基于修正鄧肯-張模型模擬紅黏土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

谷建曉,范理云,呂海波1,,陳宜虎

(1.桂林理工大學(xué) 廣西巖土力學(xué)與工程重點實驗室, 廣西 桂林 541004; 2.Department of Civil, Architectural and Environmental Engineering, Missouri University of Science and Technology, Rolla, MO 65401, USA; 3.賀州學(xué)院 建筑工程學(xué)院, 廣西 賀州 542899)

0 引 言

天然土有結(jié)構(gòu)性,對土的力學(xué)性質(zhì)具有重要影響,沈珠江院士把土結(jié)構(gòu)性模型的建立稱為“21 世紀(jì)土力學(xué)的核心問題”[1], 謝定義等也認(rèn)為“土結(jié)構(gòu)性是決定各類土力學(xué)特性的一個最為根本的內(nèi)在因素”[2]。眾多研究者以土結(jié)構(gòu)性變化參數(shù)與物理力學(xué)參數(shù)間關(guān)系建立模型,以此發(fā)展出結(jié)構(gòu)性劍橋模型[3-4]、考慮結(jié)構(gòu)性的模型[5-6]、結(jié)構(gòu)性雙硬化模型[7-9]、考慮擾動的結(jié)構(gòu)性模型[10-11]等。其中,以損傷理論建立的結(jié)構(gòu)性模型,由于其概念清晰、原理易懂、參數(shù)可求等優(yōu)點被廣泛使用。以沈珠江等提出的土體損傷理論[12]為起點,學(xué)者們以損傷規(guī)律為基礎(chǔ)建立結(jié)構(gòu)性模型。這些彈塑性模型被應(yīng)用到砂土、堆石料、不同土體界面等研究中[13-19],取得了一定的成果,但其模型計算較為復(fù)雜,難以廣泛應(yīng)用;而鄧肯-張模型是典型的非線性彈性模型,可描述應(yīng)力-應(yīng)變硬化曲線而被廣泛用于預(yù)測和計算應(yīng)力-應(yīng)變曲線[20-23]。為描述結(jié)構(gòu)性土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線,王立忠等[24]提出了考慮結(jié)構(gòu)性修正的鄧肯-張模型,將結(jié)構(gòu)性損傷進(jìn)行分段描述,使其能應(yīng)用于結(jié)構(gòu)性土,但其損傷參數(shù)要通過多次的試算,計算過程稍顯復(fù)雜。

紅黏土是一種特殊性土,主要分布于云貴高原及其毗鄰的廣西中、西部,因具有反剖面特征,使其上硬下軟,在地基基礎(chǔ)、水利、公路、邊坡等工程應(yīng)用中因結(jié)構(gòu)性導(dǎo)致眾多工程問題，其結(jié)構(gòu)性來源于紅土化作用,即濕熱多雨、干濕循環(huán)作用,使難溶氧化物不斷聚集、膠化、陳化,聯(lián)結(jié)松散顆粒形成整體,具有顯著的結(jié)構(gòu)性。因此，有必要首先分析現(xiàn)有的試驗數(shù)據(jù),從結(jié)構(gòu)性損傷角度進(jìn)行分段描述,分析其應(yīng)力-應(yīng)變曲線特征。

本文在修正鄧肯-張模型的基礎(chǔ)上,提出一種方法計算損傷比,得到相應(yīng)的損傷速度,分析損傷速度與結(jié)構(gòu)性的關(guān)系,簡化損傷參數(shù)的求解,確定紅黏土主要的結(jié)構(gòu)性損傷參數(shù)取值范圍,以深化對紅黏土結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識。通過對比模擬數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù),模型較好地描述應(yīng)力-應(yīng)變特征,對工程設(shè)計施工具有一定借鑒意義。

1 應(yīng)力-應(yīng)變特征分析

紅黏土具有高含水量、 高塑性、 高孔隙比、 低密度、 壓實性差等特點, 其結(jié)構(gòu)性因土中含水量、 顆粒大小、 排列方式、孔隙的組成與分布,以及顆粒間接觸和聯(lián)結(jié)作用的不同,對其力學(xué)性質(zhì)產(chǎn)生很大影響，其結(jié)構(gòu)性表現(xiàn)為:在小應(yīng)變時,應(yīng)力-應(yīng)變曲線陡峭,對應(yīng)的應(yīng)力增幅較大;在大應(yīng)變時,應(yīng)力-應(yīng)變曲線較為平緩,應(yīng)力增長較小,如圖1所示。

圖1 不同地區(qū)紅黏土三軸固結(jié)不排水試驗的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.1 Stress-strain curves of triaxial consolidation undrained test of red clay in different areas

按紅黏土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線特征可分為硬化(咸寧、 桂林)和軟化(泉口—圍壓300 kPa和武漢—韶關(guān)段)兩種類型， 如咸寧紅黏土隨圍壓的升高, 其應(yīng)力-應(yīng)變的硬化現(xiàn)象越來越明顯。硬化現(xiàn)象可解釋為: 由于試樣的密度在整個剪切過程中基本保持不變, 在試樣未被壓密前, 孔隙壓力隨有效應(yīng)力增加而增加； 當(dāng)被壓密實后, 孔隙壓力減低甚至負(fù)孔隙壓力, 有效應(yīng)力持續(xù)增加,表現(xiàn)出應(yīng)力-應(yīng)變硬化。 通過上述試驗應(yīng)力-應(yīng)變曲線關(guān)系的分析可知, 紅黏土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線可歸納為S型曲線。

結(jié)合紅黏土的變形特征和相關(guān)文獻(xiàn)資料, 將其劃分為4個階段: 擠密階段、 彈性階段、 破損階段、 破壞階段(圖2)。 已有的相關(guān)黏土研究成果也發(fā)現(xiàn)有類似的規(guī)律, 因而此分段具有一定可信度。 對圖1中原狀紅黏土三軸試驗數(shù)據(jù)分析, 可將前兩階段定義為結(jié)構(gòu)強(qiáng)度變形的第1階段; 而破損階段定義為結(jié)構(gòu)強(qiáng)度變形的第2階段; 將破壞階段定義為結(jié)構(gòu)強(qiáng)度變形的第3階段, 此時應(yīng)力-應(yīng)變曲線將會有3種不同的發(fā)展趨勢: 曲線上揚(硬化)、曲線下拐(軟化)和水平發(fā)展(蠕變)。

圖2 紅黏土偏應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系特征Fig.2 Characteristics of relation between deviatoric stress and axial strain for red clay

2 修正模型建立

2.1 鄧肯-張模型

在以σ3為常數(shù)的常規(guī)三軸試驗中,土樣的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可近似描述為如圖3所示的雙曲線函數(shù)[29]

圖3 應(yīng)變硬化型紅黏土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線[24]Fig.3 Stress-strain relation curves of strain hardening red clay

(1)

2.2 考慮結(jié)構(gòu)性的鄧肯-張模型

沈珠江推廣了結(jié)構(gòu)損傷規(guī)律[12,15,17],并在1993年給出了損傷比的計算公式，將過渡段的結(jié)構(gòu)土體看作無損原狀土和重塑土的結(jié)合體，施加荷載,其變化過程可表示為

S=(1-ω)Si+ωSd,

(2)

式中:S為過渡段結(jié)構(gòu)土體力學(xué)參數(shù);Si為原狀土體的強(qiáng)度力學(xué)參數(shù);Sd為損傷土(擾動土)的強(qiáng)度力學(xué)參數(shù)(與Si為同一力學(xué)參數(shù));ω為損傷比, 即損傷部分占整個土體的比例。

王立忠等[24]引用沈珠江損傷概念, 對鄧肯-張模型進(jìn)行修正, 使其適宜于描述結(jié)構(gòu)性黏土的應(yīng)力-應(yīng)變特征。 對于常規(guī)三軸試驗(固結(jié)壓力小于結(jié)構(gòu)屈服應(yīng)力時),應(yīng)力-應(yīng)變軟化型和硬化型的關(guān)系曲線ε1/(σ1-σ3)-ε1分別可用3段和2段直線擬合(圖4), 擬合直線的截距為初始切線模量的倒數(shù)。 改進(jìn)的雙曲線函數(shù)較好地模擬了應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系, 本文仍采用改進(jìn)的雙曲線函數(shù)

圖4 結(jié)構(gòu)性紅黏土切線模量擬合Fig.4 Fitting curves of tangent modulus for structured red clay

(3)

2.3 損傷比修正

考慮結(jié)構(gòu)性的鄧肯-張模型的損傷比ω是通過與破壞應(yīng)變有關(guān)的公式計算得出的,其中損傷比ω、損傷參數(shù)a*的取值是通過不斷反算得出最優(yōu)解(結(jié)構(gòu)性黏土為15),沒有給出具體的計算方法。為克服此問題,現(xiàn)提供一種計算損傷比的方法,再通過擬合損傷比與應(yīng)變的關(guān)系曲線得出數(shù)學(xué)表達(dá)式。

在某一圍壓下, 試樣的應(yīng)力-應(yīng)變曲線可分為3個階段： 對于第3段,土體近乎重塑土, 損傷比ω=1, 則不用求解a*值，損傷速度與土體結(jié)構(gòu)強(qiáng)度有關(guān), 損傷速度在整個過程中不斷增大, 并伴隨土體結(jié)構(gòu)破壞, 尤其在第3階段達(dá)到最大值; 但對于第1階段(彈性和擠密)和第2階段(破損)都存在較為完整的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度, 損傷速度變化較小, 因此假設(shè)前兩階段的損傷速度為定值, 方便進(jìn)行損傷速度的求解。 損傷比求解可借助其概念求得

(4)

式中:Ei(ε1)為軸向應(yīng)變對應(yīng)的切線模量;Ei1為第1階段的切線模量;Ei2為第2階段的切線模量。當(dāng)Ei(ε1)>Ei2時, 表明應(yīng)力-應(yīng)變曲線關(guān)系進(jìn)入第3階段, 土體近似重塑試樣,ω=1。

通過觀察圖3a和式(1)發(fā)現(xiàn)，Ei(ε1)是一個關(guān)于應(yīng)變的函數(shù)

(5)

式中:a、b為對應(yīng)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線段的參數(shù)值, 可將數(shù)據(jù)繪制在ε1/(σ1-σ3)-ε1坐標(biāo)系圖3b中求出。

損傷比是關(guān)于最大軸向應(yīng)變的函數(shù), 只有一個未知數(shù), 因此求得文獻(xiàn)試驗數(shù)據(jù)的損傷比與應(yīng)變的關(guān)系如圖5所示, 發(fā)現(xiàn)此關(guān)系呈現(xiàn)一定的函數(shù)關(guān)系, 借鑒文獻(xiàn)[30]損傷比的表達(dá)式，且考慮軸向應(yīng)變, 通過MATLAB數(shù)值擬合得到：

圖5 結(jié)構(gòu)性紅黏土損傷比與應(yīng)變關(guān)系Fig.5 Relation between damage ratio and strain of structured red clay

ω=1-e-a*ε1,

(6)

其中， 損傷參數(shù)a*表示土體的結(jié)構(gòu)性在應(yīng)力作用下的損傷速度。對于原狀土體,其壓實擠密所造成的變形過于微小,可將彈性和破損階段用修正后的模型模擬；而對于破壞階段,土體近乎重塑土,仍用鄧肯-張模型模擬其應(yīng)力-應(yīng)變曲線關(guān)系,其破壞的判定是應(yīng)變達(dá)到15%～20%。

3 修正模型求解

3.1 參數(shù)求解

對于式(3)雙曲線函數(shù)模擬應(yīng)力-應(yīng)變曲線只需要確定5個參數(shù)即可, 即Ei1、Ei2、 (σ1-σ3)ult1、(σ1-σ3)ult2和a*參數(shù), 以上參數(shù)可通過三軸試驗得出。 以其中一個試驗數(shù)據(jù)求解作為示例:剔除試驗數(shù)據(jù)起始異常跳躍點, 按ε1/(σ1-σ3)-ε1為坐標(biāo)系處理三軸試驗數(shù)據(jù)。土體的屈服應(yīng)力狀態(tài)會隨著荷載條件變化而不同, 對于常規(guī)三軸壓縮試驗, 因球應(yīng)力會對土體產(chǎn)生結(jié)構(gòu)損傷, 當(dāng)足夠大時, 就會出現(xiàn)明顯的損傷, 會在應(yīng)力-應(yīng)變曲線上出現(xiàn)明顯的拐點, 將此時的主應(yīng)力差看作結(jié)構(gòu)屈服應(yīng)力, 將此點作為第2和第3階段的分界點。 當(dāng)試樣發(fā)生明顯的損傷時, 其切線模量會發(fā)生大的變化, 在圖6坐標(biāo)系中表現(xiàn)為截距的變化,曲線曲率最大點意味著前后兩段曲線的截距發(fā)生了較大變化,也就是說切線模量發(fā)生了較大變化。

圖6 武漢—韶關(guān)段紅黏土應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.6 Stress-strain curve of Wuhan-Shaoguan red clay

將試驗數(shù)據(jù)按ε1/(σ1-σ3)-ε1為坐標(biāo)系處理, 對于應(yīng)力-應(yīng)變硬化型紅黏土, 只存在前兩個階段,通過數(shù)據(jù)處理軟件分析曲率最大的點作為轉(zhuǎn)折點, 如圖6中A點(方框)， 且兩個連續(xù)線段擬合, 要求擬合度都達(dá)到0.95以上, 按照公式求解參數(shù)Ei1、Ei2、 (σ1-σ3)ult1、(σ1-σ3)ult2， 可得Ei1為b的倒數(shù)、 (σ1-σ3)ult1為a的倒數(shù), 以此類推可求出Ei2、 (σ1-σ3)ult2。各計算參數(shù)見表1。

表1 武漢—韶關(guān)紅黏土應(yīng)力-應(yīng)變計算參數(shù)Table 1 Stress-strain calculation parameters of Wuhan-Shaoguan red clay

對圖1中的原狀紅黏土三軸試驗數(shù)據(jù)分析,可將前兩階段視為結(jié)構(gòu)強(qiáng)度變形的第1階段;而后將破損階段定義為結(jié)構(gòu)強(qiáng)度變形的第2階段;最后把破壞階段看作結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的第3階段。

對于應(yīng)力-應(yīng)變軟化型, 前兩階段的參數(shù)確定與硬化型一樣, 第3階段用鄧肯-張模型, 這是因為第3階段結(jié)構(gòu)強(qiáng)度已完全破壞, 接近于重塑土, 而鄧肯-張的雙曲線函數(shù)可較好地描述重塑土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系, 相關(guān)參數(shù)按照原模型參數(shù)求解方法求解。

根據(jù)Janbu的經(jīng)驗公式確定切線模量(Ei1,Ei2)與σ3的關(guān)系

Eij=kpa(σ3/pa)n,

(7)

式中:Eij為切線模量(j=1,2);k為卸載回彈模量系數(shù);n為擬合冪次，可通過不同圍壓下的試驗數(shù)據(jù)擬合得到k、n值;pa為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓(101.33 kPa)。

(σ1-σ3)ulti=k1pa(σ3/pa)n1,

(8)

式中: (σ1-σ3)ulti為偏應(yīng)力極限值(i=1,2);k1為擬合系數(shù);n1為擬合冪次，可通過不同圍壓下的試驗數(shù)據(jù)擬合得到k1、n1值;pa為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓(101.33 kPa),各計算參數(shù)見表2。

表2 武漢—韶關(guān)紅黏土應(yīng)力-應(yīng)變參數(shù)歸一化Table 2 Normalization of stress-strain parameters of Wuhan Shaoguan red clay

3.2 參數(shù)意義

在土體變形第1階段(彈性和擠密)的初始切線模量較大, 變形較小; 第2階段(破損階段)產(chǎn)生了大量的破損, 且速率加快, 切線模量比第1階段的要小, 即在相同荷載增量作用下變形較大; 第3階段(破壞階段)時, 結(jié)構(gòu)完全破損, 軸向應(yīng)力隨著應(yīng)變的增大而逐漸減小, 其切線模量甚至可能出現(xiàn)負(fù)值。(σ1-σ3)ult1表示在類彈性變形范圍內(nèi)可達(dá)到的主應(yīng)力差極限值， (σ1-σ3)ult2表示土體在破壞前所能達(dá)到的主應(yīng)力差極限值,與鄧肯-張模型中的含義相同。

結(jié)構(gòu)性強(qiáng)度是土的固體顆粒的特定排列及其相互, 由于孔隙水中析出的沉淀物(如碳酸鹽、 游離鐵 、 鋁氧化物等) 引起的膠結(jié)作用等因素產(chǎn)生的附加強(qiáng)度,通常用抗壓、 抗剪、抗拉等數(shù)值反映(原狀土與相應(yīng)的重塑土間的強(qiáng)度差值),如湛江灰色黏土無側(cè)限抗壓強(qiáng)度,原狀樣6.2 kPa,重塑樣0.65 kPa,其差值就是結(jié)構(gòu)強(qiáng)度[31]。此時參數(shù)a*也有類似的表示意義,結(jié)構(gòu)性強(qiáng)度越大,損失速度就相對越小。當(dāng)土體結(jié)構(gòu)性為0,損傷比為1,接近于重塑土,損傷速度a*表示結(jié)構(gòu)性強(qiáng)度的損失快慢,現(xiàn)假定不同的損傷速度參數(shù),用式(4)試算損傷比,結(jié)果如圖7所示。隨著損傷速度的增大,曲線上凸的程度越來越明顯,即試樣在小應(yīng)變時,結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的損失越大,越接近于重塑土的性質(zhì)。

圖7 不同損傷參數(shù)a*模型損傷比-應(yīng)變對比Fig.7 Comparison of model damage ratio-strain under different damage parameter a*

如圖8所示, 隨著圍壓的增大,a*值也隨之減小, 呈現(xiàn)一定的數(shù)學(xué)關(guān)系:a*代表的是在外力作用下土體結(jié)構(gòu)的損傷速度, 高圍壓下固結(jié)的土的結(jié)構(gòu)性前期損傷較大, 因此其后續(xù)破壞過程中損傷發(fā)展相對緩慢,a*值也減小, 土體中結(jié)構(gòu)性強(qiáng)度在對抗外力作用中的作用越來越小。

圖8 各地紅黏土損傷速度與圍壓關(guān)系Fig.8 Relation between damage velocity and confining pressure of red clay in different areas

同一種土的a*值隨圍壓增加而整體呈現(xiàn)減小的趨勢。另外,對比不同地區(qū)的紅黏土發(fā)現(xiàn),應(yīng)力-應(yīng)變呈硬化型的桂林紅黏土的a*值較低,而軟化型的泉口、武漢—韶關(guān)段紅黏土則較高,表明軟化型紅黏土結(jié)構(gòu)性相對較強(qiáng)。隨著圍壓的增大,a*取值在0.15～0.35,可作為參考區(qū)間,有且僅適用于本文所研究的結(jié)構(gòu)性紅黏土,由于試驗數(shù)據(jù)有限,取值范圍僅供其他地區(qū)紅黏土參考。

4 模擬結(jié)果分析

將本文與文獻(xiàn)[24]兩種模型的模擬結(jié)果繪制于同一坐標(biāo)軸中對比。如圖9所示,對于應(yīng)力-應(yīng)變軟化型的紅黏土,本文模型與王立忠的修正模型的曲線幾乎重合,較好地模擬了實測數(shù)據(jù),但在小應(yīng)變時,模擬結(jié)果均大于實測數(shù)據(jù),且擬合偏差較大。

圖9 不同模型應(yīng)力-應(yīng)變曲線對比Fig.9 Comparison of stress-strain curves of different models

本文模型與原模型比較具有以下優(yōu)勢:新方法通過計算損傷比來得出參數(shù)a*的大小, 其變化規(guī)律符合實際情況,與原模型的參數(shù)獲得方法相比更具說服力、意義更為明確。

為了進(jìn)一步驗證本文修正鄧肯-張模型對結(jié)構(gòu)性紅黏土的適用性,分別進(jìn)行多組原狀土樣試驗數(shù)據(jù)的模擬。硬化型曲線用第1和第2階段就可描述，軟化型曲線則具有完整的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度變化,其模擬采用修正模型(第1和第2階段)和原模型(第3階段)的組合。

模擬結(jié)果如圖10所示, 在小應(yīng)變時(約<2%), 模擬結(jié)果大多數(shù)要高于試驗曲線,與現(xiàn)實的情況符合。因紅黏土屬于裂隙性土, 裂隙壓密在極小的應(yīng)力下就可以實現(xiàn)(軸向應(yīng)變0 ～2%)[30]。裂隙壓密后, 土體強(qiáng)度由結(jié)構(gòu)強(qiáng)度起主要作用, 呈現(xiàn)彈性變形性質(zhì)的直線段; 當(dāng)圍壓進(jìn)一步增大, 土體進(jìn)入下一階段, 發(fā)生微破裂, 產(chǎn)生更大應(yīng)變, 即在相同應(yīng)力下, 模擬結(jié)果的應(yīng)變小, 模擬的曲線形狀與試驗數(shù)據(jù)曲線形狀類似。 在大應(yīng)變下, 兩者的擬合度較高,但是模擬曲線在第2和第3階段交界點即開始軟化點處與試驗數(shù)據(jù)有出入(圖10c)。這主要是因為此點是修正模型和原模型的交界點,兩模型參數(shù)的求解方法不同,造成此處曲線的突兀：鄧肯-張模型采用切線模量是剩下曲線段應(yīng)力水平50%和95%, 且土體已經(jīng)進(jìn)入到了第3階段, 切線模量較之前小,甚至為負(fù); 而修正模型計算所用的是第1和第2階段按損傷比折合計算得出; 此外, 還有一種情況會導(dǎo)致小應(yīng)變部分曲線模擬結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)吻合度不夠, 即在三軸試驗中的操作問題導(dǎo)致處理數(shù)據(jù)時的誤差, 小應(yīng)變數(shù)據(jù)在ε1/(σ1-σ3)-ε1坐標(biāo)軸中數(shù)據(jù)呈現(xiàn)蜿蜒狀線型, 而求得的參數(shù)是通過擬合實現(xiàn)。

圖10 本文模型模擬的各地紅黏土應(yīng)力-應(yīng)變曲線結(jié)果Fig.10 Results of stress-strain curves of red clay in different areas with model of this test

5 結(jié) 論

(1)基于原狀紅黏土三軸固結(jié)不排水試驗結(jié)果進(jìn)行模型參數(shù)求解,并進(jìn)行損傷比計算,通過損傷比與應(yīng)變的關(guān)系擬合出損傷比公式,相應(yīng)地求出損傷參數(shù)a*值,得出本文紅黏土試驗數(shù)據(jù)的損傷參數(shù)取值范圍為0.15～0.35。

(2)提出了一種通過試驗數(shù)據(jù)計算損傷比的方法,可通過損傷比與應(yīng)變關(guān)系擬合得出損傷參數(shù),而不是反復(fù)的試算,且其變化規(guī)律符合實際情況,與原模型的參數(shù)獲得方法比較更具說服力、意義更為精確。

(3)從結(jié)構(gòu)性損傷角度將硬化型應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系分為2個變化階段，而軟化型則分為3個變化階段，前兩階段用修正鄧肯-張模型模擬,后一階段視為近似重塑土,仍用鄧肯-張模型模擬,模擬數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)吻合度較高。