基于概念背景的“弧度制”教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

◇ 山東 武雪燕

章建躍先生提出數(shù)學(xué)概念是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，是學(xué)生思維發(fā)展的重要載體.數(shù)學(xué)概念往往涉及豐富的數(shù)學(xué)背景，即引入的必要性與定義的合理性.數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)當(dāng)關(guān)注概念產(chǎn)生的背景、提出的過(guò)程等環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.本文以弧度制教學(xué)設(shè)計(jì)為例，就如何在高中數(shù)學(xué)概念課中關(guān)注概念的背景，分享自己的實(shí)踐與思考.

1 教材分析

弧度制是學(xué)生在學(xué)習(xí)了任意角概念之后，通過(guò)探究認(rèn)識(shí)的一種新的度量角的單位，弧度制的引入能為系統(tǒng)學(xué)習(xí)三角函數(shù)奠定基礎(chǔ).本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是弧度制的概念、弧度與角度的換算.為什么要引入弧度制，如何引導(dǎo)學(xué)生用弧長(zhǎng)與半徑的比值來(lái)刻畫角是本節(jié)內(nèi)容需要解決的難點(diǎn).

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 設(shè)置問(wèn)題，體現(xiàn)必要性

概念課堂的引入要體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的必要性，借助問(wèn)題設(shè)置，喚起學(xué)生探求新知的興趣.考慮到學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，設(shè)置如下問(wèn)題：

(2)如何比較30°與sin30°的大小?

設(shè)計(jì)意圖從問(wèn)題中讓學(xué)生體會(huì)角度制的不足，啟發(fā)學(xué)生尋求十進(jìn)制的度量方法，引入弧度制.

2.2 建構(gòu)概念，體現(xiàn)合理性

概念的建構(gòu)過(guò)程是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵.以弧度制的發(fā)展史進(jìn)行引導(dǎo)，通過(guò)設(shè)置問(wèn)題組，讓學(xué)生在問(wèn)題的解決過(guò)程中體會(huì)弧度制定義的合理性.

數(shù)學(xué)史：弧度制的發(fā)現(xiàn)，是數(shù)學(xué)家們經(jīng)歷了漫長(zhǎng)探索所得的結(jié)果.古希臘數(shù)學(xué)家在制作弦表時(shí)，發(fā)現(xiàn)了給定半徑時(shí)弧長(zhǎng)與角度的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種思想正是弧度制的雛形.1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在他的著作《無(wú)窮小分析概論》中明確提出弧度制思想，他提到把圓的半徑作為1個(gè)單位長(zhǎng)度，那么半圓的弧長(zhǎng)就是π，這一思想將線段與弧的度量單位統(tǒng)一起來(lái).

問(wèn)題1設(shè)圓心角α＝30°，半徑分別為1，2，3，4時(shí)，計(jì)算對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)l，弧長(zhǎng)l 與半徑r 有怎樣的關(guān)系?

設(shè)計(jì)意圖從特殊角出發(fā)，讓學(xué)生在計(jì)算的過(guò)程中觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律：圓心角不變時(shí)，弧長(zhǎng)與半徑的比值恒為定值.

問(wèn)題2一般地，假設(shè)圓心角α＝n°，上述關(guān)系是否仍成立? 試?yán)没￠L(zhǎng)公式進(jìn)行推理.

設(shè)計(jì)意圖借助幾何畫板演示，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的思維過(guò)程，驗(yàn)證弧度制定義的合理性，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

類比角度制的定義，給出1弧度的角的定義.有了1弧度的角，就可以衍生出更多的弧度制下的角.

問(wèn)題3寫出下圖中α 的弧度數(shù).

圖1

圖2

設(shè)計(jì)意圖幫助學(xué)生理解弧度制表示角的意義，揭示弧度制的精髓.

2.3 單位換算，感受聯(lián)系性

同一數(shù)學(xué)對(duì)象從不同的角度去刻畫，得到的結(jié)論往往有內(nèi)在聯(lián)系，角度制與弧度制都是角的度量方法，它們之間如何換算呢?

問(wèn)題分別用弧度制和角度制表示一個(gè)圓周角，你能得到角度制與弧度制的換算方法嗎?

設(shè)計(jì)意圖借助周角的弧度數(shù)，得到角度與弧度的換算公式：πrad＝180°.

事實(shí)上，弧度制的引入統(tǒng)一了角與三角函數(shù)值的進(jìn)制，使角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立了一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上定義三角函數(shù)，進(jìn)而研究函數(shù)的圖象與性質(zhì).

3 幾點(diǎn)思考

3.1 借助概念背景，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境

簡(jiǎn)潔是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要推動(dòng)力.弧度制的引入，簡(jiǎn)化了有關(guān)公式與運(yùn)算.本文開(kāi)頭設(shè)置的問(wèn)題(2)來(lái)源于數(shù)學(xué)分析中的重要極限考慮到學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，要比較30°與sin30°的大小，需統(tǒng)一角與三角函數(shù)的單位，即尋求十進(jìn)制的實(shí)數(shù)來(lái)度量角.需要指出的是，盡管在角度制下可以定義三角函數(shù)，但三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)不夠簡(jiǎn)潔，而隨著數(shù)學(xué)分析的發(fā)展，弧度制的必要性越來(lái)越顯著，例如在角度制下正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為，比在弧度制下(sinx)′＝cosx要復(fù)雜，微積分學(xué)的重要極限，在角度制下就變成

3.2 依托概念背景，經(jīng)歷概念建構(gòu)

概念教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生建立與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)概念的聯(lián)系.從古到今，數(shù)學(xué)家們歷經(jīng)不懈的努力，找到了用弧長(zhǎng)來(lái)度量角的思路.本節(jié)內(nèi)容介紹了弧度制的發(fā)展歷程，讓學(xué)生沿著弧度制的尋求軌跡，從熟悉的弧長(zhǎng)公式入手，經(jīng)歷特殊到一般的研究過(guò)程，得出結(jié)論并進(jìn)行驗(yàn)證.整個(gè)過(guò)程學(xué)生充分參與，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證規(guī)律，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

3.3 新舊知識(shí)融合，深化概念背景

概念教學(xué)中，如果能把新概念納入原有概念體系中，并達(dá)到融會(huì)貫通，對(duì)學(xué)生知識(shí)整體性的理解具有重要意義.教師引導(dǎo)學(xué)生思考弧度制與角度制的聯(lián)系與區(qū)別，加深理解.事實(shí)上，弧度制與角度制有著更為深刻的聯(lián)系，角度制是將圓周角360°等分，每一份弧長(zhǎng)為該弧所對(duì)圓心角是1°的角，而弧度制則是將圓周2π等分，每一份弧長(zhǎng)為r，它所對(duì)圓心角是1rad的角，可見(jiàn)弧度制與角度制都是在圓周等分的基礎(chǔ)上，對(duì)單位弧長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的角進(jìn)行定義.從這個(gè)背景出發(fā)，可以解釋弧度制在后續(xù)的學(xué)習(xí)中優(yōu)于角度制的原因，即將圓周2π等分，每一份弧長(zhǎng)為r，省略了換算因子使得弧度制下角的研究更為簡(jiǎn)捷.