Frobenius擴(kuò)張下的丁投射(內(nèi)射)模

苗 壯,趙自紅

(蘭州理工大學(xué)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730050)

1 預(yù)備知識(shí)

研究中,R表示有單位元的結(jié)合環(huán),Rop是R的反環(huán),左R-模M通常記為RM,右R-模M通常記為MR,模M的Ding投射維數(shù)記為DpdR(M)。記環(huán)擴(kuò)張l:RA為R?A。自然雙模RAR由rar=l(r)·a·l(r′)定義給出。類似地,我們考慮RA,RAA等。對(duì)于環(huán)擴(kuò)張R?A,存在A-模范疇到R-模范疇的限制函子Res:Mod(A)→Mod(R)。另一方面,存在R-模范疇到A-模范疇的函子T=A?R-:Mod(R)→Mod(A)與H=HomR(A,-):Mod(R)→Mod(A),其中(T,Res)與(Res,H)是伴隨對(duì)。Ren[1]介紹了在環(huán)的Frobenius擴(kuò)張下Gorenstein投射(內(nèi)射)模與Gorenstein投射(內(nèi)射)維數(shù)的相關(guān)性質(zhì),證明了左A-模M是Gorenstein投射(內(nèi)射)的當(dāng)且僅當(dāng)作為左R-模時(shí),M是Gorenstein投射(內(nèi)射)的。Yang等[2]研究了丁投射(丁內(nèi)射)模。受到文獻(xiàn)[1-10]的啟發(fā),研究探討了Frobenius擴(kuò)張下丁投射(內(nèi)射)模相關(guān)性質(zhì),證明了在任意結(jié)合環(huán)R上,若環(huán)擴(kuò)張R?A是Frobenius擴(kuò)張,對(duì)于Frobenius擴(kuò)張下的丁投射(內(nèi)射)模,任意的左A-模M是丁投射(內(nèi)射)的當(dāng)且僅當(dāng)作為左R-模時(shí)M是丁投射(內(nèi)射)的。

2 主要結(jié)果

定義1稱環(huán)擴(kuò)張R?A是Frobenius擴(kuò)張,如果滿足下列等價(jià)條件中的任意一條:

(1) 函子T=A?R-與H=HomR(A,-)是自然等價(jià)的;

(2)RA是有限生成投射的且AAR?(RAA)*?HomR(AAR,R);

(3)AR是有限生成投射的且RAA?(AAR)*?HomRop(RAA,R);

定義2稱左R-模M是丁投射模,若存在R-模正合列P:=…→P1→P0→P0→P1→…,其中Pi、Pi均是投射模,i是非負(fù)整數(shù),并且對(duì)于任意平坦R-模F,HomR(-,F)作用在正合列P上保持正合,使得M=ker(P0→P1)。在此條件下,我們稱P是M的強(qiáng)完全投射分解。

定義4稱左R-模M是丁內(nèi)射模,若存在R-模正合列E:=…→E1→E0→E0→E1→…,其中Ei、Ei均是內(nèi)射模,i是非負(fù)整數(shù),并且對(duì)于任意FP-內(nèi)射R-模L,HomR(L,-)作用在正合列E上保持正合,使得M=ker(E0→E1)。在此條件下,我們稱E是M的強(qiáng)完全內(nèi)射分解。

定義5設(shè)M是任意的左R-模。模M的丁投射維數(shù)定義為DpdR(M)=inf{n|存在正合列0→Dn→Dn-1→…→D1→D0→M→0,其中Di是丁投射模,i、n均是非負(fù)整數(shù)且i≤n}。

定義6設(shè)M是任意左R-模。模M的丁內(nèi)射維數(shù)定義為DidR(M)=inf{n|存在正合列0→M→E0→E1→…→En-1→En→0,其中Ei是丁內(nèi)射模,i、n均是非負(fù)整數(shù)且i≤n}。

定理7對(duì)于任意的結(jié)合環(huán)R,左R-模M是平坦模當(dāng)且僅當(dāng)M是有限生成自由左R-模的正向極限[3]。

定理8丁投射模類是投射可解的[2]。

推論9丁投射模保持直和與直和項(xiàng)[4]。

引理10設(shè)M是具有有限丁投射維數(shù)的左R-模,其中n是整數(shù),則下列條件等價(jià)[5]:

(1) DpdR(M)≤n;

(4) 對(duì)于任意的正合列0→Kn→Gn-1→…→G0→M→0,若Gn-1,…,G0是丁投射模,則Kn也是丁投射模。

命題11模M是丁投射的當(dāng)且僅當(dāng)存在正合列0→M→P→N→0,其中P是投射模,N是丁投射模[6]。

定理12設(shè)R?A是環(huán)的Frobenius擴(kuò)張,M是任意左A-模,則下列條件等價(jià):

(1)AM是丁投射模;

(2) 作為左R-模,RM是丁投射模;

(3)A?RM與HomR(A,M)是丁投射左A-模。

證明(1)?(2) 因?yàn)锳M是丁投射左A-模,所以存在強(qiáng)完全投射分解P:=…→P1→P0→P0→P1→…,其中Pi、Pi是投射模,i是非負(fù)整數(shù),使得M=Ker(P0→P0)。通過(guò)限制P我們得到R-模正合列。因?yàn)閷?duì)于任意平坦左R-模Q,HomR(A,Q)?A?RQ是平坦左A-模,所以有HomR(P,Q)?HomR(A?AP,Q)?HomA(A,Q),因此HomR(P,Q)是正合的。故R-模M是丁投射的。

(2)?(3) 設(shè)P:=…→P1→P0→P0→…是R-模強(qiáng)完全投射分解,其中M=Ker(P0→P0)。容易驗(yàn)證A?RP是A-模正合列,且A?RM?Ker(A?RP0→A?RP0)。因此A?RM與HomR(A,M)是丁投射左A-模。

(3)?(2) 對(duì)于任意的左A-模M限制在R-模上,RM是R-模A?RM的直和項(xiàng)。若A?RM是丁投射左A-模,則由(1)?(2)知A?RM是丁投射左R-模。因此由推論9知RM是丁投射左R-模。

圖1 交換圖1 Fig.1 Commutative diagram 1

圖2 交換圖2 Fig.2 Commutative diagram 2

定理13設(shè)R?A是環(huán)的Frobenius擴(kuò)張,M是任意的左A-模,則下列條件等價(jià):

(1)AM是丁內(nèi)射模;

(2) 作為左R-模,RM是丁內(nèi)射模;

(3)A?RM與HomR(A,M)是丁內(nèi)射左A-模。

證明類似于定理12的證明。

引理14設(shè)M是任意的左A-模。考慮這樣2個(gè)復(fù)形正合列:

0→Hn→Dn-1→…→D0→M→0,

0→H′n→D′n-1→…→D′0→M→0,

其中Dn-1,…,D0與D′n-1,…,D′0是丁投射模,則Hn是丁投射模當(dāng)且僅當(dāng)H′n是丁投射模。

命題15設(shè)0→K→G→M→0是R-模正合列,其中G是丁投射模,且DpdR(M)=n,n是整數(shù)。若M是丁投射的,則K也是。否則DpdR(K)=DpdR(M)-1。

證明由推論9知對(duì)于″≤″是顯然的。

反過(guò)來(lái),設(shè)M′是M的直和項(xiàng),只需證明DpdR(M′)≤DpdR(M)。設(shè)DpdR(M)=n<∞,n是非負(fù)整數(shù)。對(duì)n進(jìn)行歸納,當(dāng)n=0時(shí),顯然成立。n>0時(shí),不妨設(shè)M=M′⊕M″。假設(shè)當(dāng)n-1時(shí)成立,選取正合列

0→K′→G′→M′→0, 0→K″→G″→M″→0,

(1)

其中:G′,G″是投射的,則存在如下行可裂的圖3。

圖3 交換圖3 Fig.3 Commutative diagram 3

對(duì)中間列應(yīng)用命題15,有DpdR(K′⊕K″)=DpdR(M)-1=n-1。因此,由歸納假設(shè)得GpdR(K′)≤n-1。故由正合列(1)知

DpdR(M′)≤n。

命題17設(shè)R?A是環(huán)的Frobenius擴(kuò)張。對(duì)于任意左R-模M,若DpdA(M)<∞,則DpdA(M)=DpdR(M)。

命題18設(shè)R?A是環(huán)的Frobenius擴(kuò)張。對(duì)于任意左A-模M,若DidA(M)<∞,則

DidA(M)=DidR(M)。

證明類似于命題17的證明。

命題19設(shè)R?A是環(huán)的Frobenius擴(kuò)張,M是任意的R-模，則

DpdA(M)=DpdA(A?RM)=DpdR(A?RM)。

證明由定理12知

DpdR(A?RM)≤DpdA(A?RM)。

對(duì)于任意的丁投射R-模G,由定理12知A?RG是丁投射A-模,故DpdA(A?RM)≤DpdR(M)。在定義φ(a)(c)=ac下,限制在R-模上,M是A?RM的直和項(xiàng),由命題15知

DpdR(M)≤DpdR(A?RM)。

命題20設(shè)R?A是環(huán)的Frobenius擴(kuò)張且M是任意的R-模,則

DidA(M)=DidA(A?RM)=DidR(A?RM)。

證明類似于命題19的證明。