傳遞矩陣法分析FBG 加速度計的動態(tài)性能

仇 磊 ，梁 磊 ，蔡彥璞 ，王 慧

（1.武漢理工大學光纖傳感技術國家工程實驗室，湖北 武漢 430070；2.武漢理工大學工程結(jié)構與力學系，湖北 武漢 430070）

1 引言

加速度計通過測量載體的加速度及其頻率進行健康診斷，是結(jié)構、設備健康監(jiān)測中的重要測量元件[1-2]，而基于FBG 的加速度計由于FBG 所具有的抗電磁干擾、長期穩(wěn)定性好、具有良好的復用功能等優(yōu)點[3]，在加速度計的研究領域占有一席之地。

常見的FBG 加速度計有膜片式、梁式以及鉸鏈式等。膜片式FBG 加速度計[4-6]是通過質(zhì)量塊運動帶動膜片運動，使用FBG測量膜片的應變或者膜片中心的位移來達到測量加速度的目的。梁式FBG 加速度計[7-8]通過質(zhì)量塊運動給梁施加一個慣性力，使用FBG 測量梁的應變或者梁端部的位移達到測量的目的。梁式加速度計受制于梁本身的振動特性，適用于低頻加速度的測量。鉸鏈式FBG 加速度計的質(zhì)量塊繞著鉸鏈旋轉(zhuǎn)，將鉸鏈的轉(zhuǎn)角位移轉(zhuǎn)換為FBG 的線位移來測量加速度[9]。將單向柔性鉸鏈擴展為雙向柔性鉸鏈，使質(zhì)量塊具有兩個運動自由度，可以設計出二維FBG 加速度計[10]。

對于多柔性鉸鏈FBG 加速度計，從理論上分析了其力學傳遞關系并建立了傳遞矩陣法模型。通過傳遞矩陣法分析設計了一種加速度計并制作了一批樣品。通過標定實驗測試了加速度計的靈敏度與固有頻率，驗證了模型的正確性。

2 加速度計振動力學模型

FBG 加速度計包括一只FBG，兩種不同尺寸的柔性鉸鏈，兩種不同尺寸的質(zhì)量塊以及一個基座，如圖1 所示。質(zhì)量塊與質(zhì)量塊、質(zhì)量塊與基座之間通過柔性鉸鏈連接，F(xiàn)BG 固定在質(zhì)量塊M2之間。

圖1 FBG 加速度計結(jié)構示意圖Fig.1 Structure Schematic of the Accelerometer

在傳遞矩陣法的分析中，首先將整個結(jié)構離散化，分解成一系列具有簡單力學特征的二端元件（柔性鉸鏈和質(zhì)量塊），用傳遞矩陣表示各個元件一端的廣義力與廣義位移和另一端的廣義力與廣義位移之間的關系。然后根據(jù)元件的排列順序，經(jīng)過每個元件的傳遞，就可由整個系統(tǒng)一端的廣義力與廣義位移得到另一端的廣義力與廣義位移。最后根據(jù)邊界條件即可得到系統(tǒng)的頻率方程。

設第i 個截面的狀態(tài)矢量為：

式中：xi，yi，βi—截面 i 的軸向位移、剪切位移和轉(zhuǎn)角位移；Ni，Qi，Mi—截面i 的軸力、剪力和彎矩。

2.1 FBG 的傳感原理與力學模型

當一束寬帶光通過FBG 時，滿足布拉格條件的光會被反射回來，通過解調(diào)儀可以檢測到反射光的中心波長（λB）。當FBG 產(chǎn)生均勻變形時，光的中心波長變化量（δλB）與 FBG 應變（ε）之間滿足：

粘貼好的FBG 可以被簡化為一個彈簧，其剛度可表示如下：

式中：Af—FBG 的橫截面面積；

Ef—FBG 的彈性模量；

l—FBG 粘貼點之間的距離。

2.2 柔性鉸鏈的傳遞矩陣

與質(zhì)量塊相比，柔性鉸鏈尺寸較小，忽略其質(zhì)量影響。柔性鉸鏈的受力示意圖，如圖2 所示。柔性鉸鏈的切割半徑為R，最小切割厚度為t。

圖2 柔性鉸鏈受力示意圖Fig.2 Force Diagram of Flexible Hinge

設由柔性鉸鏈左側(cè)傳遞到柔性鉸鏈右側(cè)的傳遞方程為：

由文獻[11]，柔性鉸鏈的柔度可表示為：

式中：E—材料的彈性模量；

b—加速度計的厚度；

f1，f2，f3—與參數(shù) s=R/t 有關的函數(shù)，其表達式為：

柔性鉸鏈右側(cè)截面的位移可表示為剛體位移與變形體位移之和：

由柔性鉸鏈的平衡條件可得：

聯(lián)合式與式，柔性鉸鏈的傳遞方程表示為：

2.3 質(zhì)量塊的傳遞矩陣

與柔性鉸鏈相比，質(zhì)量塊的尺寸大，變形可以忽略，可以將其視為平面剛體。質(zhì)量塊的受力示意圖，如圖3 所示。其中，C 點為質(zhì)量塊的質(zhì)心。質(zhì)量塊的運動可以描述為隨o 點的平移和剛體的轉(zhuǎn)動。

圖3 質(zhì)量塊受力示意圖Fig.3 Force Diagram of Mass Block

設由質(zhì)量塊左側(cè)傳遞到質(zhì)量塊右側(cè)的傳遞方程為：

C 點的位移與A 點的水平位移可由左側(cè)截面的位移表示為：

用左側(cè)位移表示右側(cè)位移，可得：

由質(zhì)量塊的平衡條件可得：

式中：F—FBG 產(chǎn)生的力；XC，YC，MC—質(zhì)量塊的慣性力，其表達式為：

式中：m、JC—質(zhì)量塊的質(zhì)量和繞C 點的轉(zhuǎn)動慣量；ω—質(zhì)量塊的角速度；k—FBG 的剛度，對于不與FBG 相連的質(zhì)量塊，將k設為0 即可。

綜合上式，質(zhì)量塊的傳遞方程表示為：

其中參數(shù) η1，η2，η3的表達式表示為：

式中：Jo—質(zhì)量塊繞o 點的轉(zhuǎn)動慣量。

2.4 加速度計系統(tǒng)傳遞方程

設第i 個元件（柔性鉸鏈或質(zhì)量塊）的傳遞方程為：

根據(jù)連續(xù)性，第i 個元件左側(cè)狀態(tài)矢量與第i-1 個元件右側(cè)狀態(tài)矢量相同：

根據(jù)傳遞性，系統(tǒng)的傳遞方程可表示為：

3 加速度計動態(tài)性能分析

3.1 固有頻率分析

考慮到加速度計的基座變形很小，基座與柔性鉸鏈的相交面可以認為沒有位移：

將式代入式，可以得到如下方程：

式中：V—一個3×3 的矩陣。

通過矩陣V 的行列式為零即可求得系統(tǒng)的固有頻率。

3.2 頻率響應分析

設加速度計受到頻率為ω，幅值為1g 的簡諧加速度作用，加速度計將以同樣的頻率ω 做簡諧振動，即可求得加速度計的頻率響應。當ω 為0 時所得的響應為其靜態(tài)響應。

為了考慮加速度的影響，截面i 的狀態(tài)矢量擴展為：

柔性鉸鏈的傳遞方程可以擴展為：

質(zhì)量塊的傳遞方程可以擴展為：

此時，式變?yōu)椋?/p>

式中：V′—一個 3×4 的矩陣。

通過求解式，可以求得N、Q、M，也就是邊界上的狀態(tài)向量，然后可以求得FBG 的響應。

4 實驗結(jié)果與討論

為了驗證該種加速度計的動態(tài)性能以及傳遞矩陣分析方法的正確性，我們選擇的尺寸加工了加速度計并進行了測試，如表1 所示。

表1 實驗加速度計尺寸表Tab.1 Size of the Experimental Accelerometer

將制作好的加速度計固定在振動臺上，通過標準壓電加速度計給振動臺施加幅值為1g，不同頻率的簡諧加速度，得到FBG加速度計的頻率響應曲線。

加速度計的加速度靈敏度頻率響應曲線，如圖4 所示。傳遞矩陣法算得固有頻率約為1950Hz，實驗測得固有頻率約為1850Hz。根據(jù)傳遞矩陣法，加速度計的靈敏度高于29.7pm/g。由實驗測得加速度計的靈敏度高于26pm/g。

圖4 加速度計頻率響應曲線Fig.4 Frequency Response of the Accelerometer

5 結(jié)論

對于鏈式柔性鉸鏈FBG 加速度計，通過離散化建立了其每一元件的振動力學模型，推導了加速度計傳遞矩陣法計算公式。同時制作了加速度計樣品，在標準振動臺上測試傳感器的動態(tài)性能。測試結(jié)果表明，加速度計的固有頻率約為1850Hz，靈敏度高于26pm/g。實驗結(jié)果與理論分析結(jié)果較好吻合，驗證了理論分析的正確性。