鄭權，劉穎，劉忠禮

（1.北方工業(yè)大學理學院，北京100144； 2.北京聯(lián)合大學生物化學工程學院，北京 100023）

奇異攝動問題在諸多領域應用廣泛，例如河網(wǎng)水質問題的建模、對流熱傳輸問題、半導體器件模型的漂移擴散方程以及金融模型等。奇異攝動問題，即一個很小的攝動參數(shù)將導致其真解在邊界層區(qū)域劇烈振蕩，使得經(jīng)典的差分方法無法得到滿意的結果。因此，奇異攝動問題的數(shù)值求解成了熱門研究課題[1-9]。

本文將考慮以下奇異攝動對流擴散方程的兩點邊值問題：

其中，ε是一個很小的攝動參數(shù)且 0＜ε? 1，A和B是給定的常數(shù)，b(x)，c(x)和f(x)是充分光滑的函數(shù)，且 滿足 0＜β＜b(x)＜β*，0 ≤c(x)＜γ*， 其中β，β*和γ*是常數(shù)。這些條件使得方程(1)存在唯一解u(x)， 且解在x=1 處存在一個邊界層[1]。

對奇異攝動問題層適應的數(shù)值解法研究已取得一系列重要進展。對于線性奇異攝動問題(1)，ROOS 等[2]證實了簡單迎風格式在Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格上達到一階收斂，高于在Shishkin 網(wǎng)格上的近一階收斂，并列出了其他幾種網(wǎng)格函數(shù)，如多項 式 Shishkin 網(wǎng)格和 Vulanovi?改進的Shishkin 網(wǎng)格等，并給出了簡單迎風格式的相應收斂階數(shù)。STYNES 等[3]研究了c(x)≡0 時中點迎風差分格式在任意網(wǎng)格上的誤差估計，進一步研究了在Shishkin 網(wǎng)格上的一致收斂性，在粗網(wǎng)格上得到二階收斂，在細網(wǎng)格上得到近一階收斂，表明中點迎風格式在Shishkin 網(wǎng)格上的收斂階數(shù)優(yōu)于簡單迎風格式；提出的在粗網(wǎng)格上利用中點迎風格式和在細網(wǎng)格上利用中心差分格式的混合差分格式方法，在粗網(wǎng)格和細網(wǎng)格上分別達到了二階和近二階收斂。梁克維等[4]研究了c(x)≡0 時方程的中點迎風格式在Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格上的一致收斂性，得到了一階收斂的誤差估計。ZHENG 等[5]研究了中點迎風格式在Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格上的一致收斂性，將粗網(wǎng)格上的一階收斂提高到二階收斂。ZHENG 等[6]還研究了帶權的混合差分格式在Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格上求解擬線性奇異攝動方程以及估算導數(shù)的誤差，得到的解和導數(shù)的誤差都是二階的。此外，也有將層適應網(wǎng)格上的有限差分方法用于求解拋物型奇異攝動問題[7-8]以及橢圓型奇異攝動問題[9]等。

本文構造修正的Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格，建立新混合差分格式求解問題(1)。第1 節(jié)證明關于奇異攝動問題的最大值原理并給出解的性質；第2 節(jié)研究混合差分格式在修正的Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格上的一致收斂性；第3 節(jié)用數(shù)值算例驗證理論分析結果。

1 最大值原理以及解的性質

引理1假定u(x)是滿足u(0)≥0 和u(1)≥0的充分光滑的函數(shù)，若當x∈(0，1)時，Lu(x)＞ 0，則對于x∈[0，1]，有u(x)≥ 0。

證明令x*滿足假 設u(x*)＜0，顯然x*?{0，1}，因此

且

Lu(x*)=-εu″(x*)+b(x*)u'(x*)+c(x*)u(x*)≤ 0，與已知條件矛盾。

引理1 得證。

引理2（連續(xù)情形的最大值原理） 假定u(x)是滿足u(0)≥0 和u(1)≥0 的充分光滑的函數(shù)，若當x∈(0，1) 時 ，Lu(x)≥ 0，則 對 于x∈[0，1]，有u(x)≥ 0。

證明對于 ?δ＞ 0，令e-ax)，其中a為正常數(shù)，則有

且

由引理1，對于所有x∈[0，1]，有

令δ→ 0，則得引理 2。

證畢！

引理2 給出了問題(1)的連續(xù)最大值原理，表明問題(1)的解具有唯一性。

注本文補充了連續(xù)最大值原理的證明，對文獻[10]中的證明做了修正。

引理3[1]對于任意正整數(shù)q， 方程的解u(x)在[0，1]上可表示為

其中光滑部分S滿足

邊界層部分E滿足

q的取值取決于函數(shù)b(x)，c(x)和f(x)的 光 滑程度。

2 混合差分格式在修正的Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格上的一致收斂性

2.1 網(wǎng)格函數(shù)

為了使中心差分格式在經(jīng)典的Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格[2，4-5]的邊界處得到較高的截斷誤差，在Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格的轉折點的基礎上，選取另一轉折參數(shù)τ2=1-x3N/4=其中x3N/4是 Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng) 格 上的i= 3N4 的一個結點，將區(qū)間 [1-τ2，1]均分成N4 個子區(qū)間。方便起見，仍將網(wǎng)格函數(shù)記為xi，則修正的Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格如下：

引 理 4令hi=xi-xi-1， 則 有N-1≤hi＜。

2.2 混合差分格式

考慮在區(qū)間[0，1-τ2]上使用中點迎風格式以及在區(qū)間(1-τ2，1]上使用中心差分格式的混合差分格式：

即

2.3 一致收斂性

引理5（離散比較原理） 假定且是網(wǎng)格函數(shù)且滿足v0≤w0，vN≤wN和LN vi≤LN wi，i=1，2，…，N-1， 那么，對任意的i均有vi≤wi。

證明在引理5 的條件下，LN系數(shù)矩陣是一個(N-1)×(N-1)階對角占優(yōu)矩陣，且對角線元素均為正、次對角線元素均非正，是一個不可約的M矩陣，因此算子LN滿足離散比較原理。

引理5 得證。

于是差分格式(3)在網(wǎng)格(2)上有唯一解，引理5中的函數(shù)wi稱為函數(shù)vi的障礙函數(shù)。

引理 6定義網(wǎng)格函數(shù)Z0=1，Zi=那 么 ，對 于i=1，2，…，N-1， 有

證明顯然有且D-Zi=因此

進而，注意到c(x)≥ 0 和b(x)＞β＞ 0， 由式(3)，有

引理6 得證。

引理7假設u(x)是定義在[0，1]上的充分光滑的函數(shù)，在修正的Bahkvalov-Shishkin 網(wǎng)格上，對于求解問題(1)和混合差分格式(3)的截斷誤差，存在常數(shù)C，使得

證 明當i=1，2，…，3N4 時 ，由 式 (1) 和式(3)，有

其中，

使用帶有積分型余項的泰勒展開式，有

當i= 3N4 +1，3N4 +2，…，N-1 時 ，由式(1)和式(3)，有

使用帶有積分型余項的泰勒展開式，有

引理7 得證。

引理8假定則在修正的Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格上，對于方程(1)和混合差分格式(3)的解的光滑部分，存在常數(shù)C，使得

證明由引理7 和引理3 可得

令wi=C0N-1(ε+N-1)xi，i=0，1，…，N， 其中常數(shù)C0足夠大。那么

引理8 得證。

引理9假定在修正的Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格上，對于方程(1)和混合差分格式(3)的解的邊界層部分，存在常數(shù)C，使得

證明對所有的t≥0，有et≥1+t。回顧引理6 中的函數(shù)Zi， 則有

由引理 3 和式(5)，有

令Yi=C0Zi ZN，i=0，1，…，N， 其中C0為足夠大的常數(shù)。由引理6 可得

由式(5)和引理 3 可得

因此，由引理5 可知，

結合式(6)和式(7)，有

由引理4，有

再由式(8)，可得引理9。

引理9 得證。

引理10假定在修正的Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格上，對于方程(1)和混合差分格式(3)的解的邊界層部分，存在常數(shù)C，使得

證明當i=N2 +1，N/2+2，…，3N4 時，由引理7 的證明，易得

因此，由式(9)、引理 3、式(2)、式(5)以及引理 4，有

當i= 3N4 +1，3N/4+2，…，N時，由引理 7、引理 3、引理 4 和式(5)，有

其中C0為足夠大的常數(shù)。由引理6 可得

當i= 3N4 時，

因此，

由于c(x)≥ 0，b(x)＞β＞ 0，則有

顯 然 有因此，由引理 5 可知，φi是的障礙函數(shù)。

引理10 得證。

定理1假定混合差分格式(3)在修正的Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格(2)上求解問題(1)，滿足

證明由式(4)以及引理8～引理10 即可證得。

3 數(shù)值算例

例1考慮奇異攝動問題：

表1 為中點迎風格式在Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格上和混合差分格式在Shishkin 網(wǎng)格上的數(shù)值結果，其中，用計算誤差精度，用計算收斂階數(shù)，計算收斂常數(shù) 。對于i＞N2，混合差分格式在Shishkin 網(wǎng)格上、中點迎風格式在Vulanovi? 改進的Shishkin 網(wǎng)格上以及新混合差分格式在修正的Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格上的誤差精度、收斂階數(shù)和收斂常數(shù)分別采用相應的公式計算。

表1 ε=10-10時2 種有限差分格式［3］在 Bakhvalov-Shishkin 和 Shishkin 網(wǎng)格上的數(shù)值結果Table 1 The numerical results of two schemes［3］ on the Bakhvalov-Shishkin and Shishkin meshes with ε=10-10

表2為中點迎風格式在Vulanovi? 改 進 的Shishkin 網(wǎng)格上的數(shù)值結果。表3 為新混合差分格式在修正的Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格上的數(shù)值結果。定理 1 的式（10）得到證實。 對比表1～表3 中的數(shù)值結果知，新混合差分格式在修正的Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格上邊界層 (x3N4，1]處得到的收斂階數(shù)和誤差精度要優(yōu)于中點迎風格式在Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格上、混合差分格式在Shishkin 網(wǎng)格上以及中點迎風格式在 Vulanovi? 改進的Shishkin 網(wǎng)格上的收斂階數(shù)和誤差精度。

表2 ε=10-10 時中點迎風格式在 Vulanovi? 改進的 Shishkin 網(wǎng)格［2］上的數(shù)值結果Table 2 The numerical results of the midpoint upwind scheme on theVulanovi?’s improved Shishkin mesh with ε=10-10

表3 ε=10-6 時新混合差分格式在修正的Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格上的數(shù)值結果Table 3 The numerical results of the new hybrid scheme on the modified Bakhvalov-Shishkin mesh with ε=10-6

圖1 在修正的Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格上新混合差分格式和3 種方法在區(qū)間[ xN 2，1]上的誤差Fig.1 The errors of the new hybrid scheme on the modified Bakhvalov-Shishkin mesh and other three methods on[ xN 2，1]

圖1 表明，新混合差分格式在修正的Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格上邊界層處的誤差精度優(yōu)于中點迎風格式在Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格上、混合差分格式在Shishkin 網(wǎng)格上的誤差精度以及中點迎風格式在Vulanovi? 改進的Shishkin 網(wǎng)格上的誤差精度。實際上，在求解區(qū)間[0，1]，新混合差分格式的最大誤差均較其他3 種方法小。

例2考慮奇異攝動問題：

其中，

數(shù)值結果見表4。

表4 中的數(shù)值結果同樣證實定理1 正確。

表4 ε=10-10 時新混合差分格式在修正的Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格上的數(shù)值結果Table 4 The numerical results of the new hybrid scheme on the modified Bakhvalov-Shishkin mesh with ε=10-10

4 結 論

證明了奇異攝動問題的最大值原理，并研究了混合差分格式在修正的Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格上求解一般奇異攝動問題。在邊界層(x3N4，1]處，此方法取得二階收斂，其誤差精度均好于中點迎風格式在Bakhvalov-Shishkin 網(wǎng)格上、混合差分格式在Shishkin 網(wǎng)格上以及中點迎風格式在 Vulanovi? 改進的Shishkin 網(wǎng)格上的誤差精度。盡管此方法整體上仍為一階，但因在邊界層達到了二階收斂，因此，實際上取得了較好的整體誤差精度。