關(guān)于伯努利多項(xiàng)式和Dirichlet L-函數(shù)的均值問(wèn)題

張藝雪

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 陜西西安710127）

0 引 言

q＞ 1 是一個(gè)整數(shù)，s=σ+it是一個(gè)復(fù)數(shù)，χ表示任意模q的Dirichlet 特征。著名的DirichletL-函數(shù)L(s，χ)由級(jí)數(shù)形式定義:

事實(shí)上，對(duì)于模q的主特征χ0，L(s，χ0)除了s=1 時(shí)留數(shù)為的簡(jiǎn)單極點(diǎn)之外都是處處解析的，其中φ(q)為歐拉函數(shù)。如果χ≠χ0，那么L(s，χ)是一個(gè)關(guān)于s的整函數(shù)。

L(s，χ)函數(shù)在解析數(shù)論中具有重要地位，許多問(wèn)題都與其密切相關(guān)。例如，哥德巴赫猜想、素?cái)?shù)的分布、Dirichlet 除數(shù)問(wèn)題以及其他著名的數(shù)論問(wèn)題。所以，該領(lǐng)域的任何實(shí)質(zhì)性研究進(jìn)展都將促進(jìn)數(shù)論的進(jìn)一步發(fā)展。正因如此，學(xué)者們展開(kāi)了對(duì)L(s，χ)性質(zhì)的研究，并獲得了一系列有趣的結(jié)果[1-11]。例如， WALUM[1]證明了等式：

ZHANG[2-3]研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意奇數(shù)q≥ 3，有等式

同時(shí)， DirichletL-函數(shù)與廣義伯努利多項(xiàng)式Bn，χ密切相關(guān)。事實(shí)上，對(duì)任意q＞ 1 的整數(shù)，χ是模q的 Dirichlet 特征，可得[12-15]

若取x=0，那么Bn(0) =Bn為伯努利數(shù)。它們與Riemann zeta-函數(shù)ζ(s)密切相關(guān)。

最近，BAYAD 等[14]研究了L-函數(shù)與伯努利多項(xiàng)式乘積的均方值，并證明了一系列有趣的等式。

受文獻(xiàn)[14]啟發(fā)，本文將考慮涉及伯努利多項(xiàng)式的卷積和的計(jì)算問(wèn)題：

關(guān)于此類(lèi)型和的研究有很多，如斐波那契數(shù)列、加泰羅尼亞數(shù)、勒讓德多項(xiàng)式、切比雪夫多項(xiàng)式、Fubini 多項(xiàng)式、歐拉數(shù)和歐拉多項(xiàng)式等[16-24]，但尚未見(jiàn)到有關(guān)伯努利多項(xiàng)式的研究結(jié)果。

本文用初等方法研究式(4)的計(jì)算問(wèn)題，并在k=3 時(shí)給出一個(gè)新的有趣的恒等式。在應(yīng)用方面，給出一系列包含伯努利數(shù)的等式。經(jīng)推廣，獲得了2 個(gè)與DirichletL-函數(shù)相關(guān)的簡(jiǎn)單結(jié)果。

方便起見(jiàn)，首先介紹經(jīng)典高斯和的定義。

假設(shè)q和m是整數(shù)，且q＞ 1。對(duì)于任意模q的特征χ，定義[1]

其中，e(y) =ey，如果χ是模q的原特征或(m，q)=1，那么有

稱(chēng)G(χ，1) =τ(χ)為經(jīng)典高斯和。

關(guān)于經(jīng)典高斯和的性質(zhì)，可參考文獻(xiàn)[1-3，12-13]。

1 定理及推論

定理1設(shè)p為奇素?cái)?shù)，對(duì)任意非負(fù)整數(shù)m和n，有等式

定理2對(duì)任意整數(shù)n≥0，有等式

取m=n=0，由及定理 1，可以推得文獻(xiàn)[1]中的公式。

取m=1，n=0，由定理1及B3(x)=x3-可得到

推論1設(shè)p為奇素?cái)?shù)，有

取x=0 和對(duì)于任意正整數(shù)n，有

且

由定理2 還可得到以下5 個(gè)推論。

推論2對(duì)任意整數(shù)n≥0，有

推論3對(duì)任意整數(shù)n≥2，有

推論4對(duì)任意整數(shù)n≥1，有

推論5對(duì)任意整數(shù)n≥2，有

推論6對(duì)任意整數(shù)n≥1，有

作為推廣，本文還獲得了與DirichletL-函數(shù)相關(guān)的2 個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)果：

定理 3假設(shè)q和n是正整數(shù)，q＞ 1，n≥ 3，χ為模q的任意偶的原特征，那么有恒等式

定理 4假設(shè)q和n是正整數(shù)，q＞ 1，n≥ 0，χ是任意模q的奇的原特征，那么有恒等式

定理3 和定理4 的結(jié)果并不完美，它們只是一次嘗試。事實(shí)上，如果可以將這2 個(gè)定理的右邊表示為一些特殊的L-函數(shù)，那么這2 個(gè)定理會(huì)更加完美，但需做進(jìn)一步簡(jiǎn)化。

2 引 理

為證明本文的定理，需要以下3 個(gè)簡(jiǎn)單的引理。

引理1令則有等式

其中f'(t)表示f(t)關(guān)于t求導(dǎo)。

證明由f(t) 關(guān)于t求導(dǎo)的定義可得

結(jié)合式(5)、式(6)以及f(t)的定義，可得等式

引理1 得證。

引 理 2設(shè)q＞1為正整數(shù)，χ為任意模q的 原特征。若χ為偶特征，即χ(-1) =1，那么有

若χ為奇特征，即χ(-1) =-1，那么有

其中τ(χ)為經(jīng)典高斯和。

證明由伯努利多項(xiàng)式的生成函數(shù)(3)可得

如果χ為模q的原特征，且是偶特征，即χ(-1) =1，則有

對(duì)任意整數(shù)n，如果n=1且0＜x＜1，或者n≥2，0≤x≤1，那么由文獻(xiàn)[1]定理 12.19，可得

由式(9)以及經(jīng)典高斯和的定義和性質(zhì)得

由式(10)以及經(jīng)典高斯和的定義和性質(zhì)得

若χ是模q的原特征，且是奇特征，即χ(-1) =-1，由式(11)和式(12)的證明方法，可得

如果χ為原特征且是偶特征，那么由式(7)、式(8)、式(11)和式(12)，有

如果χ為模q的原特征且是奇特征，那么由式(7)、式(8)、式(13)和式(14)以及等(15)的證明方法，有

由式(15)和式(16)，便可得到引理2。

引理2 得證。

引理 3設(shè)q為正整數(shù)且q＞ 1，χ為模q的任意本原特征，那么有等式：

3 定理的證明

先證定理1。對(duì)于任意整數(shù)n≥0，如果χ是模p的偶特征，那么有

由模p的正交性特征，有

由式(14)、式(22)及式(23)，可得恒等式

定理1 證畢。

由式(3)和引理1，通過(guò)比較冪級(jí)數(shù)系數(shù)，可推得定理2。

下證定理3。如果χ為模q的偶特征，那么由引理 2、式(17)～式(21)，通過(guò)比較引理 1 中冪級(jí)數(shù)的系數(shù)，有

定理3 證畢。

再證定理4。如果χ為模q的奇特征，那么由引理 2、式(17)～式(21)，通過(guò)比較引理 1 中冪級(jí)數(shù)的系數(shù)，可得

定理4 證畢。

4 結(jié) 論

本文的主要結(jié)果是4 個(gè)定理。定理1 得到一個(gè)新的關(guān)于素?cái)?shù)模p的DirichletL-函數(shù)的平方均值公式 ，當(dāng)m=0，n=1 或m=1，n=0 時(shí) 為 DirichletL-函數(shù)的一個(gè)非常有趣且美觀的平方均值公式。定理2 證明了一個(gè)包含伯努利多項(xiàng)式的新等式，特別是推論3 和推論5，十分簡(jiǎn)潔美觀，是有關(guān)伯努利數(shù)或黎曼ζ 函數(shù)的新結(jié)果。定理3 和定理4 給出了DirichletL-函數(shù)卷積和的2 種新表達(dá)式，揭示了L-函數(shù)之間的關(guān)系。但此2 定理看起來(lái)并不簡(jiǎn)單美觀，需要進(jìn)一步簡(jiǎn)化和改進(jìn)，如果可以將這些定理中公式的右側(cè)表示為一些特殊的L-函數(shù)，定理3 和定理4 就會(huì)更加完美。