含間隙振動系統(tǒng)周期振動的多樣性和轉(zhuǎn)遷特征

呂小紅 羅冠煒

摘要： 以兩自由度含間隙碰撞振動系統(tǒng)為研究對象，辨識周期振動的模式類型及其在雙參平面內(nèi)的發(fā)生區(qū)域和分布規(guī)律，揭示低頻區(qū)域無沖擊、基本沖擊、顫碰和亞諧沖擊等周期振動模式類型的多樣性和轉(zhuǎn)遷特征，以及擦邊分岔點附近鞍結(jié)分岔的存在與位移振幅的變化形式之間的關(guān)系。在無沖擊和基本沖擊振動的邊界線上存在若干具有自相似分形特征的舌形域。舌形域內(nèi)亞諧振動的模式類型和分布具有規(guī)律性。由于擦邊分岔的不可逆性，擦邊和鞍結(jié)分岔線在相鄰周期振動的發(fā)生區(qū)域之間形成遲滯域，并在舌形域的邊界形成一個遲滯域群。相鄰遲滯域邊界線的橫截相交點是奇異點，只有在奇異點，位移振幅連續(xù)變化，擦邊分岔連續(xù)可逆。揭示了奇異點的二重擦邊和倍化-鞍結(jié)余維二分岔特征。

關(guān)鍵詞： 非線性振動; 分岔; 間隙; 碰撞; 雙參耦合

中圖分類號： O322; TH113.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號： 1004-4523（2020）04-0688-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.04.006

引 言

在機(jī)械動力系統(tǒng)中，由于間隙和運動限幅機(jī)構(gòu)的存在，常常導(dǎo)致剛性部件在運行中發(fā)生碰撞振動[1-2]。為了消除碰撞對機(jī)械設(shè)備帶來的不利影響或為了提高利用碰撞振動原理設(shè)計制造的機(jī)械裝置的工作性能，國內(nèi)外學(xué)者通過理論分析、數(shù)值仿真和實驗等方法對碰撞振動系統(tǒng)的周期振動穩(wěn)定性與分岔[3-5]、混沌激變[6-7]、吸引子共存[8]、控制與反控制[9]等相關(guān)問題進(jìn)行了研究。由于碰撞、擦邊接觸等非線性因素，使得一些常規(guī)的光滑動力系統(tǒng)的定性分析方法難以直接應(yīng)用于該類系統(tǒng)的動力學(xué)研究。Nordmark[10]發(fā)現(xiàn)碰撞振動系統(tǒng)存在一種特殊形式的碰撞即擦邊碰撞，通過構(gòu)建Poincaré-Nordmark局部映射研究了系統(tǒng)在擦邊分岔點鄰域內(nèi)的動力學(xué)行為。Nordmark在此領(lǐng)域的研究工作為后續(xù)擦邊分岔及奇異性研究奠定了理論基礎(chǔ)。其后，國內(nèi)外學(xué)者借助沖擊映射和不連續(xù)幾何拓?fù)涞确椒ㄑ芯苛伺鲎舱駝酉到y(tǒng)的余維一、余維二擦邊分岔以及在擦邊分岔點鄰域內(nèi)的動力學(xué)特性[11-18]。

碰撞振動系統(tǒng)在低頻條件下的顫碰振動是一個不可忽視的動力學(xué)現(xiàn)象。Nordmark和Piiroinen[19]構(gòu)建了碰撞振動系統(tǒng)顫碰-黏滯振動的局部不連續(xù)映射，研究了顫碰振動的穩(wěn)定性與局部分岔。馮進(jìn)鈐等[20]應(yīng)用彗尾映射分析了Duffing單邊碰撞系統(tǒng)的顫振運動和兩種顫振分岔。Wagg[21-22]數(shù)值模擬了兩自由度碰撞振動系統(tǒng)的顫碰和黏滯振動現(xiàn)象，并討論了周期黏滯振動的多重滑移分岔。Hs和Champneys[23]研究了機(jī)械壓力溢流閥的擦邊分岔及閥和閥座間的顫碰振動特性。據(jù)統(tǒng)計，由于異常振動造成機(jī)械設(shè)備的重大事故多表現(xiàn)為非線性低頻振動失穩(wěn)，但該失穩(wěn)機(jī)理至今還未被研究清楚，因此，碰撞振動系統(tǒng)的低頻振動特性及分岔特點仍是學(xué)術(shù)界研究的主要內(nèi)容之一，而且已有的對碰撞振動系統(tǒng)的周期振動與分岔等問題的研究報道基本都是取一個系統(tǒng)參數(shù)為分岔參數(shù)進(jìn)行研究的，不能較全面地揭示動力學(xué)與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)聯(lián)。本文基于雙參平面研究兩自由度含間隙碰撞振動系統(tǒng)周期振動的模式類型、發(fā)生區(qū)域和分布規(guī)律，著重分析系統(tǒng)在低頻區(qū)域表現(xiàn)的無沖擊、基本沖擊、顫碰和亞諧沖擊等周期振動的分岔，揭示系統(tǒng)周期振動模式類型的多樣性和轉(zhuǎn)遷特征，擦邊分岔點附近鞍結(jié)分岔存在與否的機(jī)理，以及無沖擊和基本沖擊振動的發(fā)生區(qū)域邊界線上的二重擦邊和倍化-鞍結(jié)余維二分岔。

1 力學(xué)模型

兩自由度含間隙碰撞振動系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖1所示。質(zhì)量塊Mi（i=1， 2）通過剛度為Ki的線性彈簧和阻尼系數(shù)為Ci的線性阻尼器連接于支承，兩個質(zhì)量塊之間通過剛度為K3的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C3的線性阻尼器相連。質(zhì)量塊Mi上作用有簡諧激勵力Pisin（ΩΤ+τ）。用X1和X2分別表示質(zhì)量塊M1與質(zhì)量塊M2的位移。當(dāng)X1-X2=B時，兩個質(zhì)量塊發(fā)生碰撞。碰撞過程中的能量損失由碰撞恢復(fù)系數(shù)R確定。系統(tǒng)中的阻尼為Rayleigh型比例阻尼。

2 周期振動的模式類型和Poincaré映射

在不同的系統(tǒng)參數(shù)條件下，圖1所示系統(tǒng)可能呈現(xiàn)不同模式類型的周期振動或混沌。用p/n區(qū)分周期振動的類型，n和p分別表示一個振動周期內(nèi)的激勵力周期數(shù)和兩個質(zhì)量塊之間的碰撞次數(shù)。0/n（p = 0）表示無沖擊振動，系統(tǒng)在振動過程中（x1-x2）max<δ，兩質(zhì)量塊不發(fā)生碰撞。無沖擊振動一般存在于高頻區(qū)域或低頻大間隙區(qū)域，此時系統(tǒng)為兩自由度線性振動系統(tǒng)，其運動狀態(tài)僅由方程（2）的解決定。1/n （n ≥ 2）單沖擊亞諧振動表示兩個質(zhì)量塊相鄰兩次碰撞之間的時間間隔為Tn = 2nπ/ω。

當(dāng)激勵頻率ω和間隙δ比較小時，系統(tǒng)可能呈現(xiàn)p/1（p = 1， 2， 3， …）類基本沖擊振動。系統(tǒng)的振動周期為一個激勵力周期（T1 = 2π/ω， n = 1）不變，但兩個質(zhì)量塊在一個振動周期內(nèi)的碰撞次數(shù)p會隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化而變化。ω或δ越小，p越大，一個激勵力周期內(nèi)的碰撞次數(shù)越多。當(dāng)ω或δ足夠小時，p為一個很大的有限值，這類碰撞稱為非完整顫碰振動。非完整顫碰振動隨著ω或δ的繼續(xù)減小，顫碰振動的末次沖擊速度最終趨向于零，引起兩個質(zhì)量塊黏滯振動。有黏滯振動過程的顫碰振動稱為完整顫碰振動。非完整和完整顫碰振動分別用/1和/1表示。

3 相鄰周期振動的轉(zhuǎn)遷規(guī)律

圖1所示系統(tǒng)共有8個量綱一參數(shù)：μm， μk1， μk2，ζ，f，δ，ω和R，其中激勵頻率ω和間隙δ對系統(tǒng)動力學(xué)的影響最大，因此，本文取ω和δ為分岔參數(shù)，應(yīng)用映射σn和σp辨識周期振動的模式類型及其在雙參平面內(nèi)發(fā)生區(qū)域，然后結(jié)合單參數(shù)分岔圖、相圖和擾動映射理論等方法確定邊界線的分岔類型，揭示含間隙振動系統(tǒng)周期振動模式類型的多樣性及相鄰周期振動的演化規(guī)律?；诹烤V一參數(shù)的取值范圍，取μm=0.5， μk1=0.5， μk2=0.5，ζ=0.1， f=0和R=0.8，數(shù)值計算ω在0.1-8.0，δ在0-0.8變化時的雙參數(shù)（ω， δ）分岔圖如圖2（a）所示。

圖2（a）清晰地呈現(xiàn)了（ω， δ）平面內(nèi)周期振動的模式類型、發(fā)生區(qū)域和分布規(guī)律。在大間隙區(qū)域，除了1/1基本沖擊振動的發(fā)生區(qū)域及其邊界上的遲滯域和舌形域以外，系統(tǒng)在其余參數(shù)區(qū)域內(nèi)呈現(xiàn)0/1無沖擊振動。圖2（b）為舌形域內(nèi)亞諧振動的模式類型及其參數(shù)島分布的放大和細(xì)節(jié)描述。隨著δ的減小，系統(tǒng)周期振動的模式類型逐漸呈現(xiàn)多樣性。在高頻區(qū)域，出現(xiàn)了1/n和2/（2n）等亞諧振動的發(fā)生區(qū)域;在低頻區(qū)域，出現(xiàn)了p/1基本沖擊振動、/1非完整顫碰振動和/1完整顫碰振動的發(fā)生區(qū)域。p/1類基本沖擊振動的發(fā)生區(qū)域隨著p的增大，從右向左依次呈帶狀域分布，其面積逐漸減小。圖2（c）為圖2（a）中低頻小間隙區(qū)域基本沖擊振動和顫碰振動的放大。圖2（d）揭示了在相鄰基本沖擊振動之間的舌形域內(nèi)，亞諧振動的模式類型具有規(guī)律性。圖2（e）描述了基本沖擊振動1/1和2/1之間的舌形域內(nèi)亞諧振動的參數(shù)島及分岔線類型。圖2（f）為1/1振動與1/2振動之間演化的局部放大。

3.1 0/1振動與1/1振動的轉(zhuǎn)遷過程

如圖2（a）所示，0/1無沖擊振動的發(fā)生區(qū)域被有碰撞振動的發(fā)生區(qū)域分割為兩個子區(qū)域S1和S2，其與1/1基本沖擊振動的發(fā)生區(qū)域之間的分界線為0/1振動的擦邊分岔線G0/1或1/1振動的鞍結(jié)分岔線SN1/1，分岔線類型跟分岔參數(shù)的變化方向相關(guān)。在子區(qū)域S1增大ω，在子區(qū)域S2減小ω，或在子區(qū)域S1和S2減小δ穿越G0/1，0/1振動經(jīng)擦邊分岔產(chǎn)生1/1振動。在1/1振動的發(fā)生區(qū)域變化ω或增大δ穿越SN1/1，系統(tǒng)經(jīng)鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷為0/1振動。兩條分岔線G0/1和SN1/1之間形成一定的遲滯域，見圖2（a）標(biāo)有HR0的灰色區(qū)域（子區(qū)域S1與1/1振動的發(fā)生區(qū)域之間的遲滯域很窄，圖中沒有標(biāo)出）。0/1振動和1/1振動在遲滯域共存。以δ=0.5為例，ω雙向穿越圖2（a）所示遲滯域HR0時的單參數(shù)分岔圖如圖3（a）所示。圖中，縱坐標(biāo)為每個激勵力周期內(nèi)的最小相對位移（x1-x2）min，橫坐標(biāo)標(biāo)目的頂標(biāo)“”表示分岔參數(shù)增大和減小雙向變化。減小ω，0/1振動的最小相對位移逐漸增大。當(dāng)ω=2.1306（G1點）時，（x1-x2）min=δ，兩個質(zhì)量塊擦邊碰撞，系統(tǒng)表現(xiàn)為0/1擦邊振動。繼續(xù)減小ω，0/1振動經(jīng)擦邊分岔產(chǎn)生1/1振動。最小相對位移（x1-x2）min在擦邊分岔后發(fā)生了跳躍。當(dāng)ω增大時，1/1振動在SN1點（ω=2.3753）經(jīng)鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷為0/1振動。穩(wěn)定的0/1振動和1/1振動在G1和SN1之間的遲滯區(qū)共存。

如圖2（a）所示，在子區(qū)域S1與1/1振動的發(fā)生區(qū)域之間存在一個舌形域。圖2（b）為此舌形域的細(xì)節(jié)描述。舌形域內(nèi)，系統(tǒng)主要表現(xiàn)為1/n （n ≥ 2）類單沖擊亞諧振動，其發(fā)生區(qū)域可稱為相應(yīng)亞諧振動的參數(shù)島。舌形域內(nèi)，1/n振動的參數(shù)島由下而上依次分布，n依次增大，面積依次減小。子區(qū)域S1與舌形域之間存在一個很窄的遲滯域群。每個遲滯域的右邊界線為0/1振動的擦邊分岔線，左邊界線為1/n振動的鞍結(jié)分岔線，兩條分岔線橫截相交于兩個奇異點。0/1振動和1/n振動的相互轉(zhuǎn)遷只有在奇異點是連續(xù)可逆的，兩者經(jīng)擦邊分岔相互轉(zhuǎn)遷，鞍結(jié)分岔消失。圖3（b）和圖3（c）為0/1振動與圖2（b）所示舌形域內(nèi)的1/n （n=2， 3）振動經(jīng)遲滯域群相互轉(zhuǎn)遷的雙向分岔圖。由圖3（b）可見，增大ω，0/1振動在G2點（ω=1.22665）經(jīng)擦邊分岔產(chǎn)生1/2振動。兩個質(zhì)量塊的最小相對位移在G2點后發(fā)生了跳躍。減小ω，1/2振動在SN2點（ω=1.22521）經(jīng)鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷為0/1振動。穩(wěn)定的0/1振動和1/2振動在G2和SN2之間的遲滯區(qū)共存。0/1振動和1/3振動在G3點（ω=1.43108）或SN3點（ω=1.431002）經(jīng)擦邊或鞍結(jié)分岔相互轉(zhuǎn)遷，如圖3（c）所示。

為了詳細(xì)分析圖2（b）所示舌形域內(nèi)1/n單沖擊亞諧振動的分岔特點，取ω = 1.6，δ垂直穿越該舌形域時的單參數(shù)分岔圖如圖3（d）和（e）所示。圖3（d）為每個激勵力周期內(nèi)的最小相對位移（x1-x2）min隨δ減?。ㄋ{(lán)色）和增大（紅色）的分岔圖。圖3（e）為質(zhì)量塊M1的碰前速度1-隨δ增大的分岔圖，圖中橫坐標(biāo)標(biāo)目的頂標(biāo)“→”表示分岔參數(shù)增大。圖3（f）為圖3（e）中1/2振動發(fā)生周期倍化分岔的放大圖。結(jié)合圖3（d）和（e）兩個分岔圖，可以辨識周期振動在一個振動周期內(nèi)的激勵力周期數(shù)n和碰撞次數(shù)p，從而確定p/n振動。圖3（d）和（e）中，1/n（n=2， 3， 4）單沖擊亞諧振動的窗口清晰可見。減小δ分別穿越δ=0.94405和δ=0.92512時，1/4和1/3振動經(jīng)擦邊分岔轉(zhuǎn)遷為混沌。當(dāng)δ=0.76346時，1/2振動經(jīng)擦邊分岔產(chǎn)生1/1振動。增大δ穿越δ=0.79308時，1/1振動經(jīng)倍化分岔產(chǎn)生2/2振動，然后當(dāng)δ=0.79312時，2/2振動經(jīng)鞍結(jié)分岔產(chǎn)生1/2振動。由于1/2振動的擦邊分岔的不可逆性，在2/2振動的鞍結(jié)分岔點和1/2振動的擦邊分岔點之間的遲滯區(qū)δ∈（0.76346， 0.79312）內(nèi)，1/1和1/2振動，或2/2和1/2振動共存，如圖3（d）所示。圖4（a）給出了δ=0.78時，系統(tǒng)共存的1/1振動（紅色）和1/2振動（藍(lán)色）的相圖。圖4（a1）為圖4（a）的局部放大。1/2振動的相軌線表現(xiàn)為一次碰撞軌線和一次非碰撞軌線。減小δ，1/2振動的非碰撞軌線逐漸靠近碰撞面。當(dāng)δ減小至δ=0.76346時，非碰撞軌線與碰撞面擦邊接觸，如圖4（b）和圖4（b1）所示。穿越擦邊分岔點，1/2振動經(jīng)擦邊分岔產(chǎn)生1/1振動，并與已經(jīng)存在的1/1振動的相軌線重合。由上面的分析可知，圖2（b）所示舌形域與1/1振動的發(fā)生區(qū)域之間存在一個遲滯域，其右邊界為1/2振動的擦邊分岔線，左邊界為2/2振動的鞍結(jié)分岔線。兩條分岔線橫截相交于兩個奇異點，連接著舌形域左邊界上的遲滯域群，因此，奇異點既是0/1振動的二重擦邊分岔點，也是1/1振動的倍化-鞍結(jié)余唯二分岔點。

Humphries和Piiroinen [25]以單自由度周期激勵碰撞振子為例，應(yīng)用不連續(xù)幾何的拓?fù)浞椒ń忉屃瞬吝叿植睃c附近鞍結(jié)分岔存在與否的原因，但是這種方法很難直接應(yīng)用于多自由度碰撞振動系統(tǒng)。由前面的分析可知，如果碰撞振動系統(tǒng)的位移振幅在擦邊分岔后出現(xiàn)跳躍，則在擦邊分岔點附近存在鞍結(jié)分岔，并形成遲滯區(qū)。相鄰兩類運動經(jīng)擦邊分岔或鞍結(jié)分岔相互轉(zhuǎn)遷，分岔類型與分岔參數(shù)的變化方向相關(guān)。如果位移振幅在擦邊分岔后連續(xù)變化，則鞍結(jié)分岔點與擦邊分岔點重合，鞍結(jié)分岔消失。相鄰兩類運動經(jīng)擦邊分岔相互轉(zhuǎn)遷，分岔過程連續(xù)可逆。關(guān)于這個結(jié)論的理論證明還有待進(jìn)一步研究。

3.2 基本沖擊振動的轉(zhuǎn)遷特征

在圖2（a）所示低頻小間隙區(qū)域，系統(tǒng)主要呈現(xiàn)p/1類基本沖擊振動，/1非完整顫碰振動和/1完整顫碰振動。圖2（c）區(qū)分了p/1（p=1， 2， 3， …， 8）振動和/1振動的發(fā)生區(qū)域，p/1（p>8）振動和/1振動的發(fā)生區(qū)域歸結(jié)在一起。在相鄰p/1振動的發(fā)生區(qū)域之間，存在舌形域和遲滯域兩類過渡區(qū)域。

p/1基本沖擊振動的發(fā)生區(qū)域的邊界線呈現(xiàn)波浪狀，在每個波段的峰值位置出現(xiàn)一個舌形域。所有舌形域具有自相似分形特征，面積自右向左依次減小。由圖2（d）可見，在p/1振動和（p+1）/1振動之間的舌形域內(nèi)，可見（2p+1）/2等（np+1）/n （n ≥ 2）類亞諧沖擊振動的參數(shù)島。舌形域的上邊界為p/1振動的擦邊分岔線Gp/1或（np+1）/n振動群的鞍結(jié)分岔線SN（np+1）/n。Gp/1和SN（np+1）/n形成一個遲滯域群。每個遲滯域內(nèi)，p/1振動和相應(yīng)的（np+1）/n振動共存。舌形域的下邊界為周期倍化分岔線PD（p+1）/1或擦邊分岔線G（2p+1）/2。穿越PD（p+1）/1，（p+1）/1振動產(chǎn)生（2p+2）/2振動而嵌入舌形域，然后經(jīng)過鞍結(jié)分岔線SN（2p+2）/2轉(zhuǎn)遷為（2p+1）/2振動。分岔參數(shù)反方向變化時，（2p+1）/2振動經(jīng)擦邊分岔直接轉(zhuǎn)遷為（p+1）/1振動而退出舌形域。在SN（2p+2）/2和G（2p+1）/2之間的遲滯域內(nèi)，（p+1）/1和（2p+1）/2，或（2p+2）/2和（2p+1）/2共存。每個舌形域的上下邊界橫截相交于兩個奇異點，與相鄰p/1振動轉(zhuǎn)遷過程中的遲滯域相連，因此，奇異點既是p/1振動的二重擦邊分岔點，也是（p+1）/1振動的倍化-鞍結(jié)余維二分岔點。

（np+1）/n （n=2， 3， …）亞諧沖擊振動的參數(shù)島在舌形域內(nèi)自下而上依次分布。當(dāng)δ增大時，（np+1）/n振動或經(jīng)鞍結(jié)分岔退出舌形域轉(zhuǎn)遷為p/1振動，或經(jīng)周期倍化分岔產(chǎn)生（2np+2）/2n振動，然后經(jīng)鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷為[（n+1）p+1]/（n+1）振動;減小δ，（np+1）/n振動經(jīng)擦邊分岔產(chǎn)生[（n-1）p+1]/（n-1）振動。（np+1）/n振動的擦邊分岔使得系統(tǒng)的振動周期減小1個激勵力周期，一個振動周期內(nèi)的碰撞次數(shù)減少p次，因此，（2p+1）/2振動的擦邊分岔因為產(chǎn)生（p+1）/1振動而退出舌形域。（2np+2）/（2n）振動的鞍結(jié)分岔線和[（n+1）p+1]/（n+1）振動的擦邊分岔線在相鄰（np+1）/n振動的參數(shù)島之間形成一個遲滯域。遲滯域內(nèi)，（np+1）/n和[（n+1）p+1]/（n+1），或（2np+2）/2n和[（n+1）p+1]/（n+1）共存。遲滯域的上下邊界橫截相交于兩個奇異點。該奇異點是（np+1）/n與[（n+1）p+1]/（n+1），及（np+1）/n與p/1振動之間的兩個遲滯域的連接點，也是p/1振動的二重擦邊分岔點和（np+1）/n振動的倍化-鞍結(jié)余維二分岔點。

圖2（e）為存在于基本沖擊振動1/1和2/1之間的一個舌形域的細(xì)化和邊界線描述。圖中可清楚地觀察到3/2，4/3等（n+1）/n （p=1）類亞諧沖擊振動的參數(shù)島，X1和X2為奇異點。舌形域的上邊界為1/1振動的擦邊分岔線G1/1或（n+1）/n振動群的鞍結(jié)分岔線SN（n+1）/n，下邊界為擦邊分岔G3/2或周期倍化分岔線PD2/1。分岔線G1/1和相鄰的SN（n+1）/n形成一個很窄的遲滯域HR1/1∩（n+1）/n，導(dǎo)致在舌形域的上邊界出現(xiàn)至少由3個遲滯域組成的一個遲滯域群。每個遲滯域內(nèi)，1/1振動和相應(yīng)的（n+1）/n振動共存。舌形域與2/1振動的發(fā)生區(qū)域之間，由擦邊分岔線G3/2和鞍結(jié)分岔線SN4/2形成一個遲滯域HR2/1∩3/2。3個遲滯域HR1/1∩3/2，HR2/1∩3/2和HR1的6條邊界線橫截相交于X1點，因此，X1點既是1/1振動的二重擦邊分岔點，也是2/1振動的倍化-鞍結(jié)余維二分岔點。圖6（a）和（b）為ω=1.02，δ垂直穿越圖2（e）所示舌形域的單參數(shù)分岔圖。當(dāng)δ=0.3時系統(tǒng)呈現(xiàn)3/2振動，如圖7（a）所示。減小δ至δ=0.29502時，3/2振動經(jīng)擦邊分岔產(chǎn)生2/1振動。當(dāng)δ增大至δ=0.29652時，2/1振動經(jīng)周期倍化分岔產(chǎn)生4/2振動，然后當(dāng)δ=0.29665時，2/2振動經(jīng)鞍結(jié)分岔產(chǎn)生3/2振動。在3/2振動的擦邊分岔點和4/2振動的鞍結(jié)分岔點之間的遲滯區(qū)δ∈（0.29502， 0.29665）內(nèi)，3/2和2/1振動，或3/2和4/2振動共存。圖7（b）為共存的3/2擦邊（藍(lán)色）和2/1（紅色）振動的相圖。

3.3 單沖擊振動的分岔

在圖2（a）所示高頻小間隙區(qū)域，系統(tǒng)主要呈現(xiàn)1/n（n≥2）單沖擊亞諧振動和2/（2n）亞諧振動。1/n振動的上下邊界分別為0/1振動的擦邊分岔線（或1/n振動的鞍結(jié)分岔線）和1/n振動的周期倍化分岔線。1/n振動的周期倍化分岔產(chǎn)生2/（2n）振動。圖2（f）為1/1振動和1/2振動之間演化的細(xì)化圖。1/n（n≥1）振動在向混沌演化的過程中，由于發(fā)生多沖擊亞諧振動的擦邊分岔，使得1/n振動的周期倍化序列中斷，只有在很小的間隙區(qū)域內(nèi)，1/1振動經(jīng)周期倍化序列通向混沌。在1/1振動和1/2振動之間，出現(xiàn)了如2/3，3/5，5/8，6/8等多沖擊亞諧振動的發(fā)生區(qū)域。

4 結(jié) 論

本文以兩自由度含間隙碰撞振動系統(tǒng)為研究對象，通過構(gòu)建兩種Poincaré映射辨識了周期振動的模式類型及其在雙參平面內(nèi)的發(fā)生區(qū)域和分布規(guī)律，詳細(xì)分析了相鄰p/1（p≥0）振動經(jīng)遲滯域和舌形域相互轉(zhuǎn)遷的機(jī)理和規(guī)律，以及舌形域內(nèi)亞諧振動的規(guī)律性和分岔特征。

p/1（p≥0）振動的擦邊分岔或產(chǎn)生（p+1）/1基本沖擊振動或（np+1）/n （n≥2）類亞諧振動。在0/1與1/1振動之間的舌形域內(nèi)，1/n（n≥3）振動經(jīng)擦邊分岔產(chǎn)生混沌，而在相鄰p/1振動之間的舌形域內(nèi)，（np+1）/n振動經(jīng)擦邊分岔產(chǎn)生[（n-1）p+1]/（n-1）振動。

在雙參平面內(nèi)，相鄰p/1（p≥0）振動遲滯域和舌形域相互轉(zhuǎn)遷。舌形域內(nèi)亞諧振動的模式類型和分布具有規(guī)律性。由于擦邊分岔的不可逆性，擦邊和鞍結(jié)分岔線在相鄰周期振動的發(fā)生區(qū)域之間形成遲滯域，并在舌形域的邊界形成一個遲滯域群。每個遲滯域的上下邊界橫截相交于兩個奇異點。只有在奇異點，相鄰周期振動經(jīng)擦邊分岔轉(zhuǎn)遷，鞍結(jié)分岔消失。奇異點也是相鄰3個遲滯域，即6條邊界線的橫截點，因此，奇異點是p/1振動的二重擦邊分岔點和（np+1）/n（n≥1）振動的倍化-鞍結(jié)余維二分岔點。

如果碰撞振動系統(tǒng)的位移振幅在擦邊分岔后出現(xiàn)跳躍，則在擦邊分岔點附近存在鞍結(jié)分岔，并形成遲滯區(qū);如果位移振幅在擦邊分岔后連續(xù)變化，則鞍結(jié)分岔點與擦邊分岔點重合，相鄰兩類運動在擦邊分岔點的相互轉(zhuǎn)遷連續(xù)可逆。關(guān)于這個結(jié)論的理論證明還有待進(jìn)一步研究。

參考文獻(xiàn)：

[1] Li Xiang，Yao Zhiyuan， Wu Ranchao. Modeling and sticking motion analysis of a vibro-impact system in linear ultrasonic motors[J]. International Journal of Mechanical Sciences， 2015， 100（9）： 23-31.

[2] Chávez J P， Pavlovskaia E， Wiercigroch M. Bifurcation analysis of a piecewise-linear impact oscillator with drift[J]. Nonlinear Dynamics， 2014， 77（1-2）： 213-227.

[3] Yue Y. The dynamics of a symmetric impact oscillator between two rigid stops[J]. Nonlinear Analysis： Real World Applications， 2011， 12： 741-50.

[4] Luo G W， Xie J H. Hopf bifurcations of a two degree-of- freedom vibro-impact system[J]. Journal of Sound and Vibration， 1998， 213（3）： 391-48.

[5] Zhang Yongxiang， Luo Guanwei. Torus-doubling bifurcations and strange nonchaotic attractors in a vibro-impact system[J]. Journal of Sound and Vibration， 2013，332： 5462-5475.

[6] 馮進(jìn)鈐， 徐 偉. 碰撞振動系統(tǒng)中周期軌道擦邊誘導(dǎo)的混沌激變[J]. 力學(xué)學(xué)報， 2013， 45（1）： 30-36.

Feng Jinqian， Xu Wei. Grazing-induced chaotic crisis for periodic orbits in vibro-impact systems[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2013， 45（1）： 30-36.

[7] Feng Jinqian. Analysis of chaotic saddles in a nonlinear vibro-impact system[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation， 2017， 48（7）： 39-50.

[8] Li Qunhong， Lu Qishao. Coexisting periodic orbits in vibro-impacting dynamical systems[J]. Applied Mathematics and Mechanics， 2003， 24（3）： 261-273.

[9] 伍 新， 文桂林， 徐慧東， 等. 三自由度含間隙碰撞振動系統(tǒng)Neimark-sacher分岔的反控制[J]. 物理學(xué)報，2015， 64（20）： 200504.

Wu Xin， Wen Guilin， Xu Huidong， et al. Anti-controlling Neimark-sacker bifurcation of a three-degree-of-freedom vibration system with clearance [J]. Acta Physics Sinica， 2015， 64（20）： 200504.

[10] Nordmark A B. Non-periodic motion caused by grazing incidence in an impact oscillator[J]. Journal of Sound and Vibration， 1991， 145（2）： 279-297.

[11] Pavlovskaia E， Wiercigroch M. Bifurcation analysis of an impact oscillator with a one-sided elastic constraint near grazing [J]. Physica D： Nonlinear Phenomena， 2010， 239（6）： 312-321.

[12] 張思進(jìn)， 周利彪， 陸啟韶. 線性碰振系統(tǒng)周期解擦邊分岔的一類映射分析方法[J]. 力學(xué)學(xué)報，2007， 37（1）： 132-136.

Zhang Sijin， Zhou Libiao， Lu Qishao. A map method for grazing bifurcation in linear vibro-impact system[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2007， 37（1）： 132-136.

[13] Chillingworth D R J. Dynamics of an impact oscillator near a degenerate graze[J]. Nonlinearity， 2010， 23： 2723-2748.

[14] Ma Yue， Ing James， Banerjee Soumitro， et al. The nature of the normal form map for soft impacting systems[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics， 2008， 43（6）： 504-513.

[15] Xu Jieqiong， Li Qunhong， Wang Nan. Existence and stability of the grazing periodic trajectory in a two-degree-of-freedom vibro-impact system[J]. Applied Mathematics and Computation， 2011， 217（12）： 5537-5546.

[16] Kryzhevich S， Wiercigroch M. Topology of vibro-impact systems in the neighborhood of grazing[J]. Physica D： Nonlinear Phenomena， 2012， 241（22）： 1919-1931.

[17] Wen Guilin， Yin Shan， Xu Huidong， et al. Analysis of grazing bifurcation from periodic motion to quasi-periodic motion in impact-damper systems [J]. Chaos， Solitons and Fractals， 2016， （83）： 112-118.

[18] Jiang Haibo， Chong A S E， Ueda Y， et al. Grazing-induced bifurcations in impact oscillators with elastic and rigid constraints[J]. International Journal of Mechanical Sciences， 2017， 127（7）： 204-214.

[19] Nordmark A B， Piiroinen Petri T. Simulation and stability analysis of impacting systems with complete chattering[J]. Nonlinear Dynamics， 2009， 58： 85-106.

[20] 馮進(jìn)鈐， 徐 偉， 牛玉俊. Duffing單邊碰撞系統(tǒng)的顫振分岔[J]. 物理學(xué)報， 2010， 59（1）： 157-163.

Feng Jinqian， Xu Wei， Niu Yujun. Chattering bifurcations in a Duffing unilateral vibro-impact system[J]. Acta Physica Sinica， 2010， 59（1）： 157-163.

[21] Wagg D J. Rising phenomena and the multi-sliding bifurcation in a two-degree of freedom impact oscillator[J]. Chaos， Solitons and Fractals， 2004， 22（3）： 541-548.

[22] Wagg D J. Periodic sticking motion in a two-degree-of-freedom impact oscillator[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics， 2005， 40（8）： 1076-1087.

[23] Hs Csaba， Champneys A R. Grazing bifurcations and chatter in a pressure relief valve model[J]. Physica D： Nonlinear Phenomena， 2012， 241（22）： 2068-2076.

[24] Luo G W. Dynamics of an impact-forming machine[J]. International Journal of Mechanical Sciences， 2006， 48： 1295-1313.

[25] Humphries N， Piiroinen P T. A discontinuity-geometry view of the relationship between saddle-node and grazing bifurcations[J]. Physica D： Nonlinear Phenomena， 2012， 241（22）： 1911-1918.

Abstract： A two-degree-of-freedom vibro-impact system with a clearance is considered. Diversity， existence and stability domains， and distribution regularities of periodic motions are obtained numerically in the double-parameter plane by constructing two Poincaré maps. Bifurcations of periodic motions in the low frequency region， such as impactless motion， fundamental impact， chattering and subharmonic impact motions， are analyzed. Diversity and transition characteristics of pattern types of periodic motions of the system， and relation between the existence of saddle-node bifurcation in the vicinity of the grazing bifurcation and the variation of displacement amplitude are revealed. Some small tongue-shaped regions that have self-similarity and fractal characteristic appear on the boundary of impactless motions and fundamental impact motions. Pattern type and distribution of subharmonic impact motions in the tongue-shaped regions show regularity. Given the irreversibility of grazing bifurcation of impactless motions， fundamental impact motions， and subharmonic impact motions in tongue-shaped regions， the hysteresis domain forms between the existence regions of adjacent periodic motions， and a group of hysteresis domains appear on the boundary of the tongue-shaped regions. Two boundary curves of each hysteresis zone intersect at two singular points. The grazing bifurcation is continuous and reversible and saddle-node bifurcation is absent only at these singular points. The displacement amplitude of the impact oscillator varies continuously just after them. Each singular point is the junction of adjacent hysteresis domains， and also a point of double grazing bifurcation flip-fold codimension-2 bifurcation.

Key words： nonlinear vibration; bifurcation; clearance; impact; double-parameter coupling