圓錐曲線中三點(diǎn)共線的坐標(biāo)度量與常見變形

◇ 山東 李 浩

眾所周知,圓錐曲線的問題一般可通過設(shè)線與設(shè)點(diǎn)進(jìn)行求解,而橢圓、雙曲線內(nèi)的問題又以設(shè)線居多,究其原因,是設(shè)點(diǎn)運(yùn)算的不對稱性或代數(shù)運(yùn)算較大導(dǎo)致的.現(xiàn)行的幾個(gè)版本高中教材中,很少分析三點(diǎn)共線的設(shè)點(diǎn)代數(shù)表達(dá),人教版《選修2-1》中,也只提到了橢圓及雙曲線與直線的相交聯(lián)立,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系運(yùn)算.本文旨在通過以截距定值的弦為例,探究三點(diǎn)共線的坐標(biāo)度量與常見變形,為讀者提供問題求解的思考角度.

1 操作演示

假設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓(a＞b＞0)上不同的兩點(diǎn),且直線AB經(jīng)過點(diǎn)M(m,0),則

圖1

我們單從設(shè)點(diǎn)的角度切入分析,不考慮設(shè)線聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系,對式①一般可進(jìn)行如下操作.

操作1平方

(這是兩根和積關(guān)系的線性表示.)

分析此操作的目的可以實(shí)現(xiàn)共線的三點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的互化,以達(dá)到“知二求一”的目的,為后續(xù)的快速解題提供方便.當(dāng)然該式的獲得也可從根與系數(shù)的關(guān)系代數(shù)運(yùn)算推得,有興趣的讀者可以自行嘗試.

操作2移項(xiàng)對偶構(gòu)造

分析此操作的目的是可以實(shí)現(xiàn)雜交項(xiàng)x1y2和x2y1的代數(shù)求解,用兩根之和與兩根之差來線性表示,結(jié)果不僅呈現(xiàn)了對稱美,更反映了橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間的內(nèi)在聯(lián)系.

操作3等比定理

分析這里若是結(jié)合式②,我們還能得到更奇妙的表示,即y1y2能以x2＋x1或x1x2單獨(dú)線性表示,實(shí)現(xiàn)共線三點(diǎn)縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之間的線性互化.如：

圖2

類比橢圓操作：假設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線y2＝2px(p＞0)上不同兩點(diǎn),且直線AB經(jīng)過點(diǎn)T(t,0),則

操作1平方

操作2移項(xiàng)對偶構(gòu)造

從上述操作中,我們不難發(fā)現(xiàn),設(shè)點(diǎn)運(yùn)算對于共線三點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系描述尤為細(xì)致,彼此之間可以實(shí)現(xiàn)對稱轉(zhuǎn)化,這為我們實(shí)際解題提供了新的方法,下面我們來看看上述操作在實(shí)際中的應(yīng)用.

2 實(shí)例分析

例若雙曲線左、右兩支上各有一點(diǎn)A,B,點(diǎn)B在直線上的射影是點(diǎn)B′,若直線AB過右焦點(diǎn),求證：直線AB′必過定點(diǎn).

圖3

證法1設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由A,B的任意性及曲線的對稱性可知,AB′所過的定點(diǎn)必在x軸上,記(x0,0),易得又A,F,B三點(diǎn)共線,y1(x2－2)＝y(tǒng)2(x1－2),由對偶性構(gòu)造可得

代入x0可得,

證法2設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由A,B的任意性及曲線的對稱性可知,AB′所過的定點(diǎn)必在x軸上,記為(x0,0),易得

又A,F,B三點(diǎn)共線,y1(x2－2)＝y(tǒng)2(x1－2),平方處理化簡,可得

代入x0,可得

點(diǎn)評

證法1側(cè)重于對形式x1y2的求解,從而想到對偶式的構(gòu)建.證法2側(cè)重于對未知數(shù)x的處理、兩根和積關(guān)系的轉(zhuǎn)化,兩種解法的共同特點(diǎn)都是把原式“非齊次”問題轉(zhuǎn)化為“齊次”處理,2個(gè)例題都為我們設(shè)點(diǎn)后的坐標(biāo)代數(shù)處理提供了很好的實(shí)踐機(jī)會(huì).

3 結(jié)語

本文以截距為定值的弦為例,展現(xiàn)了設(shè)點(diǎn)下的三點(diǎn)共線坐標(biāo)度量與常見變形,分別是平方、移項(xiàng)構(gòu)造對偶式求解、等比定理,然后利用點(diǎn)在圓錐曲線上,用圓錐曲線方程整體代換的思想,其他直線過定點(diǎn)的情況也可通過坐標(biāo)平移轉(zhuǎn)化成截距為定值的弦的情況考慮.通過上述案例的分析,我們不難發(fā)現(xiàn),圓錐曲線中的設(shè)點(diǎn)代數(shù)運(yùn)算,并沒有想象中那么復(fù)雜,合理利用結(jié)構(gòu)形式,觀察發(fā)現(xiàn)需要怎樣的變化,應(yīng)該是設(shè)點(diǎn)求解中最重要的.