數(shù)學(xué)中的替換思維研究

匡振友

摘 要：替換是人們?cè)谏鐣?huì)生活中思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的一種思維方式。也是數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的策略和方法。它與整體思想、化歸思想同等重要。教材中，很多地方運(yùn)用了替換思維來(lái)處理問(wèn)題的。因此在教學(xué)中明確替換，掌握替換原則，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力大有裨益。

關(guān)鍵詞：概念 原則 應(yīng)用

一、替換概念的認(rèn)識(shí)

替換源自生活。歷史上有兩則著名的故事——《推敲》和《曹沖稱(chēng)象》。詩(shī)人最后決定把“推”替換為“敲”，達(dá)到了不同的詩(shī)境。曹沖巧妙地用石頭代替大象，達(dá)到相同水位時(shí)重量相等。生活中所謂的物物交換、換人工作、用石頭替代鐵錘定木條等等都是替換思維的表現(xiàn)。

盡管生活中的替換形式呈現(xiàn)多樣化，但從數(shù)學(xué)角度上講，替換就是對(duì)應(yīng)關(guān)系。指的是可以拋開(kāi)兩件事物A和B間的無(wú)關(guān)屬性，使A與B建立一種對(duì)應(yīng)后，用B替換A。

在代數(shù)運(yùn)算中，一般是用一個(gè)字母或一個(gè)整體去代替一個(gè)整式或另一個(gè)整體，使得運(yùn)算簡(jiǎn)便化。楊玉華老師在《數(shù)學(xué)中的替換思維》提出變量替換概念，利用變量替換解決極限問(wèn)題、積分問(wèn)題、微分方程的通解問(wèn)題[1]。

從上述可見(jiàn)，廣義替換就是用一個(gè)事項(xiàng)替代為另一個(gè)事項(xiàng)。狹義替換就是在數(shù)學(xué)中用一個(gè)量去替代另一個(gè)量，也可以用一個(gè)數(shù)去替代另一個(gè)數(shù)。在數(shù)與數(shù)之間、數(shù)與式之間、式與式之間互相替代。

二、數(shù)學(xué)替換的原則

1.整體原則

替換思維滲透著整體思想，通常說(shuō)“整體替換，常數(shù)不變”。在分析和解決問(wèn)題的過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)的是A被B替換。A是問(wèn)題中的相同部分，被視為一個(gè)整體，是被替換的對(duì)象;B是設(shè)定用來(lái)替換的對(duì)象，也就是設(shè)定的另一個(gè)整體，用B去替換問(wèn)題中A。

2.等量原則

等量代換就是用一個(gè)與之相等的量去替換它。強(qiáng)調(diào)的是相等關(guān)系。等量的傳遞性表達(dá)的很明確，簡(jiǎn)單地表述為a=b，b=c那么a=c。對(duì)第一個(gè)等式而言，b替換為c，得到第三個(gè)等式。所以替換是以等量為基礎(chǔ)進(jìn)行的。

3.對(duì)應(yīng)原則

替換能很好地體現(xiàn)出一種函數(shù)關(guān)系。從自變量到因變量，在對(duì)應(yīng)法則下，每給定自變量一個(gè)值，都有唯一的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，那么在定義域內(nèi)，用b替換a導(dǎo)致函數(shù)值的變化。在這里，用b替換a是在定義域內(nèi)的替換，解決問(wèn)題時(shí)要關(guān)注函數(shù)值的變化。其次，還要關(guān)注圖形變化和算式結(jié)構(gòu)性的變化，還要注意位置變化。

案例欣賞：觀察下列算式

請(qǐng)用含n的算式表示此規(guī)律。

分析：做好此題的替換，要關(guān)注兩種角度的對(duì)應(yīng)。

一是位置角度對(duì)應(yīng)。觀察算式的結(jié)構(gòu)性變化，不難發(fā)現(xiàn)處于相同位置上的自然數(shù)被后續(xù)的自然數(shù)所替換。所以用后續(xù)自然數(shù)去替換時(shí)，要在位置上對(duì)號(hào)入座。

二是函數(shù)角度對(duì)應(yīng)。不妨將算式逐個(gè)進(jìn)行編序號(hào)，把序號(hào)作為自變量，而算式的左端和右端分別作為因變量。

當(dāng)自變量增加1時(shí)，左端分母中的第二個(gè)因數(shù)增加1，右端第二個(gè)分母增加1。所以第n個(gè)算式應(yīng)為。

在這里，用字母n替換了具體數(shù)字，進(jìn)行了符號(hào)化處理，得到了規(guī)律。

三、替換應(yīng)用于教學(xué)

1.要精心設(shè)計(jì)情境，注重替換思維的培養(yǎng)

案例欣賞[2]：

小明把720毫升果汁倒入6個(gè)小杯和1個(gè)大杯，正好都倒?jié)M，大杯的容量是小杯的3倍，小杯和大杯的容量各是多少？

針對(duì)此題，教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意，畫(huà)出示意圖，然后作了以下探究：

（1）把大杯替換成小杯。

（2）把小杯替換成大杯。

（3）用x表示小杯容量，引導(dǎo)學(xué)生列一元一次方程。

教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生又做了如下替換：用長(zhǎng)方形替代實(shí)物，大小杯互相替換，用x替代大杯容量。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，既培養(yǎng)了學(xué)生的替換思維，又讓學(xué)生初步了解如何替換，培養(yǎng)學(xué)生的替換能力。

更深層地想，如果保持?jǐn)?shù)據(jù)不變，用“甲乙兩班人數(shù)”替換果汁，用“甲班人數(shù)和乙班人數(shù)”去替換“大杯和小杯”;或其他條件不變，把“3倍”替換為“大杯比小杯多27毫升”，讓學(xué)生進(jìn)一步探究，那么學(xué)生的思維向深處發(fā)展。再進(jìn)一步放手讓學(xué)生做一些替換，這有助于提高學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

這種設(shè)計(jì)給學(xué)生搭建了一個(gè)新的臺(tái)階，符合學(xué)生認(rèn)識(shí)事物螺旋上升的基本認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生學(xué)得輕松，學(xué)得扎實(shí)。

2.關(guān)注學(xué)生掌握一些基本的替換過(guò)程和方法

用替換策略解決問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)有很多，讓學(xué)生掌握這些基本替換的方法。如：代入求值是用數(shù)字替代字母的過(guò)程;公式應(yīng)用是用一個(gè)數(shù)或代數(shù)式替換公式中的字母;換元法是將相同部分視為一個(gè)“元”，實(shí)現(xiàn)“量”與“量”的替換;概念符號(hào)化是用“符號(hào)”替換“文字”。

諸如此類(lèi)，像函數(shù)中變量替換，三角函數(shù)變形中的角度替換、高等代數(shù)中的替換定理等等，不一一枚舉，可以說(shuō)替換思維應(yīng)用廣泛。

在眾多的解決問(wèn)題的策略和方法中，替換是有助于培養(yǎng)學(xué)生解題能力的一副良方益法。獨(dú)秀一枝，不失魅力。

參考文獻(xiàn)

[1]楊玉華，數(shù)學(xué)中的替換思維[J].邢臺(tái)學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，23（04）.

[2]陳金飛，遵循等量原則，提升思維水平[J].考試周刊，2009，（47）.