尺規(guī)作圖在幾何教學(xué)上對學(xué)生能力培養(yǎng)的作用

周小萍

摘 要：尺規(guī)作圖是初中幾何教學(xué)的重點內(nèi)容。除了這個技能是將來學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)展的基礎(chǔ)之外，通過尺規(guī)作圖教學(xué)還可以對學(xué)生的多種能力進(jìn)行有效培養(yǎng)。比如思維能力、數(shù)學(xué)語言規(guī)范表達(dá)能力、建模能力、實踐能力等。結(jié)合初中數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖教學(xué)，就其對學(xué)生能力培養(yǎng)的作用進(jìn)行分析探討。

關(guān)鍵詞：尺規(guī)作圖;初中;數(shù)學(xué);能力培養(yǎng);作用

在綜合素質(zhì)及核心素養(yǎng)教育目標(biāo)下，當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)將視角跳出純粹的知識、技能教學(xué)，而將培養(yǎng)學(xué)生的能力作為一個重要的內(nèi)容（也即，“授之以魚，不如授之以漁”）。只要用心并方法得當(dāng)，幾乎所有的教學(xué)內(nèi)容都可以用來對學(xué)生的能力進(jìn)行培養(yǎng)。但是，需要注意的是，不同的內(nèi)容以及不同的教學(xué)策略方法對學(xué)生能力培養(yǎng)的作用點是有差異的。教師需要根據(jù)具體教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生的發(fā)展需求來設(shè)計能力培養(yǎng)的教學(xué)。

就初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中的尺規(guī)作圖來說，它是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容。因為，尺規(guī)作圖是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)階發(fā)展的基礎(chǔ)技能。比如用于解平面幾何題畫輔助線，比如將來在高中學(xué)習(xí)立體幾何和函數(shù)的時候，都會用到尺規(guī)作圖這個技能。但是，當(dāng)下仍然有一些數(shù)學(xué)教師將尺規(guī)作圖的教學(xué)放在純粹技能教育的視角上，而忽視其能力培養(yǎng)的作用，而且也缺少對相應(yīng)教學(xué)方法的研究及實踐。顯然，這既浪費了尺規(guī)作圖這個教育資源，又不利于學(xué)生素養(yǎng)的建設(shè)發(fā)展。

其實，尺規(guī)作圖因為既相對視覺直觀（與初中學(xué)生直觀思維能力強(qiáng)、抽象思維能力略弱的特征相符），又有很強(qiáng)的操作體驗性（學(xué)生必須經(jīng)歷思考和動手兩個步驟才能完成），對學(xué)生能力培養(yǎng)的作用可以挖掘出很多。

下面，就尺規(guī)作圖在初中幾何教學(xué)上對學(xué)生能力培養(yǎng)的作用進(jìn)行分析探討。

一、培養(yǎng)思維能力

傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖教學(xué)，教師主要是通過范例來講解，并要求學(xué)生對范例進(jìn)行反復(fù)強(qiáng)化記憶。這種教學(xué)方法雖然能很大程度上保證學(xué)生在考試中熟練完成解題，但我們會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生遇到一些稍加變化的問題，或一些需要逆向解答的問題時，往往會“不知所措”。造成這種現(xiàn)象的原因，就是學(xué)生缺少對知識技能的靈活解析能力、思維能力——特別是創(chuàng)新思維、發(fā)散思維、逆向思維等比較弱。學(xué)到的不是知識，而是教條化的技能。

而要使尺規(guī)作圖教學(xué)的過程能夠?qū)W(xué)生的思維能力發(fā)展發(fā)揮作用，就需要教師在給學(xué)生講解了基本作圖原理之后，在進(jìn)行鞏固訓(xùn)練時有意給學(xué)生出一些非標(biāo)準(zhǔn)化的變式題，讓學(xué)生在沒有范例可以參照的情況下開動腦筋嘗試完成解題。在這個過程中，即可促進(jìn)其思維能力的發(fā)展。

比如，用尺規(guī)畫“角平分線”的習(xí)題。通常，我們教學(xué)生畫角平分線的范式，就是給一個開放的銳角畫平分線。而我們可以設(shè)計幾種變式問題來訓(xùn)練學(xué)生的思維能力：如，給學(xué)生一個大開角的鈍角，讓學(xué)生畫它的平分線。這個過程中，學(xué)生會遇到一個問題，就是在卷面上作圖會非常大，往往圓規(guī)的交叉點會超出紙面（就算沒有超出紙面，也會遇到圓規(guī)不夠大或沒有足夠畫圖空間的問題）。試一試學(xué)生能不能想到畫出一個等腰三角形，然后去畫線段（底）的垂直平分線，從而得到角的平分線;再比如，我們不直接讓學(xué)生畫角平分線，而是給他們一個封閉的三角形，且不說畫角平分線——已知△ABC，其中∠C=90°，在AB這條邊上找出一個點E，使∠ECA=45°，也就是讓學(xué)生跳出開放性角及“平分線”這個直接問題，而從平分角度的問題遷移到角平分線的問題上。教師通過類似這樣的變式，讓學(xué)生多想幾步，打開其思維空間，訓(xùn)練他們的思維能力。

二、訓(xùn)練規(guī)范表達(dá)

在教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)一個問題：就是有些學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)得很好，解題的答案是正確的，但總會在解題過程中丟分。而且，這些學(xué)生在互助學(xué)習(xí)小組中幫助同學(xué)解題、講解的時候，總是語言表述不達(dá)意，費了半天口舌，對方還是沒有聽懂，也就是解題不規(guī)范或用數(shù)學(xué)語言表述的能力不足，這其實是在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中一個較為普遍的現(xiàn)象。尤其是一些“學(xué)優(yōu)生”，因為思路敏捷，往往會在解題中跳過步驟快速完成解題。當(dāng)讓他表述的時候，本來他以為自己的思路很清晰，但真正表述的時候，發(fā)現(xiàn)沒有能力把自己的思路展示出來。

訓(xùn)練學(xué)生掌握用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確、清晰、規(guī)范地表達(dá)，也是一項基本能力。比如“已知線段a和h，用直尺和圓規(guī)作一個等腰三角形ABC。要求，底邊BC=a，高等于h”。這個題是基礎(chǔ)題，并沒有難度。就是兩個知識點，一是“作一條線段等于已知線段”，二是“作已知線段的垂直平分線”。往往學(xué)生在答題的時候，就會跳過步驟，缺少規(guī)范性。對此類問題，教師一定要求學(xué)生在解題的時候?qū)⒔忸}步驟一步步寫出來，且要用數(shù)學(xué)的規(guī)范語言。如，（1）作一條線段AB，長度等于a;（2）作AB的垂直平分線，與AB交于點F;（3）在垂直平分線上取一點C，使線段FC等于h;（4）分別連接AC、BC。雖然，這個簡單的題這樣寫可能比較煩瑣，但這正是訓(xùn)練學(xué)生規(guī)范表達(dá)的好素材。而當(dāng)繪制較為復(fù)雜的圖形時，如果沒有這個基本功，學(xué)生表述起來往往會因為用語不規(guī)范或步驟混亂等問題而丟分。

三、培養(yǎng)建模能力

建模能力是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之一。但培養(yǎng)學(xué)生的建模能力相對比較困難。一是因為數(shù)學(xué)的抽象性比較強(qiáng)，學(xué)生不容易捕捉到規(guī)律;二是建模能力需要以歸納能力、提煉能力、總結(jié)能力、分析能力為基礎(chǔ)條件，當(dāng)學(xué)生不具備這些能力的時候，建模能力的培養(yǎng)會受到制約。因而，數(shù)學(xué)教師對學(xué)生建模能力培養(yǎng)的積極性不高，往往為了省事，會將數(shù)學(xué)知識的“模型”直接告訴學(xué)生，讓學(xué)生記住。這種教法會出現(xiàn)兩個問題：一是當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)知識點記憶缺失的時候，就不能完成解題，不能在考試中運(yùn)用自己的獨立推理能力重新建模而完成解題;二是學(xué)生的學(xué)習(xí)會缺少發(fā)展性。即，當(dāng)他們將來脫離教師或遇到自己想學(xué)習(xí)的內(nèi)容時，因不會建模而學(xué)習(xí)發(fā)展效率較低。因而，無論建模能力的培養(yǎng)多么難，數(shù)學(xué)教師還是要把這件工作做好。

好在，尺規(guī)作圖這個知識技能的“模型”是相對比較簡單的。無非就是三個方面的提煉：一是兩種幾何語言。即，用直尺作圖的幾何語言（如：過點×、點×作線段××或過點×作直線×;連結(jié)兩點××;延長××到點×，使××=××或交××于點×等）和用圓規(guī)作圖的幾何語言（如：在××上截取××=××;以點×為圓心，××的長為半徑作圓或弧;分別以點×、點×為圓心，以××長為半徑作弧，相交于點×等）;二是尺規(guī)作圖的一般步驟（即，已知——表述題目條件;求作——按要求作出圖形;作法——表述過程、原理）;三是五種基本作圖（即，作一條線段等于已知線段;作一個角等于已知角;作已知線段的垂直平分線;作已知角的角平分線和過一點作已知直線的垂線）。比起數(shù)學(xué)的其他知識（比如函數(shù)模型或方程式模型）來說，尺規(guī)作圖的建模處于不特別復(fù)雜又不是特別簡單的層次上，正是我們對學(xué)生進(jìn)行建模能力培養(yǎng)的恰當(dāng)資源。

所以，對于尺規(guī)作圖的教學(xué)，不建議教師直接將模型告訴學(xué)生，而是在整體完成教學(xué)之后，專門給學(xué)生時間進(jìn)行模型的提煉和歸納。最后，再由教師來匯總和點撥。這個過程，不僅能夠訓(xùn)練學(xué)生的建模能力，而且因為模型是自己通過思考建立起來的，記憶效果也好得多。

四、培養(yǎng)實踐能力

實踐能力的培養(yǎng)是課程改革之后對所有學(xué)科的共同要求。也就是，我們已經(jīng)意識到培養(yǎng)“紙上談兵”的人才不能滿足社會的發(fā)展需求，也不利于學(xué)生未來的人生發(fā)展。因而，在教學(xué)中我們必須通過某些方法，使學(xué)生不僅掌握和理解知識，而且能夠?qū)⑺鶎W(xué)的知識有意識、有效果地服務(wù)于生活、生產(chǎn)實踐。

而尺規(guī)作圖這個技能恰恰在生產(chǎn)、生活中應(yīng)用得相當(dāng)廣泛，小到家庭生活，大到規(guī)劃設(shè)計，都會用到這個技能。所以，在教授尺規(guī)作圖的時候，教師應(yīng)有意識地對學(xué)生的實踐能力進(jìn)行培養(yǎng)，而不僅是讓他們只會解試卷上的試題。

比如，我們可以引入現(xiàn)在的一個熱點話題作為實踐題型：“現(xiàn)在我們國家已經(jīng)進(jìn)入了信息化時代，而且我國的5G通信技術(shù)已經(jīng)走在了世界通信行業(yè)的前面。但是，5G技術(shù)要推廣應(yīng)用，需要有對應(yīng)的設(shè)備支持。比如信號塔，要比原來的4G近一些，需要重新建設(shè)布局。為了盡可能節(jié)省資源并保證信號覆蓋面，我們需要進(jìn)行精確的規(guī)劃。假如A和B兩個小區(qū)一同散落于公路a和b（不平行）的中間，根據(jù)測算，只需要建設(shè)一個信號塔即可完成對兩個小區(qū)和兩條公路對應(yīng)路段的信號覆蓋。為了保證信號強(qiáng)度均衡，要求這個信號塔與兩個小區(qū)的距離相等，且同時與兩條公路的距離相等——這個題其實是找兩個點間（小區(qū)）線段的垂直平分線和一個角（公路）的角平分線的交點，并不算太難。難點在于學(xué)生是否能夠?qū)⑸钪械氖挛镛D(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題。再比如，在家中掛一個相框，在掛繩長度已定的情況下，把釘子釘在哪個點上能夠滿足定位需要？也可以用尺規(guī)作圖方法來解決。我們通過類似這樣的實踐題目達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生實踐能力發(fā)展的目的。

綜上所述，結(jié)合初中數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖的教學(xué)，就尺規(guī)作圖對學(xué)生能力培養(yǎng)的作用進(jìn)行了探討。當(dāng)然，尺規(guī)作圖的教學(xué)過程中因為我們所采用的方法不同，還可以起到培養(yǎng)其他能力的作用。比如使用探究法來培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，使用小組合作學(xué)習(xí)法來培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作能力、交流能力，通過問題法來培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力等。但這些作用，在其他內(nèi)容的教學(xué)中同樣適用，這里就不展開探討了?？偟膩碚f，尺規(guī)作圖教學(xué)因其具有直觀性和抽象性并存的特征，知識的復(fù)雜度相對適中，且在生活生產(chǎn)實踐中應(yīng)用比較廣泛，因而，在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、數(shù)學(xué)語言規(guī)范表達(dá)能力、建模能力及實踐能力方面具有較好的作用。

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