柔性懸臂結構極點配置阻尼設計與振動控制

程智 潘穎 張婷 劉彬

摘 要：隨著航天航空技術的發(fā)展，航天航空等領域內(nèi)智能結構的運轉(zhuǎn)強度與工作精度的要求達到了新的高度，由于柔性懸臂結構自身存在結構阻尼特性，影響系統(tǒng)穩(wěn)定的輸出狀況，大程度地縮短其使用周期。為研究柔性懸臂結構的振動特性，以智能懸臂梁結構為研究對象，首先通過動力學方程分析懸臂梁振動特性，壓電陶瓷片力矩方程結合振型疊加法推導出四階模態(tài)的懸臂梁振動微分方程，并用ANSYS有限元驗證模型的正確性，然后運用極點配置控制算法給定智能懸臂梁結構初始位移激勵使其做自由振動，采集位移信號作為輸入來產(chǎn)生相應的控制電壓抑制智能懸臂梁結構的自由振動，并通過仿真和實驗證明極點配置控制算法的可靠性。結果表明：數(shù)值仿真中，輸入信號為6 mm時，智能懸臂梁結構輸出位移能夠在5 s內(nèi)迅速衰減保持在合理范圍，控制電壓也在5 s內(nèi)趨于穩(wěn)定;實驗分析中，在初始位移激勵為6 mm時，智能懸臂梁結構輸出位移響應在6 s內(nèi)迅速衰減保持在合理范圍，其控制電壓也在6 s內(nèi)趨于穩(wěn)定;數(shù)值仿真和實驗分析的結果基本一致表明了極點配置控制算法能夠切實有效的控制智能懸臂梁結構的自由振動。關鍵詞：智能結構;多階模態(tài);極點配置控制;振動控制中圖分類號：TP 29

文獻標志碼：A

文章編號：1672-9315（2020）06-01081-07

DOI：10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2020.0619開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Damping design and vibration control of flexible

cantilever structure pole placement

CHENG Zhi1，PAN Ying1，ZHANG Ting1，LIU Bin2

（1.College of Mechanical and Automotive Engineering，Shanghai University of Engineering Science，Shanghai 201620，China;

2.Xian Satellite Control Center，Xian 710043，China）

Abstract：With the development of aerospace technology，the operation strength and working accuracy of intelligent structure have made great progress in aerospace and other fields.Due to the modal damping characteristics of flexible cantilever structure，the stable output of the system is affected，with its service cycle? greatly shortened.To investigate the vibration characteristics of flexible cantilever structure，intelligent cantilever beam structure is taken as the research object.Firstly the dynamic equation is used to analyze the dynamic characteristics.The piezoelectric ceramic chip torque equation is combined with the modal superposition method of fourth order modal to ratiocinate the dynamic differential equations，and use ANSYS finite element model is proved to be correct using ANSYS，and then using the pole placement control algorithm for a given initial displacement excitation to do intelligent cantilever beam structure free vibration，collect displacement signals as the input to generate the corresponding control voltage suppression intelligent free vibration of cantilever beam structure，and the simulation and experiment prove? the reliability of the pole placement control algorithm.The results show that：in the numerical simulation，when the input signal is 6mm，the output displacement of the intelligent cantilever beam structure can rapidly attenuate within a reasonable range within 5 s，and the control voltage tends to be stable within 5 s.In the experimental analysis，when the initial displacement excitation is 6 mm，the output displacement response of the intelligent cantilever beam structure rapidly attenuates within a reasonable range within 6 s，and its control voltage tends to be stable within 6 s.The results of numerical simulation and experimental analysis show that the pole placement control algorithm can effectively control the free vibration of intelligent cantilever beam.

Key words：intelligent structure;multimode;pole placement control;vibration control

0 引 言

隨著智能結構在航天航空方面的廣泛應用，反應靈敏且驅(qū)動控制效果良好的智能結構振動控制方面的研究也愈發(fā)重要[1-2]，除了在振動方面的研究智能結構還具有檢測與健康評估的作用，對外界環(huán)境的敏銳感知和探測使得智能結構對外部結構運行狀態(tài)進行評估，進而做出準確的判斷，在通信工程、資源探測、生命體征等其他領域也有著重大的參與[3]。但智能結構的在運行過程中的振動特性影響了系統(tǒng)的的反應速度，輸出結果延時造成系統(tǒng)不能在第一時間做出控制效果，影響控制精度[4]。

常見的智能結構有壓電陶瓷片與懸臂梁運動結合[5-6]，且在振動過程中存在多階模態(tài)，各階模態(tài)的固有振動特性各不相同，實際的振動狀態(tài)可根據(jù)各階的主要模態(tài)判斷，并設計相應的振動控制器[7-9]。振動阻尼的存在有助于減小振動位移，YANG等提出的雙穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁描述壓電懸臂梁的振動特性，在簡諧激勵的作用下改變輸入電壓和振動阻尼并與傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)作比較，主要用于取得合適的磁梁間距進行能量優(yōu)化獲取能量，但可能傳入的振動與捕獲能量裝置的振動方向不一致[10-11]。因此存在不規(guī)則的振動沿著若干方向傳遞消散會減少能量轉(zhuǎn)換效率，振動現(xiàn)象未能得到有效改善方案。孫浩等以衰減系數(shù)為優(yōu)化目標采用壓電分流的方式所產(chǎn)生的阻尼效應組成諧振電路，電流通過諧振電流的電阻消耗電能進一步減小壓電陶瓷片的電壓，但提出的振動阻尼優(yōu)化僅僅考慮了一階振動模態(tài)，未考慮多階振動模態(tài)對實驗結果的影響[12]。

針對現(xiàn)有問題，分析智能結構振動現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，提升智能結構的系統(tǒng)穩(wěn)定性減少運行誤差是必不可少的?；趧恿W方程建立智能懸臂梁結構的數(shù)學模型，并確定模型的正確性是進行智能結構振動控制的基礎。極點配置控制與其他傳統(tǒng)控制相比，能夠較為清晰的展示控制邏輯，直觀性更強且具有更大的應用環(huán)境。其主要思路是利用壓電陶瓷片力矩方程結合振型疊加法[13]推導四階模態(tài)的智能懸臂梁結構振動微分方程構建模型，然后運用極點配置算法控制懸臂梁的自由振動，搭建控制系統(tǒng)[14-15]。并通過數(shù)值仿真和實驗證明，對比阻尼影響下的智能結構控制效果，驗證極點配置控制算法能有切實有效的控制自由振動。

1 智能懸臂梁結構的模型推導及驗證

1.1 智能懸臂梁結構的模型推導

在懸臂梁與智能結構相結合的條件下，引用力矩平衡和材料力學建立懸臂梁的振動微分方程，基于振型疊加法建立懸臂梁模型。由懸臂梁的力矩平衡方程與材料力學方程得

（M（x，t）+M（x，t）xdx）-M（x，t）+F0（x，t）d2x2

-

（Fs+Fsxdx）dx+m（x，t）dx=0

M（x，t）=EJ（x）2τ（x，t）

x2

（1）

式中 m（x，t）為長度梁的外力矩，N·m;V0（x）為體積的梁質(zhì)量，g/m3;

S（x）為橫截面積，m2;R為懸臂梁長度，m;F0（x，t）為分布在梁外側的外力，N;

Fs為

橫截面剪力，N;M（x，t）為x截面在任意時刻t的彎矩，N·m;E為懸臂梁的彈性模量，

Pa;J（x）為懸臂梁截面中的慣性矩，N·m;

2τ（x，t）x2

為懸臂梁在x截面處在任意時刻t的橫向加速度，m/s2.

由于實際的工作中存在阻尼，阻尼阻礙了正常的運動表現(xiàn)，分析懸臂梁振動中的阻尼特性是十分必要的[16-17]，設不同階次的阻尼為ηi，單位長度的懸臂梁的外力矩m（x，t）=0且作自由振動時對上式做分離式處理，分步求解方程中x和t的相關函數(shù)

τ（x，t）=Y（t）Z（x）

d2Ydt2=-a2Y

d4Zdx4=γ4Z，

γ4=a2V0（x）S（x）EJ（x）

（2）

由懸臂梁的初始條件Z（0）=Z′（0）=0轉(zhuǎn)換為函數(shù)求解問題，求解2個函數(shù)

cosγR與

-1coshγR

的交點問題，如圖1所示。

圖1中x=γR，由上述MATLAB擬合的函數(shù)圖像可知，兩函數(shù)的交點有無窮多個，對此我們僅分析函數(shù)的前4個交點即可完成模型的驗證，函數(shù)的交點分別是

γ1R=1.875，γ2R=4.694，

γ3R=7.855，γ4R=10.996

懸臂梁用函數(shù)交點x=γR表示振動系統(tǒng)的固有頻率為

ai=γ2i

EJ（x）V0（x）S（x）

，i=1，2，3，…

（3）

代入上式可得前四階固有頻率見表1.

結合式（2）可得振型函數(shù)Zi（x）為

Zi（x）=chγix-cosγix+φi（shγix-sinγix）

φi=-shγiR-sinγiR

chγiR+cosγiR，i=1，2，3，…

（4）

對于振動系統(tǒng)中的智能懸臂梁結構可用振型疊加法表示系統(tǒng)的連續(xù)響應，振型疊加法將多重自由度的函數(shù)分解為非有限數(shù)量多種響應的代數(shù)和，可表示為在任意位置x的振型函數(shù)和任意時刻t系統(tǒng)的廣義坐標值的乘積相疊加，方程表達式為

τ（x，t）=iZi（x）pi（t），i∈[1，∞）

（5）

不同階次的振型函數(shù)滿足正則化，故可取λi（x）=1，式中，pi（t）表示系統(tǒng)的廣義坐標值。 整理可得懸臂梁的振動微分方程為

i（t）+2ηiai（t）+a2pi（t）

=KhUi（t）[Z′i（x2）-Z′i（x1）]

（6）

壓電材料力矩

Mi（x，t）=KhUi（x，t），Kh=w1ey2Ep（d1+d2）

（7）

式中 K為壓電耦合系數(shù);Kh為系統(tǒng)轉(zhuǎn)換常數(shù)，w1為懸臂梁的寬度，m;

Ep為壓電材料的彈性模量，Pa;d1和d2分別為懸臂梁和壓電材料的厚度，

m.

引入連續(xù)非時變系統(tǒng)的概念即振動系統(tǒng)的輸入為控制電壓Ui（t），對pi（t）進行轉(zhuǎn)置處理可得常系統(tǒng)狀態(tài)表達式為

Lin（t）

=

pi（t）

i（t）

（8）

振動系統(tǒng)的輸入電壓矩陣為

u（t）=[Ui（t）]

（9）

對應于狀態(tài)空間模型可列方程式為

in（t）=ALin（t）+Bu（t）+c（t）

c（t）=

0

（t）

=

0

-n2（t）

Lout（t）=XLin（t）

（10）

對于上式X代表傳感矩陣可表示為

X=[ 0]

（11）

式中 ={kh[Z′i（x2）-Z′i（x1）}

懸臂梁輸入狀態(tài)方程的向量矩陣可表示為

in（t）=

01

-a2-2ηa

Lin（t）

+

kα

0

Z′i（x2）-Z′i（x1）u（t）

（12）

輸出電壓方程可轉(zhuǎn)化為

Lout（t）=[kh[Z′i（x2）-Z′i（x1）] 0]Lin（t）

（13）

1.2 基于ANSYS的模型驗證

圖2是利用ANSYS有限元分析得到的懸臂梁前四階振型圖[18-20]，通過有限元仿真得到的振型圖可以較為直觀的看出懸臂梁的動態(tài)特性，進一步驗證模型的正確性。通過表2固有頻率理論值與ANSYS求解值的分析結果，可以看到數(shù)據(jù)比值誤差在1%內(nèi)，則可以說明該模型能夠較好的描述懸臂梁動態(tài)特性。

2 控制器的設計

2.1 極點配置控制穩(wěn)定性理論

在線性定常的振動系統(tǒng)中，極點的位置布置不但能夠極大程度的影響整體系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的表現(xiàn)，對應于線性定常的振動系統(tǒng)中常見的表現(xiàn)于超調(diào)量、振蕩次數(shù)、穩(wěn)定時間等方面。極點配置方法，移動極點使其處于合理的位置對于閉環(huán)振動系統(tǒng)實現(xiàn)目標，達到既定的性能要求，極點配置控制律（pole placement control，PPC）具有魯棒性強、適用廣泛、易于考慮條件約束等優(yōu)點。

2.2 極點配置控制設計

從圖2可以看出，阻尼比在0.6～0.8時可獲得較好的系統(tǒng)動態(tài)，使得系統(tǒng)趨于穩(wěn)定的速度更加快速。理論上系統(tǒng)阻尼系數(shù)應盡可能的接近0.707，但由于供能有限，這個值是達不到的，所以應盡可能的趨近0.707，首先取阻尼值0.65進行驗證，實際工作中的阻尼系數(shù)的參數(shù)值應由PPC控制系統(tǒng)的參數(shù)進一步修正，根據(jù)不同的阻尼系數(shù)的參數(shù)值設定智能懸臂梁結構控制電壓的極限值。

所設計的控制器可能消除被控對象智能懸臂梁的部分零點，但從實際工作出發(fā)，控制器的零點只能消除穩(wěn)定的被控對象，對于不穩(wěn)定或不符合預期的零點需盡可能避免抵消。我們設計極點配置控制如下

Fu（k）=Ryr（k+d）-Gy（k）

（14）

式中 y（k）為振動系統(tǒng)的輸入信號即位移;u（k）為振動系統(tǒng)的輸出信號即電壓信號;F，G，R為待定的系統(tǒng)參數(shù)矩陣;yr為參考輸入;d為純延時。

智能懸臂梁振動結構中阻尼屬于小阻尼體系，可用下式表示實時阻尼比大小

η=12nπl(wèi)naiai+1

（15）

式中 ai和ai+1分別對應于智能懸臂梁振動系統(tǒng)中自由振動位移的第i個和第i+1個的位移最大值。

為了求解

F，G，R，可將T設為期望的閉環(huán)特征多項式，A和B為期望傳遞函數(shù)的分母因子和分子因子，F(xiàn)，G為待求多項式，進一步求解可將閉環(huán)特征多項式方程轉(zhuǎn)化為

AF=T-z-dBG

（16）

式中 A和B的次數(shù)分別為n1，n2，

F，G對用的次數(shù)可表示為ng=n1-1，nf=n2-1.由于系統(tǒng)的參數(shù)不穩(wěn)定零點與控制器不應該完全抵消，可將A和B矩陣分為2部分，分別是阻尼良好的多項式矩陣和阻尼差的多項式矩陣，保證系統(tǒng)的輸出無偏差。

根據(jù)系統(tǒng)條件要求，確定觀測器多項式

A0，用于對比響應時間，將初始位移數(shù)據(jù)輸入給PPC控制器，確定采集實際輸出y（k），并通過計算得到控制電壓u（k）.

3 仿真驗證和實驗驗證

3.1 仿真驗證

基于極點配置控制算法（PPC）理論，采用MATLAB/SIMULINK編程實現(xiàn)對智能懸臂梁系統(tǒng)進行仿真分析，基于智能懸臂梁系統(tǒng)的方程和極點配置控制理論得到控制系統(tǒng)的參數(shù)，見表3.

由前面的模型推導可知，四階模態(tài)中對應狀態(tài)方程的空間向量次數(shù)應為8，相應的控制器的參數(shù)階數(shù)應為7.仿真實驗中，阻尼η取0.66，純延時d設為1，對于狀態(tài)模型可將輸入信號y設定為0，添加一個零時刻的位移激勵，在該條件下智能懸臂梁作自由振動，仿真結果如圖3，4所示。從仿真結果可以得到，在對智能懸臂梁結構施加控制電壓后，智能懸臂梁結構的輸出位移在5 s內(nèi)迅速減小，在5 s后輸出位移恒定為0，證明PPC控制算法對智能懸臂梁結構的振動控制是有效的。

3.2 實驗驗證

3.2.1 實驗原理及裝置

實驗裝置如圖5所示，實驗器材有：壓電陶瓷片、HPV功率放大器、電壓轉(zhuǎn)換器、LK-G30激光位移傳感器、MCC_USB 1808X數(shù)據(jù)采集器和計算機LABVIEW軟件組成的實驗平臺。

實驗原理如下：壓電陶瓷片緊附于懸臂梁上并隨之運動，給懸臂梁施加一個初始位移激勵，由于壓電陶瓷片的材料特性，在有傳感作用的同時又兼顧驅(qū)動作用，進而壓電陶瓷片內(nèi)部產(chǎn)生與運動方向相反的電荷抑制懸臂梁的振動。利用數(shù)據(jù)采集器采集運動過程中的電壓波動變化，位移的變化由激光位移傳感器采集，LABVIEW作為實時編程控制工具將采集到的電壓和位移信號輸入，由極點配置控制程序?qū)冶哿旱恼駝舆M行抑制。

3.2.2 實驗結果

實驗過程中，需要盡可能的避免誤差，減少外部的不穩(wěn)定因素。實驗前需對激光位移傳感器進行清零和輸入電壓信號的清零，并需要多次反復實驗來選擇合適的實驗數(shù)據(jù)，結果如圖6，7所示。

從圖6，圖7可以看出，在初始振動位移為6 mm時，智能懸臂梁結構在控制電壓的作用下輸出位移在6 s內(nèi)迅速衰減，從6 mm迅速衰減至2 mm，短時間內(nèi)輸出位移減小了66%;與此同時智能懸臂梁結構的控制電壓在控制初始階段有明顯激增，控制電壓在6 s內(nèi)逐漸減小趨于穩(wěn)定達到良好的控制效果。由于實際工作不可能存在完全真空的理論環(huán)境，實驗過程中智能懸臂梁結構的振動還有受到空氣阻力、噪聲等外界因素的干擾，故仿真結果與實驗結果存在一定程度的誤差。智能懸臂梁結構的振動情況得到明顯改善，達到預期實驗效果，證明PPC控制算法對智能懸臂梁結構的振動控制是有效的。

4 結 論

1）壓電材料與懸臂梁結構組成的智能懸臂梁結構中的壓電材料對實驗結果有著重大影響，將輸出位移減小了66%，壓電材料能夠改善智能懸臂梁結構的振動現(xiàn)象。

2）在初始位移信號為6 mm時，數(shù)值仿真和實驗驗證結果在5 s內(nèi)輸出位移迅速衰減，結果的一致性證明了PPC控制算法的可靠性，可以進行自由振動下的智能懸臂梁結構的主動振動控制。

參考文獻（References）：

[1]

楊正巖，張佳奇，高東岳，等.航空航天智能材料與智能結構研究進展[J].航空制造技術，2017，60（17）：36-48.YANG Zheng-yan，ZHANG Jia-qi，GAO Dong-yue，et al.Advance of aerospace smart material and structure[J].Aeronautical Manufacturing Technology，2017，60（17）：36-48.

[2]孟光，周徐斌.衛(wèi)星微振動及控制技術進展[J].航空學報，2015，36（8）：2609-2619.MENG Guang，ZHOU Xu-bin.Progress review of satellite micro-vibration and control[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2015，36（8）：2609-2619.

[3]付云.柔性航天器邊界振動控制研究[D].廣州：華南理工大學，2019.

FU Yun.Research on boundary vibration control of flexible spacecraft[D].Guangzhou：South China University of Technology，2019.

[4]耿勝男，馮輝，王星來，等.航天器智能結構與先進傳感技術[J].遙測遙控，2017，38（5）：44-48.GENG Sheng-nan，F(xiàn)ENG Hui，WANG Xing-lai，et al.Smart structures and advanced sensing technologies in space vehicles[J].Journal of Telemetry，2017，38（5）：44-48.

[5]AHMAD S F，EMAD A.Thermoelastic vibration and maneuver control of smart satellites[J].

Aircraft Engineering & Aerospace Technology，

2017，89（3）：477-490.

[6]吳曼喬，朱繼宏，楊開科，等.面向壓電智能結構精確變形的協(xié)同優(yōu)化設計方法[J].力學學報，2017，49（2）：380-389.WU Man-qiao，ZHU Ji-hong，YANG Kai-ke，et al.Integrated layout and topology optimization design of piezoelectric smart structure in accurate shape control[J].Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2017，49（2）：380-389.

[7]張新亞，雷曉燕，羅錕.TMD在簡支箱梁多階模態(tài)振動控制中的應用[J].噪聲與振動控制，2019，39（5）：78-83.ZHANG Xin-ya，LEI Xiao-yan，LUO Kun.Application of TMD in multi-order modal vibration control of a simply supported box girder[J].Noise and Vibration Control，2019，39（5）：78-83.

[8]劉華中.基于張量的大數(shù)據(jù)高效計算及多模態(tài)分析方法研究[D].武漢：華中科技大學，2018.LIU Hua-zhong.A tensor based big data efficient computation and multimodal analysis approach[D].Wuhan：Huazhong University of Science and Technology，2018.

[9]陳文英，褚福磊，閻紹澤.基于自適應遺傳算法分步優(yōu)化設計智能桁架結構自抗擾振動控制器[J].機械工程學報，2010，46（7）：74-81.

CHEN Wen-ying，CHU Fu-lei，YAN Shao-ze.Stepwise optimal design of active disturbances rejection vibration controller for intelligent truss structure based on adaptive gene tic algorithm[J].Journal of Mechanical Engineering，2010，46（7）：74-81.

[10]楊炯炯.一種雙穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁發(fā)電裝置的動力學特性研究[D].西安：西安理工大學，2019.YANG Jiong-jiong.Dynamic characteristics of a bistable piezoelectric cantilever generator[D].Xian：Xian University of Technology，2019.

[11]高毓璣.非線性雙穩(wěn)壓電懸臂梁振動響應及能量采集研究[D].天津：天津大學，2017.GAO Yu-ji.Studies on nonlinear bistable piezoelectric cantilever vibration energy harvesting[D].Tianjin：Tianjin University，2017.

[12]孫浩，楊智春，于哲峰.基于極點配置參數(shù)優(yōu)化的壓電分流阻尼抑振研究[J].西北工業(yè)大學學報，2006，24（1）：106-110.SUN Hao，YANG Zhi-chun，YU Zhe-feng.Vibration control with optimized piezoelectric shunt damping system using pole placement[J].Journal of Northwestern Polytechnical University，2006，24（1）：106-110.

[13]CORRADO G，UBALDO C，EMILIANO C，et al.Fast high fidelity CFD/CSM fluid structure interaction using RBF mesh morphing and modal superposition method[J].Aircraft Engineering & Aerospace Technology，2019，91（6）：893-904.

[14]周鵬飛，崔玉國，惠相君，等.壓電微動平臺的極點配置PID控制[J].壓電與聲光，2019，41（6）：830-834.ZHOU Peng-fei，CUI Yu-guo，HUI Xiang-jun，et al.Pole configuration PID control of a piezoelectric micro-positioning stage[J].Piezoelectrics & Acoustooptics，2019，41（6）：830-834.

[15]DING Y S，XIAO X.Parameter tuning methods based on pole placement for PI controllers of flexible loads driven by PMSM[J].Proceedings of the Chinese Society for Electrical Engineering，2017，37（4）：1225-1239.

[16]謝偉平，郭漫，孫亮明.線彈性范圍內(nèi)鋼懸臂梁的阻尼特性試驗研究[J].振動工程學報，2016，29（6）：1011-1019.XIE Wei-ping，GUO Man，SUN Liang-ming.Experi-mental study on damping characteristics of the steel cantilever beam in the linear elastic range[J].Journal of Vibration Engineering，2016，29（6）：1011-1019.

[17]吳晴晴.粘彈復合結構動態(tài)力學參數(shù)理論及應用研究[D].西安：西北工業(yè)大學，2018.WU Qing-qing.Theoretical and application study of dynamic mechanical properties of viscoelastic composite structures[D].Xian：Northwestern Polytechnical University，2018.

[18]王飛朝.基于有限元模型的結構動力修改程序開發(fā)[J].西安科技大學學報，2007，27（3）：443-447.WANG Fei-chao.Program development of dynamic modification based on FEM model[J].Journal of Xian University of Science and Technology，2007，27（3）：443-447.

[19]李海峰，吳冀川，劉建波，等.有限元網(wǎng)格剖分與網(wǎng)格質(zhì)量判定指標[J].中國機械工程，2012，23（3）：368-377.LI Hai-feng，WU Ji-chuan，LIU Jian-bo，et al.Finite element mesh generation and decision criteria of mesh quality[J].China Mechanical Engineering，2012，23（3）：368-377.

[20]于水情，唐映德.網(wǎng)絡化切換系統(tǒng)中狀態(tài)觀測器的設計[J].西安科技大學學報，2007，27（1）：130-133，142.YU Shui-qing，TANG Ying-de.Design of state observer of networked switching systems[J].Journal of Xian University of Science and Technology，2007，27（1）：130-133，142.