以形助數(shù) 化難為易
——試談數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

甘肅省臨夏市逸夫第一小學(xué) 沈國(guó)強(qiáng)

“數(shù)”與“形”，在數(shù)學(xué)當(dāng)中，二者互利共生，難以割舍，雖有本質(zhì)區(qū)別卻又高度統(tǒng)一?！皵?shù)”我們通常指數(shù)字，數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)符號(hào)及數(shù)字信息。而“形”并不是我們通常認(rèn)為的圖形或是形狀而是指可體現(xiàn)數(shù)學(xué)信息，嚴(yán)整的數(shù)學(xué)模型、幾何模型等。我們所講的數(shù)形結(jié)合便是“數(shù)”轉(zhuǎn)換為“形”，又或是“形”轉(zhuǎn)換為“數(shù)”，同樣可以“形”體現(xiàn)“數(shù)”或者“數(shù)”體現(xiàn)“形”。以此，數(shù)形結(jié)合成為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中最基本有效的教學(xué)方法。

一、教學(xué)過(guò)程中通過(guò)數(shù)形結(jié)合解析數(shù)學(xué)概念

“形”可帶給學(xué)生最簡(jiǎn)單、最直觀、最直接的視覺(jué)形式數(shù)學(xué)概念，因此數(shù)學(xué)大部分知識(shí)需要借助于“形”，需要“形”來(lái)提供最基礎(chǔ)直觀的思維支持。由于大部分?jǐn)?shù)學(xué)概念盡管是小學(xué)數(shù)學(xué)也同樣抽象難懂，使處于低年齡的小學(xué)生難以充分理解。這時(shí)“形”的直觀作用就展現(xiàn)了極大優(yōu)勢(shì)，以“形”最清楚地展現(xiàn)數(shù)學(xué)難題。

例如以下問(wèn)題：

（一）小明看一本書，第一天看了全書的十分之一還多5 頁(yè)，第二天看了全書的五分之一還少10 頁(yè)，還剩下100 頁(yè)。這本書一共有多少頁(yè)？

對(duì)于此問(wèn)題，我們可以在解題之前畫出一個(gè)線段代表全書總共的頁(yè)數(shù)，第一天看了全書的十分之一并且多出五頁(yè)，可以在一端取線段的十分之一進(jìn)行標(biāo)記代表整書的十分之一，并多取一小部分代表多出的五頁(yè)，同理，在另一端取五分之一代表第二天看的整書的五分之一，并在這范圍內(nèi)取出一部分代表少看的十頁(yè)，中間未標(biāo)記部分與未看的十頁(yè)組在一起，共同代表剩下的一百頁(yè)，在線段中學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，剩下的一百頁(yè)與第一天多看的五頁(yè)所代表的分率為十分之七，而后可以通過(guò)105 除以十分之七得到整本書的頁(yè)數(shù)為150 頁(yè)。

（二）水果店的蘋果占水果總數(shù)的三分之二，賣出120 千克蘋果后，蘋果占現(xiàn)在水果店水果總數(shù)的二分之一。原來(lái)水果店的水果有多少千克？

對(duì)此問(wèn)題，我們同樣可以在講解之前畫出線段以代表水果店的水果總數(shù)，對(duì)應(yīng)單位“1”，取出整個(gè)線段的三分之二代表賣出120 千克蘋果前的蘋果數(shù)，然后取出整個(gè)線段的二分之一，標(biāo)在三分之二的范圍內(nèi)，二分之一的標(biāo)記與三分之二的標(biāo)記所相差的距離就是120 千克蘋果所代表的分率，也就是六分之一，因此，不難計(jì)算出原來(lái)水果店存有水果720 千克。

在以上問(wèn)題中，“形”都可以最簡(jiǎn)單直觀地將一連串?dāng)?shù)據(jù)展現(xiàn)出來(lái)，使問(wèn)題從感性變?yōu)槔硇?，由困難變?yōu)楹?jiǎn)單。在面對(duì)問(wèn)題時(shí)，每個(gè)學(xué)生都應(yīng)該注意有三個(gè)步驟，就是對(duì)問(wèn)題中涉及的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行思考，用數(shù)學(xué)模型加以清楚分析，最后對(duì)問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)的解決，做到這幾點(diǎn)無(wú)論是對(duì)數(shù)量關(guān)系還是數(shù)據(jù)運(yùn)算都有極大的幫助，因此，教師應(yīng)當(dāng)在以上方面對(duì)學(xué)生加以引導(dǎo)，讓學(xué)生做到有能力，有方法，有思路地對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題加以解決。

“數(shù)”自始至終都是引導(dǎo)學(xué)生去探索規(guī)律，“形”的出現(xiàn)極大幫助了探索規(guī)律的效率，例如四邊形或多邊形及三角形的穩(wěn)定性問(wèn)題，在教學(xué)時(shí)我們可以舉出實(shí)例，用木棍制成相應(yīng)圖形，在實(shí)踐時(shí)每一個(gè)學(xué)生都不難發(fā)現(xiàn)無(wú)論是四邊形還是多邊形都會(huì)因?yàn)槭芰Ρ煌献Ф冃危挥腥切我倭⒉粍?dòng)，無(wú)法被改變形狀。

數(shù)形結(jié)合實(shí)質(zhì)上就是概念與實(shí)際的結(jié)合，將數(shù)學(xué)的兩種形式進(jìn)行表達(dá)與描述，一方面表現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，另一方面表達(dá)出了數(shù)學(xué)知識(shí)與形式之間所存在的內(nèi)在聯(lián)系。這樣，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的理解就不會(huì)僅僅存在于對(duì)定義定理的記憶以及思維的定式，而是明白了數(shù)學(xué)知識(shí)所擁有的本質(zhì)。

數(shù)學(xué)的種種規(guī)則中，都離不開(kāi)“形”的支撐?！皵?shù)”中的規(guī)則為學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中解決問(wèn)題提供了推算辦法，使學(xué)生在遇到不同問(wèn)題時(shí)都有相應(yīng)的辦法去推算去解決，讓學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)則。而“形”存在的意義便是讓學(xué)生理解推算辦法，理解種種規(guī)則，通過(guò)“形”的展示，讓學(xué)生充分理解推算辦法及規(guī)則的合理性，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，大大降低所遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題的困難程度，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單而又清晰。

在解決問(wèn)題時(shí)，思考過(guò)程中通常要有“形”的參與?！靶巍弊畲蟮膬?yōu)勢(shì)與特點(diǎn)是可以將抽象的問(wèn)題具象化，就是我們所說(shuō)的化抽象為具體。將所獲得數(shù)據(jù)與條件充分展示在數(shù)學(xué)模型上，可以清楚地反映數(shù)量間所存在的關(guān)系，從而得到最便捷的解題思路。最有代表性的便是題干字?jǐn)?shù)多，復(fù)雜，難以理解的問(wèn)題，通過(guò)將數(shù)字標(biāo)示在數(shù)學(xué)模型當(dāng)中，可以幫我們篩選最有效的信息，淘汰無(wú)用文字，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，將難理解的問(wèn)題變得通俗易懂。恰當(dāng)選擇畫圖或列表等，可極大提高解題效率。

二、在圖形解析問(wèn)題中使用數(shù)形結(jié)合思想

“形”雖然可以直觀簡(jiǎn)潔體現(xiàn)數(shù)據(jù)，降低解題難度，但它也有自己的缺點(diǎn)，比如一部分解題模型較粗略和繁瑣并且不便于表達(dá)，這時(shí)需要通過(guò)簡(jiǎn)潔的“數(shù)”來(lái)更形式化地發(fā)揮“形”的優(yōu)點(diǎn)，幫助學(xué)生更好地理解“形”更好地利用“形”。

對(duì)“形”加深認(rèn)識(shí)需要“數(shù)”進(jìn)行描述與表達(dá)。比如線段、射線與直線，現(xiàn)實(shí)中線段兩端皆有端點(diǎn)，射線只有一段存在端點(diǎn)，直線兩端皆無(wú)端點(diǎn)，由此線段長(zhǎng)度不可進(jìn)行變化，射線只可在一端進(jìn)行伸長(zhǎng)或縮短，而直線可在兩端都進(jìn)行伸長(zhǎng)或縮短。用“數(shù)”進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述便是“直”，“端點(diǎn)”，“直”，“無(wú)限延長(zhǎng)”等，可以更好地建立相應(yīng)形象，以便于理解。

對(duì)于幾何圖形，幾何圖形有周長(zhǎng)，面積，表面積，體積等相關(guān)問(wèn)題，此類問(wèn)題都有其特有的數(shù)學(xué)公式進(jìn)行相對(duì)應(yīng)的推算及問(wèn)題解決，是學(xué)生最直觀地對(duì)形體認(rèn)知的深化。對(duì)圖形面積認(rèn)知的建立，其實(shí)從最開(kāi)始的數(shù)方格便開(kāi)始了，從放置小正方形，到后來(lái)發(fā)現(xiàn)面積和長(zhǎng)與寬等數(shù)學(xué)模型的關(guān)聯(lián)，最終得到了圖形的面積公式，使每個(gè)學(xué)生可以在更深層次認(rèn)識(shí)圖形，若要對(duì)圖形性質(zhì)進(jìn)行判斷，只有通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算才可以得出最正確的結(jié)論。例如“畫出周長(zhǎng)為16 厘米的正方形”“畫出面積為14 厘米的長(zhǎng)方形”，對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算，計(jì)算出此正方形為邊長(zhǎng)為16÷4=4的正方形，對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，我們通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算可以得出此長(zhǎng)方形長(zhǎng)為7 寬為2。我們無(wú)法憑空繪出圖形，先通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算求出正方形的邊長(zhǎng)及長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各是多少，我們的答案自然就產(chǎn)生了。

對(duì)于以上問(wèn)題的解決，我們將形的簡(jiǎn)潔明了與數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)精確融合在一起，簡(jiǎn)化了對(duì)于問(wèn)題的理解。通過(guò)數(shù)形結(jié)合，簡(jiǎn)明地向?qū)W生展示了為何這樣解決問(wèn)題，如何用數(shù)形結(jié)合的方法解決問(wèn)題，同時(shí)促進(jìn)了學(xué)生對(duì)抽象思維和具象思維的融合應(yīng)用，對(duì)于未來(lái)遇到問(wèn)題可以充分發(fā)揮抽象思維和具象思維互惠互利的協(xié)同作用。如此，不僅幫助學(xué)生掌握了數(shù)形結(jié)合思維，又增強(qiáng)了學(xué)生抽象與具象轉(zhuǎn)化的能力。

三、結(jié)語(yǔ)

有“數(shù)”就有“形”，有“形”就有“數(shù)”，數(shù)形結(jié)合所產(chǎn)生的作用無(wú)異于滿天星，二者互補(bǔ)共生。在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，可以滲透數(shù)形結(jié)合思維的問(wèn)題還有很多，考慮到小學(xué)生的思考特點(diǎn)，教師應(yīng)該引起學(xué)生興趣，使其更好理解數(shù)形結(jié)合思維，讓他們?cè)谧约盒闹醒b有相關(guān)概念，讓數(shù)形結(jié)合思維從其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯開(kāi)始就伴隨身邊，拓展其思考深度，使其在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)更具有創(chuàng)新創(chuàng)造性。