tài)蠕變過程;當1<β<2時，

呈現(xiàn)黏塑性，可描述砂巖的加速蠕變階段變形規(guī)律。

由圖6可知，參數(shù)α越大，模型參數(shù)隨著時間變化衰減速率越快，砂巖的損傷速率也越大，參數(shù)α的大小能較好的反映不同階段的損傷演化規(guī)律。

4 模型辨識

粒子群算法由模擬鳥群覓食的優(yōu)化方法。首先隨機賦予各個參數(shù)初始值，即隨機生成N組M維粒子組成的粒子群，然后通過迭代法方法找到最優(yōu)解。每個粒子即參數(shù)在解空間同時向兩點接近，一是能夠使全局最優(yōu)解，其次獲得個體最優(yōu)解。

采用粒子群算法和最小二乘法聯(lián)合反演的方法對分級加載蠕變模型參數(shù)進行辨識[23-24]，實施步驟為

1）利用改進粒子群算法對分級加載蠕變參數(shù)先進行參數(shù)辨識。

2）將粒子群算法的辨識結果作為初始值再進行最小二乘法反演。

分數(shù)階模型各參數(shù)擬合結果見表1.分數(shù)階模型擬合曲線如圖7所示，由圖可知，考慮損傷的分數(shù)階微分模型與試驗曲線吻合度較高，模型能夠很好描述巷道底板軟砂巖的衰減、穩(wěn)態(tài)和加速三階段的變形特點，尤其是描述加速階段的變形，分數(shù)階微分的數(shù)學特性相對于Burgers模型，描述砂巖加速蠕變具有明顯的優(yōu)勢。通過表1可知，分數(shù)階微分模型相對于其他模型具有參數(shù)少的特點。隨著偏應力增大，參數(shù)β1逐漸變大，表明巷道底板砂巖的蠕變速率逐漸增大;隨著偏應力增大，參數(shù)α逐漸增大，表明損傷變量逐漸增大，即損傷逐漸加劇。當偏應力較小時各階段的損傷差別較小，當偏應力達到其長期強度時參數(shù)變化較大，表明此階段損傷相對較大，因此控制砂巖的偏應力水平是控制砂巖蠕變變形和損傷程度的關鍵因素。

5 結 論

1）砂巖三軸壓縮蠕變試驗表明，隨著偏應力水平的增大，瞬時應變、蠕變變形與蠕變速率也隨之增大。參數(shù)α逐漸增大，表明損傷變量逐漸增大，即損傷逐漸加劇。當偏應力較小時各階段的損傷差別較小，當偏應力達到其長期強度時參數(shù)變化較大，表明此階段損傷相對較大，因此控制砂巖的偏應力水平是控制砂巖蠕變變形和損傷程度的關鍵因素。

2）基于分數(shù)階Abel 黏壺元件，引入損傷變量建立了非定常分數(shù)階微分蠕變損傷模型，模型能夠描述軟砂巖不同階段蠕變變形規(guī)律。尤其描述軟砂巖加速段變形規(guī)律與傳統(tǒng)的Burgers模型相比，具有一定的優(yōu)勢，且具有參數(shù)少，并能反映不同階段模型參數(shù)損傷規(guī)律的特點。

3）采用粒子群算法和最小二乘法對非定常分數(shù)階蠕變模型進行了驗證，結果表明，模型能很好描述軟砂巖的蠕變變形特點，尤其是描述砂巖加速階段變形特點具有較大的優(yōu)勢。研究結果對相關工程具有一定的應用價值。

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