柔性懸臂結(jié)構(gòu)極點(diǎn)配置阻尼設(shè)計(jì)與振動(dòng)控制

程智 潘穎 張婷 劉彬

摘 要：隨著航天航空技術(shù)的發(fā)展，航天航空等領(lǐng)域內(nèi)智能結(jié)構(gòu)的運(yùn)轉(zhuǎn)強(qiáng)度與工作精度的要求達(dá)到了新的高度，由于柔性懸臂結(jié)構(gòu)自身存在結(jié)構(gòu)阻尼特性，影響系統(tǒng)穩(wěn)定的輸出狀況，大程度地縮短其使用周期。為研究柔性懸臂結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，以智能懸臂梁結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，首先通過動(dòng)力學(xué)方程分析懸臂梁振動(dòng)特性，壓電陶瓷片力矩方程結(jié)合振型疊加法推導(dǎo)出四階模態(tài)的懸臂梁振動(dòng)微分方程，并用ANSYS有限元驗(yàn)證模型的正確性，然后運(yùn)用極點(diǎn)配置控制算法給定智能懸臂梁結(jié)構(gòu)初始位移激勵(lì)使其做自由振動(dòng)，采集位移信號(hào)作為輸入來產(chǎn)生相應(yīng)的控制電壓抑制智能懸臂梁結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)，并通過仿真和實(shí)驗(yàn)證明極點(diǎn)配置控制算法的可靠性。結(jié)果表明：數(shù)值仿真中，輸入信號(hào)為6 mm時(shí)，智能懸臂梁結(jié)構(gòu)輸出位移能夠在5 s內(nèi)迅速衰減保持在合理范圍，控制電壓也在5 s內(nèi)趨于穩(wěn)定;實(shí)驗(yàn)分析中，在初始位移激勵(lì)為6 mm時(shí)，智能懸臂梁結(jié)構(gòu)輸出位移響應(yīng)在6 s內(nèi)迅速衰減保持在合理范圍，其控制電壓也在6 s內(nèi)趨于穩(wěn)定;數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)分析的結(jié)果基本一致表明了極點(diǎn)配置控制算法能夠切實(shí)有效的控制智能懸臂梁結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)。關(guān)鍵詞：智能結(jié)構(gòu);多階模態(tài);極點(diǎn)配置控制;振動(dòng)控制中圖分類號(hào)：TP 29

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-9315（2020）06-01081-07

DOI：10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2020.0619開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

Damping design and vibration control of flexible

cantilever structure pole placement

CHENG Zhi1，PAN Ying1，ZHANG Ting1，LIU Bin2

（1.College of Mechanical and Automotive Engineering，Shanghai University of Engineering Science，Shanghai 201620，China;

2.Xian Satellite Control Center，Xian 710043，China）

Abstract：With the development of aerospace technology，the operation strength and working accuracy of intelligent structure have made great progress in aerospace and other fields.Due to the modal damping characteristics of flexible cantilever structure，the stable output of the system is affected，with its service cycle? greatly shortened.To investigate the vibration characteristics of flexible cantilever structure，intelligent cantilever beam structure is taken as the research object.Firstly the dynamic equation is used to analyze the dynamic characteristics.The piezoelectric ceramic chip torque equation is combined with the modal superposition method of fourth order modal to ratiocinate the dynamic differential equations，and use ANSYS finite element model is proved to be correct using ANSYS，and then using the pole placement control algorithm for a given initial displacement excitation to do intelligent cantilever beam structure free vibration，collect displacement signals as the input to generate the corresponding control voltage suppression intelligent free vibration of cantilever beam structure，and the simulation and experiment prove? the reliability of the pole placement control algorithm.The results show that：in the numerical simulation，when the input signal is 6mm，the output displacement of the intelligent cantilever beam structure can rapidly attenuate within a reasonable range within 5 s，and the control voltage tends to be stable within 5 s.In the experimental analysis，when the initial displacement excitation is 6 mm，the output displacement response of the intelligent cantilever beam structure rapidly attenuates within a reasonable range within 6 s，and its control voltage tends to be stable within 6 s.The results of numerical simulation and experimental analysis show that the pole placement control algorithm can effectively control the free vibration of intelligent cantilever beam.

Key words：intelligent structure;multimode;pole placement control;vibration control

0 引 言

隨著智能結(jié)構(gòu)在航天航空方面的廣泛應(yīng)用，反應(yīng)靈敏且驅(qū)動(dòng)控制效果良好的智能結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制方面的研究也愈發(fā)重要[1-2]，除了在振動(dòng)方面的研究智能結(jié)構(gòu)還具有檢測(cè)與健康評(píng)估的作用，對(duì)外界環(huán)境的敏銳感知和探測(cè)使得智能結(jié)構(gòu)對(duì)外部結(jié)構(gòu)運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行評(píng)估，進(jìn)而做出準(zhǔn)確的判斷，在通信工程、資源探測(cè)、生命體征等其他領(lǐng)域也有著重大的參與[3]。但智能結(jié)構(gòu)的在運(yùn)行過程中的振動(dòng)特性影響了系統(tǒng)的的反應(yīng)速度，輸出結(jié)果延時(shí)造成系統(tǒng)不能在第一時(shí)間做出控制效果，影響控制精度[4]。

常見的智能結(jié)構(gòu)有壓電陶瓷片與懸臂梁運(yùn)動(dòng)結(jié)合[5-6]，且在振動(dòng)過程中存在多階模態(tài)，各階模態(tài)的固有振動(dòng)特性各不相同，實(shí)際的振動(dòng)狀態(tài)可根據(jù)各階的主要模態(tài)判斷，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的振動(dòng)控制器[7-9]。振動(dòng)阻尼的存在有助于減小振動(dòng)位移，YANG等提出的雙穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁描述壓電懸臂梁的振動(dòng)特性，在簡諧激勵(lì)的作用下改變輸入電壓和振動(dòng)阻尼并與傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)作比較，主要用于取得合適的磁梁間距進(jìn)行能量優(yōu)化獲取能量，但可能傳入的振動(dòng)與捕獲能量裝置的振動(dòng)方向不一致[10-11]。因此存在不規(guī)則的振動(dòng)沿著若干方向傳遞消散會(huì)減少能量轉(zhuǎn)換效率，振動(dòng)現(xiàn)象未能得到有效改善方案。孫浩等以衰減系數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)采用壓電分流的方式所產(chǎn)生的阻尼效應(yīng)組成諧振電路，電流通過諧振電流的電阻消耗電能進(jìn)一步減小壓電陶瓷片的電壓，但提出的振動(dòng)阻尼優(yōu)化僅僅考慮了一階振動(dòng)模態(tài)，未考慮多階振動(dòng)模態(tài)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響[12]。

針對(duì)現(xiàn)有問題，分析智能結(jié)構(gòu)振動(dòng)現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，提升智能結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)穩(wěn)定性減少運(yùn)行誤差是必不可少的。基于動(dòng)力學(xué)方程建立智能懸臂梁結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，并確定模型的正確性是進(jìn)行智能結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制的基礎(chǔ)。極點(diǎn)配置控制與其他傳統(tǒng)控制相比，能夠較為清晰的展示控制邏輯，直觀性更強(qiáng)且具有更大的應(yīng)用環(huán)境。其主要思路是利用壓電陶瓷片力矩方程結(jié)合振型疊加法[13]推導(dǎo)四階模態(tài)的智能懸臂梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)微分方程構(gòu)建模型，然后運(yùn)用極點(diǎn)配置算法控制懸臂梁的自由振動(dòng)，搭建控制系統(tǒng)[14-15]。并通過數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)證明，對(duì)比阻尼影響下的智能結(jié)構(gòu)控制效果，驗(yàn)證極點(diǎn)配置控制算法能有切實(shí)有效的控制自由振動(dòng)。

1 智能懸臂梁結(jié)構(gòu)的模型推導(dǎo)及驗(yàn)證

1.1 智能懸臂梁結(jié)構(gòu)的模型推導(dǎo)

在懸臂梁與智能結(jié)構(gòu)相結(jié)合的條件下，引用力矩平衡和材料力學(xué)建立懸臂梁的振動(dòng)微分方程，基于振型疊加法建立懸臂梁模型。由懸臂梁的力矩平衡方程與材料力學(xué)方程得

（M（x，t）+M（x，t）xdx）-M（x，t）+F0（x，t）d2x2

-

（Fs+Fsxdx）dx+m（x，t）dx=0

M（x，t）=EJ（x）2τ（x，t）

x2

（1）

式中 m（x，t）為長度梁的外力矩，N·m;V0（x）為體積的梁質(zhì)量，g/m3;

S（x）為橫截面積，m2;R為懸臂梁長度，m;F0（x，t）為分布在梁外側(cè)的外力，N;

Fs為

橫截面剪力，N;M（x，t）為x截面在任意時(shí)刻t的彎矩，N·m;E為懸臂梁的彈性模量，

Pa;J（x）為懸臂梁截面中的慣性矩，N·m;

2τ（x，t）x2

為懸臂梁在x截面處在任意時(shí)刻t的橫向加速度，m/s2.

由于實(shí)際的工作中存在阻尼，阻尼阻礙了正常的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)，分析懸臂梁振動(dòng)中的阻尼特性是十分必要的[16-17]，設(shè)不同階次的阻尼為ηi，單位長度的懸臂梁的外力矩m（x，t）=0且作自由振動(dòng)時(shí)對(duì)上式做分離式處理，分步求解方程中x和t的相關(guān)函數(shù)

τ（x，t）=Y（t）Z（x）

d2Ydt2=-a2Y

d4Zdx4=γ4Z，

γ4=a2V0（x）S（x）EJ（x）

（2）

由懸臂梁的初始條件Z（0）=Z′（0）=0轉(zhuǎn)換為函數(shù)求解問題，求解2個(gè)函數(shù)

cosγR與

-1coshγR

的交點(diǎn)問題，如圖1所示。

圖1中x=γR，由上述MATLAB擬合的函數(shù)圖像可知，兩函數(shù)的交點(diǎn)有無窮多個(gè)，對(duì)此我們僅分析函數(shù)的前4個(gè)交點(diǎn)即可完成模型的驗(yàn)證，函數(shù)的交點(diǎn)分別是

γ1R=1.875，γ2R=4.694，

γ3R=7.855，γ4R=10.996

懸臂梁用函數(shù)交點(diǎn)x=γR表示振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率為

ai=γ2i

EJ（x）V0（x）S（x）

，i=1，2，3，…

（3）

代入上式可得前四階固有頻率見表1.

結(jié)合式（2）可得振型函數(shù)Zi（x）為

Zi（x）=chγix-cosγix+φi（shγix-sinγix）

φi=-shγiR-sinγiR

chγiR+cosγiR，i=1，2，3，…

（4）

對(duì)于振動(dòng)系統(tǒng)中的智能懸臂梁結(jié)構(gòu)可用振型疊加法表示系統(tǒng)的連續(xù)響應(yīng)，振型疊加法將多重自由度的函數(shù)分解為非有限數(shù)量多種響應(yīng)的代數(shù)和，可表示為在任意位置x的振型函數(shù)和任意時(shí)刻t系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)值的乘積相疊加，方程表達(dá)式為

τ（x，t）=iZi（x）pi（t），i∈[1，∞）

（5）

不同階次的振型函數(shù)滿足正則化，故可取λi（x）=1，式中，pi（t）表示系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)值。 整理可得懸臂梁的振動(dòng)微分方程為

i（t）+2ηiai（t）+a2pi（t）

=KhUi（t）[Z′i（x2）-Z′i（x1）]

（6）

壓電材料力矩

Mi（x，t）=KhUi（x，t），Kh=w1ey2Ep（d1+d2）

（7）

式中 K為壓電耦合系數(shù);Kh為系統(tǒng)轉(zhuǎn)換常數(shù)，w1為懸臂梁的寬度，m;

Ep為壓電材料的彈性模量，Pa;d1和d2分別為懸臂梁和壓電材料的厚度，

m.

引入連續(xù)非時(shí)變系統(tǒng)的概念即振動(dòng)系統(tǒng)的輸入為控制電壓Ui（t），對(duì)pi（t）進(jìn)行轉(zhuǎn)置處理可得常系統(tǒng)狀態(tài)表達(dá)式為

Lin（t）

=

pi（t）

i（t）

（8）

振動(dòng)系統(tǒng)的輸入電壓矩陣為

u（t）=[Ui（t）]

（9）

對(duì)應(yīng)于狀態(tài)空間模型可列方程式為

in（t）=ALin（t）+Bu（t）+c（t）

c（t）=

0

（t）

=

0

-n2（t）

Lout（t）=XLin（t）

（10）

對(duì)于上式X代表傳感矩陣可表示為

X=[ 0]

（11）

式中 ={kh[Z′i（x2）-Z′i（x1）}

懸臂梁輸入狀態(tài)方程的向量矩陣可表示為

in（t）=

01

-a2-2ηa

Lin（t）

+

kα

0

Z′i（x2）-Z′i（x1）u（t）

（12）

輸出電壓方程可轉(zhuǎn)化為

Lout（t）=[kh[Z′i（x2）-Z′i（x1）] 0]Lin（t）

（13）

1.2 基于ANSYS的模型驗(yàn)證

圖2是利用ANSYS有限元分析得到的懸臂梁前四階振型圖[18-20]，通過有限元仿真得到的振型圖可以較為直觀的看出懸臂梁的動(dòng)態(tài)特性，進(jìn)一步驗(yàn)證模型的正確性。通過表2固有頻率理論值與ANSYS求解值的分析結(jié)果，可以看到數(shù)據(jù)比值誤差在1%內(nèi)，則可以說明該模型能夠較好的描述懸臂梁動(dòng)態(tài)特性。

2 控制器的設(shè)計(jì)

2.1 極點(diǎn)配置控制穩(wěn)定性理論

在線性定常的振動(dòng)系統(tǒng)中，極點(diǎn)的位置布置不但能夠極大程度的影響整體系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的表現(xiàn)，對(duì)應(yīng)于線性定常的振動(dòng)系統(tǒng)中常見的表現(xiàn)于超調(diào)量、振蕩次數(shù)、穩(wěn)定時(shí)間等方面。極點(diǎn)配置方法，移動(dòng)極點(diǎn)使其處于合理的位置對(duì)于閉環(huán)振動(dòng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，達(dá)到既定的性能要求，極點(diǎn)配置控制律（pole placement control，PPC）具有魯棒性強(qiáng)、適用廣泛、易于考慮條件約束等優(yōu)點(diǎn)。

2.2 極點(diǎn)配置控制設(shè)計(jì)

從圖2可以看出，阻尼比在0.6～0.8時(shí)可獲得較好的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)，使得系統(tǒng)趨于穩(wěn)定的速度更加快速。理論上系統(tǒng)阻尼系數(shù)應(yīng)盡可能的接近0.707，但由于供能有限，這個(gè)值是達(dá)不到的，所以應(yīng)盡可能的趨近0.707，首先取阻尼值0.65進(jìn)行驗(yàn)證，實(shí)際工作中的阻尼系數(shù)的參數(shù)值應(yīng)由PPC控制系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)一步修正，根據(jù)不同的阻尼系數(shù)的參數(shù)值設(shè)定智能懸臂梁結(jié)構(gòu)控制電壓的極限值。

所設(shè)計(jì)的控制器可能消除被控對(duì)象智能懸臂梁的部分零點(diǎn)，但從實(shí)際工作出發(fā)，控制器的零點(diǎn)只能消除穩(wěn)定的被控對(duì)象，對(duì)于不穩(wěn)定或不符合預(yù)期的零點(diǎn)需盡可能避免抵消。我們?cè)O(shè)計(jì)極點(diǎn)配置控制如下

Fu（k）=Ryr（k+d）-Gy（k）

（14）

式中 y（k）為振動(dòng)系統(tǒng)的輸入信號(hào)即位移;u（k）為振動(dòng)系統(tǒng)的輸出信號(hào)即電壓信號(hào);F，G，R為待定的系統(tǒng)參數(shù)矩陣;yr為參考輸入;d為純延時(shí)。

智能懸臂梁振動(dòng)結(jié)構(gòu)中阻尼屬于小阻尼體系，可用下式表示實(shí)時(shí)阻尼比大小

η=12nπl(wèi)naiai+1

（15）

式中 ai和ai+1分別對(duì)應(yīng)于智能懸臂梁振動(dòng)系統(tǒng)中自由振動(dòng)位移的第i個(gè)和第i+1個(gè)的位移最大值。

為了求解

F，G，R，可將T設(shè)為期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式，A和B為期望傳遞函數(shù)的分母因子和分子因子，F(xiàn)，G為待求多項(xiàng)式，進(jìn)一步求解可將閉環(huán)特征多項(xiàng)式方程轉(zhuǎn)化為

AF=T-z-dBG

（16）

式中 A和B的次數(shù)分別為n1，n2，

F，G對(duì)用的次數(shù)可表示為ng=n1-1，nf=n2-1.由于系統(tǒng)的參數(shù)不穩(wěn)定零點(diǎn)與控制器不應(yīng)該完全抵消，可將A和B矩陣分為2部分，分別是阻尼良好的多項(xiàng)式矩陣和阻尼差的多項(xiàng)式矩陣，保證系統(tǒng)的輸出無偏差。

根據(jù)系統(tǒng)條件要求，確定觀測(cè)器多項(xiàng)式

A0，用于對(duì)比響應(yīng)時(shí)間，將初始位移數(shù)據(jù)輸入給PPC控制器，確定采集實(shí)際輸出y（k），并通過計(jì)算得到控制電壓u（k）.

3 仿真驗(yàn)證和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 仿真驗(yàn)證

基于極點(diǎn)配置控制算法（PPC）理論，采用MATLAB/SIMULINK編程實(shí)現(xiàn)對(duì)智能懸臂梁系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，基于智能懸臂梁系統(tǒng)的方程和極點(diǎn)配置控制理論得到控制系統(tǒng)的參數(shù)，見表3.

由前面的模型推導(dǎo)可知，四階模態(tài)中對(duì)應(yīng)狀態(tài)方程的空間向量次數(shù)應(yīng)為8，相應(yīng)的控制器的參數(shù)階數(shù)應(yīng)為7.仿真實(shí)驗(yàn)中，阻尼η取0.66，純延時(shí)d設(shè)為1，對(duì)于狀態(tài)模型可將輸入信號(hào)y設(shè)定為0，添加一個(gè)零時(shí)刻的位移激勵(lì)，在該條件下智能懸臂梁作自由振動(dòng)，仿真結(jié)果如圖3，4所示。從仿真結(jié)果可以得到，在對(duì)智能懸臂梁結(jié)構(gòu)施加控制電壓后，智能懸臂梁結(jié)構(gòu)的輸出位移在5 s內(nèi)迅速減小，在5 s后輸出位移恒定為0，證明PPC控制算法對(duì)智能懸臂梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制是有效的。

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.2.1 實(shí)驗(yàn)原理及裝置

實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示，實(shí)驗(yàn)器材有：壓電陶瓷片、HPV功率放大器、電壓轉(zhuǎn)換器、LK-G30激光位移傳感器、MCC_USB 1808X數(shù)據(jù)采集器和計(jì)算機(jī)LABVIEW軟件組成的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。

實(shí)驗(yàn)原理如下：壓電陶瓷片緊附于懸臂梁上并隨之運(yùn)動(dòng)，給懸臂梁施加一個(gè)初始位移激勵(lì)，由于壓電陶瓷片的材料特性，在有傳感作用的同時(shí)又兼顧驅(qū)動(dòng)作用，進(jìn)而壓電陶瓷片內(nèi)部產(chǎn)生與運(yùn)動(dòng)方向相反的電荷抑制懸臂梁的振動(dòng)。利用數(shù)據(jù)采集器采集運(yùn)動(dòng)過程中的電壓波動(dòng)變化，位移的變化由激光位移傳感器采集，LABVIEW作為實(shí)時(shí)編程控制工具將采集到的電壓和位移信號(hào)輸入，由極點(diǎn)配置控制程序?qū)冶哿旱恼駝?dòng)進(jìn)行抑制。

3.2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)過程中，需要盡可能的避免誤差，減少外部的不穩(wěn)定因素。實(shí)驗(yàn)前需對(duì)激光位移傳感器進(jìn)行清零和輸入電壓信號(hào)的清零，并需要多次反復(fù)實(shí)驗(yàn)來選擇合適的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)果如圖6，7所示。

從圖6，圖7可以看出，在初始振動(dòng)位移為6 mm時(shí)，智能懸臂梁結(jié)構(gòu)在控制電壓的作用下輸出位移在6 s內(nèi)迅速衰減，從6 mm迅速衰減至2 mm，短時(shí)間內(nèi)輸出位移減小了66%;與此同時(shí)智能懸臂梁結(jié)構(gòu)的控制電壓在控制初始階段有明顯激增，控制電壓在6 s內(nèi)逐漸減小趨于穩(wěn)定達(dá)到良好的控制效果。由于實(shí)際工作不可能存在完全真空的理論環(huán)境，實(shí)驗(yàn)過程中智能懸臂梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)還有受到空氣阻力、噪聲等外界因素的干擾，故仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在一定程度的誤差。智能懸臂梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)情況得到明顯改善，達(dá)到預(yù)期實(shí)驗(yàn)效果，證明PPC控制算法對(duì)智能懸臂梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制是有效的。

4 結(jié) 論

1）壓電材料與懸臂梁結(jié)構(gòu)組成的智能懸臂梁結(jié)構(gòu)中的壓電材料對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有著重大影響，將輸出位移減小了66%，壓電材料能夠改善智能懸臂梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)現(xiàn)象。

2）在初始位移信號(hào)為6 mm時(shí)，數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)果在5 s內(nèi)輸出位移迅速衰減，結(jié)果的一致性證明了PPC控制算法的可靠性，可以進(jìn)行自由振動(dòng)下的智能懸臂梁結(jié)構(gòu)的主動(dòng)振動(dòng)控制。

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