基于管嘴出流規(guī)律的水擊邊界條件數(shù)值模擬

王鵬超，余建平

(蘭州理工大學(xué)石油化工學(xué)院， 甘肅 蘭州 730050)

水擊是有壓管道中流體流速發(fā)生急劇變化所引起的壓強(qiáng)大幅度波動(dòng)的現(xiàn)象，是以一種壓力波的形式進(jìn)行傳播，使得管壁、閥門或其他管路元件承受極大的動(dòng)水壓力，嚴(yán)重影響了管路系統(tǒng)的正常運(yùn)行和安全[1-3].自20世紀(jì)60年代以來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)有壓管道的水擊問題進(jìn)行了大量的研究[4-5].儒柯夫斯基提出眾所周知的直接水擊壓強(qiáng)計(jì)算公式[6]；AFSHAR等[7]提出的隱式算法能夠準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)水頭和流量的變化；侯詠梅[8]、倪昊煜等[9]指出當(dāng)前水擊數(shù)學(xué)模型中的連續(xù)性方程不能滿足恒定流條件、sin項(xiàng)存在不合理性等問題，并建立了正確的數(shù)學(xué)模型；LI等[10]通過試驗(yàn)并結(jié)合CFD非定常流模型對(duì)離心泵突然啟動(dòng)的瞬變流動(dòng)進(jìn)行了研究；錢木金[11]假定閥門逐漸關(guān)閉時(shí)產(chǎn)生三角水擊起始波，根據(jù)動(dòng)量定理得出了直接水擊的壓強(qiáng)公式.但大多文獻(xiàn)都是對(duì)計(jì)算方法或計(jì)算模型進(jìn)行研究，在邊界條件方面的研究很少.

文中利用管嘴出流規(guī)律來建立邊界條件并對(duì)由閥門快速啟閉所引起的水擊進(jìn)行模擬計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，分析其準(zhǔn)確性.

1 數(shù)學(xué)模型

1902年，意大利學(xué)者阿列維(Allievi)以嚴(yán)密的數(shù)學(xué)方法建立了水擊基本微分方程，奠定了水擊的理論基礎(chǔ).水擊的基本微分方程[12]為

(1)

式(1)可簡(jiǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的雙曲型偏微分方程，從而可利用特征線法將其轉(zhuǎn)化為同解的管道水擊計(jì)算特征相容方程[13].

C+:HPi=CP-BQPi，

(2)

C-:HPi=CM+BQPi，

(3)

顯然，方程只能用于單一管路的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，對(duì)于上下游邊界點(diǎn)，2個(gè)相容方程只有1個(gè)方程適用.因此，使用差分方程計(jì)算管道不穩(wěn)定流時(shí)，需要建立對(duì)應(yīng)于不穩(wěn)定流動(dòng)過程的初始條件和邊界條件.

2 邊界條件

圖1為管嘴出流的模型示意圖，圖中p1為靜壓；C-C為收縮斷面.

圖1 管嘴模型

管嘴出流的流量公式[14]為

(4)

式中:Cd為流量系數(shù);A0為孔口斷面積.

如果容器敞開，容器上部為自由液面，則p1=p2.小孔自由出流時(shí)，射流斷面上的壓強(qiáng)為常數(shù)，應(yīng)等于表面上的壓強(qiáng)，即大氣壓強(qiáng)，因此前后壓差

Δp=p1-p2=0,

(5)

則

(6)

設(shè)恒定流時(shí)，閥門斷面的流量為

(7)

式中：Q0為恒定流狀態(tài)下的流量；H0為閥門在恒定狀態(tài)下管道末端的作用水頭.

閥門全開時(shí)流量為

(8)

式中：Qm為閥門全開時(shí)的流量；Am為全開時(shí)的截面面積.

在任意水頭和任意時(shí)刻下的流量為

(9)

以上兩式相除得

(10)

式中:τ為t時(shí)刻時(shí)管道末端閥門的相對(duì)開度，τ=(CdA)t/(CdA)m可通過試驗(yàn)測(cè)得.

將式(10)與順波特征方程聯(lián)立求解，可得t時(shí)刻管道末端節(jié)點(diǎn)的水頭HPi和QPi為

3 數(shù)值模擬計(jì)算

3.1 編程思路

用MATLAB進(jìn)行編程[15].圖2為使用特征線法計(jì)算時(shí)所用的網(wǎng)格，也為程序編寫時(shí)的思路框圖.假設(shè)P為任意點(diǎn)，A，B為點(diǎn)P兩側(cè)前一時(shí)刻的2點(diǎn).圖2 中橫坐標(biāo)代表管道長(zhǎng)度x，步長(zhǎng)為dx；縱坐標(biāo)代表計(jì)算時(shí)間t，步長(zhǎng)為dt.首先算出t=0時(shí)刻即閥門全開時(shí)管道內(nèi)每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的壓力與流量，以此為初始數(shù)據(jù)進(jìn)行迭代計(jì)算，迭代步數(shù)為T/dt,用M表示,其中T為計(jì)算的總時(shí)間.

圖2 計(jì)算網(wǎng)格

3.2 計(jì)算結(jié)果

圖3為閥門入口側(cè)壓力隨時(shí)間變化曲線,圖中p為水擊壓力.計(jì)算總時(shí)間T=5s，dt=dx/(a+c)=0.000 4 s.

圖3 閥門入口側(cè)的壓力隨時(shí)間變化曲線

由圖3可以看出，從閥門關(guān)閉開始，閥端壓力先迅速上升，在900步左右即0.36 s達(dá)到最大值，壓力值為855.4 kPa，之后壓力又迅速下降；而后隨著時(shí)間的增加，閥端壓力不斷重復(fù)上升到峰值然后又下降，但其最大壓力都小于第1個(gè)峰值，在10 000步即4.00 s以后基本趨于平穩(wěn).

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 試驗(yàn)設(shè)備與流程

圖4為試驗(yàn)設(shè)備圖與試驗(yàn)流程圖.整套試驗(yàn)裝置由高位槽、輸水壓力管道、可快速控制關(guān)閉和開啟時(shí)間可調(diào)的氣動(dòng)球閥(截止閥)、離心泵、壓力傳感器、數(shù)據(jù)采集箱、計(jì)算機(jī)及相應(yīng)的測(cè)試軟件等組成系統(tǒng).由計(jì)算機(jī)快速關(guān)閉氣動(dòng)球閥(可以隨時(shí)改變氣動(dòng)球閥關(guān)閉時(shí)間)產(chǎn)生水擊現(xiàn)象，計(jì)算機(jī)隨即記錄氣動(dòng)調(diào)節(jié)閥門旁的壓力隨時(shí)間的變化情況.

圖4 試驗(yàn)設(shè)備圖與試驗(yàn)流程圖

在進(jìn)行試驗(yàn)前首先開啟離心泵持續(xù)向高位槽供水，保持試驗(yàn)過程溢流管始終有水流出，從而為試驗(yàn)管道提供穩(wěn)定的入口水壓力.然后，設(shè)置試驗(yàn)條件(調(diào)節(jié)流量大小及閥門執(zhí)行速度)，待水流穩(wěn)定后由計(jì)算機(jī)快速關(guān)閉氣動(dòng)球閥產(chǎn)生水擊現(xiàn)象，計(jì)算機(jī)隨即記錄氣動(dòng)調(diào)節(jié)閥門前的壓力隨時(shí)間的變化.

4.2 系統(tǒng)主要參數(shù)

管道水平放置，管道外徑D=0.025 m，管壁厚度e=0.002 m，管道長(zhǎng)度L=20 m，上游端與高位槽相連接，其水頭H0=1.3 m.

經(jīng)過測(cè)定，閥門關(guān)閉時(shí)間T0為0.35 s，且由全開到全關(guān)閥門開度τ隨時(shí)間Τ0變化的數(shù)據(jù)點(diǎn)如表1所示.

表1 閥門開度隨時(shí)間變化數(shù)據(jù)表

使用Matlab對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合，得到閥門開度隨時(shí)間變化的關(guān)系式為

τ=-3.024T0+1.042.

(13)

4.3 試驗(yàn)結(jié)果

圖5為水擊試驗(yàn)中壓力變化曲線.由圖可以看出，閥門入口側(cè)的最大水擊壓力在0.5 s左右達(dá)到最大值900.0 kPa.

對(duì)比圖3，5可看出，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的最大水擊壓力值基本吻合，且都是在閥門完全關(guān)閉后達(dá)到最大值，相對(duì)誤差為5%，表明采用實(shí)測(cè)的閥門關(guān)閉曲線可以較好地模擬真實(shí)情況，而且采用管嘴出流規(guī)律建立邊界條件是可行的.由波動(dòng)變化的幅度可見，試驗(yàn)結(jié)果的壓力波衰減很快，與數(shù)值計(jì)算的壓力波曲線都是在4.0 s后基本趨于平穩(wěn)，而數(shù)值計(jì)算的壓力波衰減較慢.這是由于在計(jì)算中摩阻項(xiàng)采用了恒定摩阻，而瞬變流摩阻還包括流體慣性的影響，傳統(tǒng)的恒定摩阻低估了實(shí)際的摩阻值，因此未能準(zhǔn)確地模擬實(shí)際壓力波動(dòng)的衰減.

圖5 水擊試驗(yàn)中壓力變化曲線

5 閥門關(guān)閉時(shí)間對(duì)水擊壓力的影響

圖6 不同閥門關(guān)閉時(shí)間下的壓力曲線圖

關(guān)閥時(shí)間T0=1.0,2.0,3.0,4.0,4.8s時(shí)，最大水擊壓力pmax分別為352.5,153.5,85.6,57.8,46.4kPa.圖7為最大水擊壓力隨關(guān)閥時(shí)間的變化曲線.由圖可看出：閥門關(guān)閉時(shí)間越長(zhǎng)，產(chǎn)生的最大水擊壓力越??；但隨著閥門關(guān)閉時(shí)間的逐漸延長(zhǎng)，所產(chǎn)生的最大水擊壓力下降幅度會(huì)越來越小.

圖7 最大水擊壓力隨關(guān)閥時(shí)間的變化曲線

6 結(jié) 論

1) 通過數(shù)值模擬計(jì)算得到的最大水擊壓力值與試驗(yàn)結(jié)果基本吻合，誤差為5%.這表明采用實(shí)測(cè)的閥門關(guān)閉曲線可以較好地模擬真實(shí)情況，且對(duì)于結(jié)構(gòu)與管嘴出流模型相似的閥門，可以用管嘴出流規(guī)律來建立邊界條件.

2) 根據(jù)數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果得到的壓力波動(dòng)曲線，試驗(yàn)結(jié)果的壓力波衰減很快，而數(shù)值計(jì)算結(jié)果的壓力波衰減較慢.這是因?yàn)樵谟?jì)算中摩阻項(xiàng)采用了恒定摩阻，而瞬變流摩阻還包括流體慣性的影響，傳統(tǒng)的恒定摩阻低估了實(shí)際的摩阻值，因此未能準(zhǔn)確地模擬實(shí)際壓力波動(dòng)的衰減.

3) 通過改變關(guān)閥時(shí)間發(fā)現(xiàn)：閥門關(guān)閉時(shí)間越長(zhǎng)，產(chǎn)生的最大水擊壓力越??；但隨著閥門關(guān)閉時(shí)間的逐漸延長(zhǎng)，所產(chǎn)生的最大水擊壓力下降幅度會(huì)越來越小.